【数学】2021届一轮复习人教A版（文）第五章　第2讲　平面向量基本定理及坐标表示学案 16页

第 2 讲　平面向量基本定理 及坐标表示 一、知识梳理 1．平面向量基本定理 (1)定理：如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向 量 a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2． (2)基底：不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝ x＋y． (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB → ＝(x2－x1，y2－y1)， |AB → |＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2． 3．平面向量共线的坐标表示 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0． [提醒]　当且仅当 x2y2≠0 时，a∥b 与x1 x2＝y1 y2等价． 即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例． 常用结论 1．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且 a＝b，则 x1＝x2 且 y1＝y2. 2 ． 已 知 P 为 线 段 AB 的 中 点 ， 若 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ， 则 P 点 的 坐 标 为 (x1＋x2 2 ， y1＋y2 2 ). 3．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向 量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的． 二、习题改编 1．(必修 4P99 例 8 改编)若 P1(1，3)，P2(4，0)且 P 是线段 P1P2 的一个三等分点，则点 P 的坐标为(　　) A．(2，2) B．(3，－1) C．(2，2)或(3，－1) D．(2，2)或(3，1) 解析：选 D.由题意得P1P→ ＝1 3P1P2→ 或P1P→ ＝2 3P1P2→ ，P1P2→ ＝(3，－3)．设 P(x，y)，则P1P→ ＝(x －1，y－3)，当P1P→ ＝1 3P1P2→ 时，(x－1，y－3)＝1 3(3，－3)，所以 x＝2，y＝2，即 P(2，2)；当 P1P→ ＝2 3P1P2→ 时，(x－1，y－3)＝2 3(3，－3)，所以 x＝3，y＝1，即 P(3，1)．故选 D. 2．(必修 4P119A 组 T8 改编)已知向量 a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若 ma＋nb 与 a－2b 共 线，则m n＝(　　) A．－1 2 B.1 2 C．－2 D．2 解析：选 A.由向量 a＝(2，3)，b＝(－1，2)，得 ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝ (4，－1)．由 ma＋nb 与 a－2b 共线，得－(2m－n)＝4(3m＋2n)，所以m n＝－1 2.故选 A. 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　) (2)在△ABC 中，向量AB → ，BC → 的夹角为∠ABC.(　　) (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．(　　) (4)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可表示成x1 x2＝y1 y2.(　　) (5)若 a，b 不共线，且 λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则 λ1＝λ2 ，μ1＝μ2.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 二、易错纠偏 常见误区(1)利用平面向量基本定理的前提是基底不能共线； (2)由点的坐标求向量坐标忽视起点与终点致误． 1．设 O 是平行四边形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 的交点，则给出下列向量组：①AD → 与AB → ；②DA → 与BC → ；③CA → 与DC → ；④OD → 与OB → . 其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是(　　) A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 解析：选 B.平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图： 对于①，AD → 与AB → 不共线，可作为基底； 对于②，DA → 与BC → 为共线向量，不可作为基底； 对于③，CA → 与DC → 是两个不共线的向量，可作为基底； 对于④，OD → 与OB → 在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底． 2．已知点 A(0，1)，B(3，2)，向量AC → ＝(－4，－3)，则向量BC → ＝(　　) A．(－7，－4) B．(7，4) C．(－1，4) D．(1，4) 解析：选 A.法一：设 C(x，y)， 则AC → ＝(x，y－1)＝(－4，－3)， 所以{x＝－4， y＝－2， 从而BC → ＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选 A. 法二：AB → ＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)， BC → ＝AC → －AB → ＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)． 故选 A. 　　　　　平面向量基本定理及其应用(师生共研) (1)在△ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且BD → ＝2DC → ，CE → ＝3EA → ，若AB → ＝ a，AC → ＝b，则DE → ＝(　　) A.1 3a＋ 5 12b　　　　　　　　　B.1 3a－13 12b C．－1 3a－ 5 12b D．－1 3a＋13 12b (2)(2020·郑州市第一次质量预测)如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别为边 AB，BC 的中点，连接 CE，DF，交于点 G.若CG → ＝λCD → ＋μCB → (λ，μ∈R)，则λ μ＝ ． 【解析】　(1)DE → ＝DC → ＋CE → ＝1 3BC → ＋3 4CA → ＝1 3(AC → －AB → )－3 4AC → ＝－1 3AB → － 5 12AC → ＝－1 3a－ 5 12b. (2)由题图可设CG → ＝xCE → (x＞0)，则CG → ＝x(CB → ＋BE → )＝x(CB → ＋1 2CD → )＝x 2CD → ＋xCB → .因为CG → ＝λCD → ＋μCB → ，CD → 与CB → 不共线，所以 λ＝x 2，μ＝x，所以λ μ＝1 2. 【答案】　(1)C　(2)1 2 运算遵法则　基底定分解 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向 量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间 的关系． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该组基底将条件 和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解 是不同的，但在每组基底下的分解都是唯一的． 　 1．在△ABC 中，P，Q 分别是 AB，BC 的三等分点，且 AP＝1 3AB，BQ＝1 3BC，若AB → ＝ a，AC → ＝b，则PQ → ＝(　　) A.1 3a＋1 3b　　　　　　 B．－1 3a＋1 3b C.1 3a－1 3b D．－1 3a－1 3b 解析：选 A.由题意知PQ → ＝PB → ＋BQ → ＝2 3AB → ＋1 3BC → ＝2 3AB → ＋1 3(AC → －AB → )＝1 3AB → ＋1 3AC → ＝1 3a＋1 3 b，故选 A. 2．已知点 A，B 为单位圆 O 上的两点，点 P 为单位圆 O 所在平面内的一点，且OA → 与OB → 不共线． (1)在△OAB 中，点 P 在 AB 上，且AP → ＝2PB → ，若AP → ＝rOB → ＋sOA → ，求 r＋s 的值； (2)已知点 P 满足OP → ＝mOA → ＋OB → (m 为常数)，若四边形 OABP 为平行四边形，求 m 的 值． 解：(1)因为AP → ＝2PB → ，所以AP → ＝2 3AB → ， 所以AP → ＝2 3(OB → －OA → )＝2 3OB → －2 3OA → ， 又因为AP → ＝rOB → ＋sOA → ， 所以 r＝2 3，s＝－2 3， 所以 r＋s＝0. (2)因为四边形 OABP 为平行四边形， 所以OB → ＝OP → ＋OA → ， 又因为OP → ＝mOA → ＋OB → ， 所以OB → ＝OB → ＋(m＋1)OA → ， 依题意OA → ，OB → 是非零向量且不共线， 所以 m＋1＝0， 解得 m＝－1. 　　　　　　平面向量的坐标运算(师生共研) 已知 A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB → ＝a，BC → ＝b，CA → ＝c，且CM → ＝ 3c，CN → ＝－2b. (1)求 3a＋b－3c； (2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n 的值； (3)求 M，N 的坐标及向量MN → 的坐标． 【解】　由已知得 a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为 mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， 所以{－6m＋n＝5， －3m＋8n＝－5，解得{m＝－1， n＝－1. (3)设 O 为坐标原点，因为CM → ＝OM → －OC → ＝3c， 所以OM → ＝3c＋OC → ＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)． 所以 M(0，20)．又因为CN → ＝ON → －OC → ＝－2b， 所以ON → ＝－2b＋OC → ＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， 所以 N(9，2)．所以MN → ＝(9，－18)． 向量坐标运算问题的一般思路 (1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实 现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题 转化为数量运算． (2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行， 若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用． 1．已知 O 为坐标原点，点 C 是线段 AB 上一点，且 A(1，1)，C(2，3)，|BC → |＝2|AC → |， 则向量OB → 的坐标是 ． 解析：由点 C 是线段 AB 上一点，|BC → |＝2|AC → |，得BC → ＝－2AC → .设点 B 为(x，y)，则(2－ x，3－y)＝－2(1，2)，即{2－x＝－2， 3－y＝－4，解得{x＝4， y＝7. 所以向量OB → 的坐标是(4，7)． 答案：(4，7) 2．如图所示，以 e1，e2 为基底，则 a＝ ． 解析：以 e1 的起点为原点建立平面直角坐标系， 则 e1＝(1，0)，e2＝(－1，1)，a＝(－3，1)，令 a＝xe1＋ye2，即(－3，1)＝x(1，0)＋y(－ 1，1)，则{x－y＝－3， y＝1， 所以{x＝－2， y＝1， 即 a＝－2e1＋e2. 答案：－2e1＋e2 　　　　　平面向量共线的坐标表示(多维探究) 角度一　利用向量共线求向量或点的坐标 已知梯形 ABCD，其中 AB∥CD，且 DC＝2AB，三个顶点 A(1，2)，B(2，1)， C(4，2)，则点 D 的坐标为 ． 【解析】　因为在梯形 ABCD 中，AB∥CD，DC＝2AB，所以DC → ＝2AB → .设点 D 的坐标 为(x，y)，则DC → ＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，AB → ＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－ x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，所以{4－x＝2， 2－y＝－2，解得{x＝2， y＝4，故点 D 的 坐标为(2，4)． 【答案】　(2，4) 角度二　利用两向量共线求参数 已知向量OA → ＝(k，12)，OB → ＝(4，5)，OC → ＝(－k，10)，且 A，B，C 三点共线， 则 k 的值是(　　) A．－2 3 B.4 3 C.1 2 D．1 3 【解析】　AB → ＝OB → －OA → ＝(4－k，－7)， AC → ＝OC → －OA → ＝(－2k，－2)． 因为 A，B，C 三点共线，所以AB → ，AC → 共线， 所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得 k＝－2 3. 【答案】　A (1)向量共线的两种表示形式 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，至于使用 哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②. (2)两向量共线的充要条件的作用 判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条 件可以列出方程(组)，求出未知数的值． 1 ． 已 知 向 量 a ＝ (2 ， － 1) ， b ＝ ( － 1 ， m) ， c ＝ ( － 1 ， 2) ， 若 (a ＋ b)∥c ， 则 m ＝ ． 解析：因为 a＝(2，－1)，b＝(－1，m)， 所以 a＋b＝(1，m－1)． 因为(a＋b)∥c，c＝(－1，2)， 所以 2－(－1)·(m－1)＝0. 所以 m＝－1. 答案：－1 2．已知 a＝(1，0)，b＝(2，1)． (1)当 k 为何值时，ka－b 与 a＋2b 共线？ (2)若AB → ＝2a＋3b，BC → ＝a＋mb 且 A，B，C 三点共线，求 m 的值． 解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)， a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)． 因为 ka－b 与 a＋2b 共线，所以 2(k－2)－(－1)×5＝0， 即 2k－4＋5＝0，得 k＝－1 2. (2)法一：因为 A，B，C 三点共线， 所以AB → ＝λBC → ，即 2a＋3b＝λ(a＋mb)， 所以{2＝λ 3＝mλ，解得 m＝3 2. 法二：AB → ＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)， BC → ＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)． 因为 A、B、C 三点共线， 所以AB → ∥BC → .所以 8m－3(2m＋1)＝0， 即 2m－3＝0，所以 m＝3 2. 思想方法系列 8　坐标法解决平面向量的线性运算 (2020·湖北十堰调研)在直角三角形 ABC 中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P 在 △ABC 斜边 BC 的中线 AD 上，则AP → ·(PB → ＋PC → )的最大值为(　　) A.25 16　　　　　　　　　　 B.25 8 C.25 4 D．25 2 【解析】　以 A 为坐标原点， AB → ，AC → 的方向分别为 x 轴、y 轴正方向建立平面直角坐标系，则 B(3，0)，C(0，4)，BC 中点 D(2 3，2 )，则直线 AD 的方程为 y ＝ 4 3x. 设 P(x，4 3x)，所以 PB → ＝(3－x，－4 3x)，PC → ＝ (－x，4－4 3x)，AP → ＝(x， 4 3x)，AP → ·(PB → ＋PC → )＝－50 9 x2＋25 3 x＝－50 9 (x－3 4 )2 ＋25 8 ，所以当 x＝3 4 时，AP → ·(PB → ＋PC → )的最大值为25 8 .故选 B. 【答案】　B 系要建得巧，题就解得妙 坐标是向量代数化的媒介，而坐标的获得又要借助于直角坐标系，对于某些平面向量问 题，若能建立适当的直角坐标系，往往能很快实现问题的转化．常见的建系方法如下： (1)利用图形中现成的垂直关系 若图形中有明显互相垂直且相交于一点的两条直线(如矩形、直角梯形等)，可以利用这 两条直线建立坐标系； (2)利用图形中的对称关系 图形中虽没有明显互相垂直交于一点的两条直线，但有一定对称关系(如：等腰三角形、 等腰梯形等)，可利用自身对称性建系．建立平面直角坐标系的基本原则是尽可能地使顶点 在坐标轴上，或在同一象限． 　如图，在正方形 ABCD 中，M，N 分别是 BC，CD 的中点，若AC → ＝λAM → ＋μBN → ，则 λ＋μ＝ ． 解析：法一：以 AB，AD 所在直线分别为 x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 设正方形的边长为 1，则AM → ＝(1， 1 2 )，BN → ＝(－1 2，1)，AC → ＝(1，1)．因为AC → ＝λAM → ＋μ BN → ＝(λ－μ 2， λ 2 ＋μ)，所以{λ－μ 2＝1， λ 2 ＋μ＝1， 解得{λ＝6 5， μ＝2 5， 所以 λ＋μ＝8 5. 法二：由AM → ＝AB → ＋1 2AD → ，BN → ＝－1 2AB → ＋AD → ，得AC → ＝λAM → ＋μBN → ＝(λ－μ 2 )AB → ＋(λ 2＋μ )AD → ， 又AC → ＝AB → ＋AD → ，所以{λ－μ 2＝1， λ 2 ＋μ＝1， 解得{λ＝6 5， μ＝2 5. 所以 λ＋μ＝8 5. 答案：8 5 [基础题组练] 1．已知 e1＝(2，1)，e2＝(1，3)，a＝(－1，2)．若 a＝λ1e1＋λ2e2，则实数对(λ1，λ2)为 (　　) A．(1，1) B．(－1，1) C．(－1，－1) D．(1，－1) 解析：选 B.因为 e1＝(2，1)，e2＝(1，3)，所以 a＝λ1e1＋λ2e2＝λ1(2，1)＋λ2(1，3)＝(2λ1 ＋λ2，λ1＋3λ2)．又因为 a＝(－1，2)，所以{2λ1＋λ2＝－1， λ1＋3λ2＝2， 解得{λ1＝－1， λ2＝1. 故选 B. 2．(2020·河南新乡三模)设向量 e1，e2 是平面内的一组基底，若向量 a＝－3e1－e2 与 b＝ e1－λe2 共线，则 λ＝(　　) A.1 3 B．－1 3 C．－3 D．3 解析：选 B.法一：因为 a 与 b 共线，所以存在 μ∈R，使得 a＝μb，即－3e1－e2＝μ(e1－ λe2)． 故 μ＝－3，－λμ＝－1，解得 λ＝－1 3. 故选 B. 法二：因为向量 e1，e2 是平面内的一组基底， 故由 a 与 b 共线可得， 1 －3＝ －λ －1，解得 λ＝－1 3. 故选 B. 3．已知 OB 是平行四边形 OABC 的一条对角线，O 为坐标原点，OA → ＝(2，4)， OB → ＝ (1，3)，若点 E 满足OC → ＝3EC → ，则点 E 的坐标为(　　) A.(－2 3，－2 3) B.(－1 3，－1 3) C.(1 3， 1 3 ) D．(2 3， 2 3 ) 解析：选 A.易知OC → ＝OB → －OA → ＝(－1，－1)，则 C(－1，－1)，设 E(x，y)，则 3 EC → ＝ 3(－1－x，－1－y)＝(－3－3x，－3－3y)，由OC → ＝3 EC → 知{－3－3x＝－1， －3－3y＝－1， 所以{x＝－2 3， y＝－2 3， 所以 E(－2 3，－2 3). 4．(2020·河北豫水中学质检)已知在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D 是△ABC 内一点，且∠DAB＝60°，设AD → ＝λAB → ＋μAC → (λ，μ∈R)，则λ μ＝(　　) A.2 3 3 B. 3 3 C．3 D．2 3 解析：选 A.如图，以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AC 所在直线为 y 轴建立平面直 角坐标系，则 B 点的坐标为(1，0)，C 点的坐标为(0，2)， 因为∠DAB＝60°，所以设 D 点的坐标为(m， 3m)(m≠0)． AD → ＝(m， 3m)＝λAB → ＋μAC → ＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则 λ＝m，且 μ＝ 3 2 m， 所以λ μ＝2 3 3 . 5．设向量 a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量 λa＋b 与向量 c＝(－4，－7)共线，则 λ ＝ ． 解析：因为 a＝(1，2)，b＝(2，3)，所以 λa＋b＝(λ，2λ)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3)． 因为向量 λa＋b 与向量 c＝(－4，－7)共线， 所以－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.所以 λ＝2. 答案：2 6．已知点 A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若AP → ＝AB → ＋λAC → (λ∈R)，且点 P 在直线 x－2y ＝0 上，则 λ 的值为 ． 解析：设 P(x，y)，则由AP → ＝AB → ＋λAC → ，得(x－2，y－3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋ 7λ)，所以 x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点 P 在直线 x－2y＝0 上，故 5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得 λ＝－ 2 3. 答案：－2 3 7．在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是 CD 和 BC 的中点．若AC → ＝λAE → ＋μAF → ，其中 λ，μ∈R，则 λ＋μ＝ ． 解析：选择AB → ，AD → 作为平面向量的一组基底， 则AC → ＝AB → ＋AD → ，AE → ＝1 2AB → ＋AD → ，AF → ＝AB → ＋1 2AD → ， 又AC → ＝λAE → ＋μAF → ＝(1 2λ＋μ)AB → ＋(λ＋1 2μ)AD → ，于是得{1 2λ＋μ＝1， λ＋1 2μ＝1， 解得{λ＝2 3， μ＝2 3， 所以 λ＋μ＝4 3. 答案：4 3 8．已知点 O 为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，OM → ＝t1OA → ＋t2AB → . (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件； (2)求证：当 t1＝1 时，不论 t2 为何实数，A，B，M 三点共线． 解：(1)OM → ＝t1OA → ＋t2AB → ＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2)． 点 M 在第二或第三象限⇔{4t2＜0， 2t1＋4t2 ≠ 0， 解得 t2＜0 且 t1＋2t2≠0. 故所求的充要条件为 t2＜0 且 t1＋2t2≠0. (2)证明：当 t1＝1 时，由(1)知OM → ＝(4t2，4t2＋2)． 因为AB → ＝OB → －OA → ＝(4，4)， AM → ＝OM → －OA → ＝(4t2，4t2)＝t2(4，4)＝t2AB → ， 所以 A，B，M 三点共线． [综合题组练] 1．若 α，β 是一组基底，向量 γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量 γ 在基底 α，β 下 的坐标，现已知向量 a 在基底 p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则 a 在另一组 基底 m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为(　　) A．(2，0) B．(0，－2) C．(－2，0) D．(0，2) 解析：选 D.因为 a 在基底 p，q 下的坐标为(－2，2)， 即 a＝－2p＋2q＝(2，4)， 令 a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)， 所以{－x＋y＝2， x＋2y＝4， 即{x＝0， y＝2. 所以 a 在基底 m，n 下的坐标为(0，2)． 2.给定两个长度为 1 的平面向量OA → 和OB → ，它们的夹角为 90°，如图所示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB ︵ 上运动，若OC → ＝xOA → ＋yOB → ，其中 x，y∈R，则 x＋y 的最大值是(　　) A．1 B. 2 C. 3 D．2 解析：选 B.因为点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB ︵ 上，所以|OC → |2＝|xOA → ＋yOB → |2＝x2＋y2＋2xy OA → ·OB → ＝x2＋y2， 所以 x2＋y2＝1，则 2xy≤x2＋y2＝1. 又(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2， 故 x＋y 的最大值为 2. 3．设OA → ＝(－2，4)，OB → ＝(－a，2)，OC → ＝(b，0)，a>0，b>0，O 为坐标原点，若 A， B，C 三点共线，则1 a＋1 b的最小值为 ． 解析：由已知得AB → ＝(－a＋2，－2)，AC → ＝(b＋2，－4)， 因为 A，B，C 三点共线， 所以(－a＋2，－2)＝λ(b＋2，－4)， 即{－a＋2＝λ（b＋2）， －2＝－4λ， 整理得 2a＋b＝2， 所以1 a＋1 b＝1 2(2a＋b)(1 a＋1 b )＝1 2(3＋2a b ＋b a)≥1 2(3＋2 2a b ·b a)＝3 2＋ 2(当且仅当 a＝2－ 2， b＝2 2－2 时等号成立)． 答案：3 2＋ 2 4．(2020·黑龙江大庆二模)已知 W 为△ABC 的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝120°， 设AW → ＝λ1AB → ＋λ2AC → ，则 2λ1＋λ2＝ ． 解析：以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示． 根据已知条件可知 A(0，0)，B(4，0)，C(－1， 3)． 根据外心的性质可知点 W 在直线 x＝2 上(如图所示)． 易知线段 AC 中点的坐标为(－1 2， 3 2 )，直线 AC 的斜率为－ 3，故线段 AC 的中垂线 l 的斜率为 3 3 (如图所示)，方程为 y－ 3 2 ＝ 3 3 (x＋1 2 ). 令 x＝2，解得 y＝4 3 3 ，故 W(2， 4 3 3). 由AW → ＝λ1AB → ＋λ2 AC → 得(2， 4 3 3)＝λ1(4，0)＋λ2(－1， 3)， 即{4λ1－λ2＝2， 3λ2＝4 3 3，解得{λ1＝5 6， λ2＝4 3. 所以 2λ1＋λ2＝5 3＋4 3＝3. 答案：3