2017-2018学年安徽师范大学附属中学高二下学期期中考查数学（理）试题 Word版 9页

安徽师范大学附属中学2017-2018学年度第二学期期中考查 高二数学试题（理）‎ 命题教师： 审题教师： ‎ 一、选择题：本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．复数的虚部是（　　） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎2．下列求导运算正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.   函数在点处的切线方程为 ，则 等于（ ）‎ A. －4                                B. －2                               C. 2                              D. 4‎ ‎4．由曲线 以及所围成的图形的面积等于（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎5．直线是曲线的一条切线，则实数的值为（　 　） ‎ A．2 B．ln2+1 C．ln2﹣1 D．ln2 ‎ ‎6．用数学归纳法证明“ ”时，由不等式成立，推证时，左边应增加的项数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．已知有下列各式：‎ 成立，观察上面各式，按此规律若则正数=（　　）‎ A．4 B．5 C．44 D．55‎ ‎8．设函数在R上可导，其导函数，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（　　） ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．若则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．若点在函数的图象上，点在函数的图象上，则的最小值为（　　）‎ A． B．8 C ．2 D．2‎ ‎12.若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实数根个数是（ ）‎ ‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ 二、填空题（每题3分，满分12分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．设复数，则的共轭复数为　　．‎ ‎14．学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：‎ 甲说：“是C或D作品获得一等奖”；‎ 乙说：“B作品获得一等奖”；‎ 丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；‎ 丁说：“是C作品获得一等奖”．‎ 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是　　．‎ ‎15．如图所示的数阵中，第15行第2个数字是　　．‎ ‎…‎ ‎16．以下判断正确的序号是　 　‎ ‎（1）集合，为虚数单位，，，则复数.‎ ‎（2）‎ ‎（3）已知函数，对任意的恒成立，则的取值范围为．‎ ‎（4）设，定义为的导数，即若△的内角满足，则 三、解答题 （本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题满分8分）‎ 已知函数在处的切线方程为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的极值.‎ ‎18．（本小题满分8分）‎ 由下列不等式：,,,,…，你能得到一个怎样的一般不等式？并请加以证明．‎ ‎19．（本小题满分8分）‎ ‎（1）已知且，求证：中至少有一个小于2；‎ ‎（2）已知求证：．‎ ‎20. （本小题满分8分）已知函数.‎ ‎（1）当时，求的最小值； ‎ ‎（2）若在上为单调函数，求实数的取值范围.‎ ‎21．（本小题满分8分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）若在定义域内无极值点，求实数的取值范围；‎ ‎（2）求证：当时，恒成立.‎ ‎22．（本小题满分12分）．‎ 已知函数 ‎（1）求函数的最小值；‎ ‎（2）设，讨论函数的单调性；‎ ‎（3） 若斜率为的直线与曲线交于两点，求证：.‎ 高二数学（理）参考答案：‎ BBDDC CCABB BA ‎13. 14. B 15. 16. (1) (2)(3)(4)‎ ‎17.解（1）因为，所以；...............................1分 又，..............................2分 而函数在处的切线方程为，‎ 所以，所以；......................................3分 （2） 由（1）得，，‎ 当时，； 当时，；‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，....................6分 所以有极大值,无极小值．......................................8分 ‎18.解：根据给出的几个不等式 可以猜想第n个不等式，即一般不等式为：．.........2分 用数学归纳法证明如下：‎ ‎①当n=1时，1，猜想正确．‎ ‎②假设n=k时猜想成立，即，‎ 则n=k+1时，‎ ‎==，‎ 即当n=k+1时，猜想也成立，‎ 所以对任意的n∈N+，不等式成立．......................................8分 ‎19．证明：（1）假设都不小于2，则，‎ ‎∵a＞0，b＞0，∴1+b≥2a，1+a≥2b，‎ 两式相加得：2+a+b≥2（a+b），解得 a+b≤2，这与已知a+b＞2矛盾，故假设不成立，‎ ‎∴中至少有一个小于2．......................................4分 ‎（2）∵﹣＞1，a＞0，∴0＜b＜1，‎ 要证＞，只需证•＞1，‎ 只需证1+a﹣b﹣ab＞1，只需证a﹣b﹣ab＞0，即＞1．‎ 即﹣＞1．这是已知条件，所以原不等式成立．...................................8分 ‎20.解：（1）当时，，∴. 令，得或（舍）.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎ ‎ ‎↘‎ 极小值 ‎ ‎↗‎ 又当时，，‎ ‎∴当时，函数的最小值为.................................3分 ‎（2）∵，∴，又在上为单调函数，∴当时，或恒成立， 也就是或对恒成立， 即或对恒成立. 令，则.∴当时，.∴在上单调递减，又当 时，；当时，，................................8分 ‎∴，故在上为单调函数时，实数的取值范围为. 21.解：（1）由题意知，‎ 令，则，‎ 当时，在上单调递减， ‎ 当时，在上单调递增，‎ 又，∵在定义域内无极值点，∴ ‎ 又当时，在和上都单调递增也满足题意，所以 ................................4分 ‎（2），令，由（1）可知在上单调递増，又 ‎，所以存在唯一的零点，故在上单调递减，在上单调递増，‎ ‎∴由知即当时，恒成立. ................................8分 ‎. ‎ 则 ‎ ......................3分 ‎ .............4分 ‎ ① ‎ 时，恒有，在上是增函数； ‎ ② ‎ 时, ‎ ‎ ‎ 综上，当时，在上是增函数； .........................5分 ‎ 时，在上单调递增，在上单调递减....6分 ‎ ‎（3）‎ ‎， ‎ 则只要证:，由 故等价于证:(*) ...............................8分 ‎ ①‎ ‎ ‎ ‎ ......................................................10分 ‎ ②‎ ‎ ‎ 由①②知（*）成立， .......................................12分