2018届二轮复习专题突破——数列：数列的求和及综合应用课件（全国通用） 35页

数列的求和及综合应用 【 考点梳理 】 2. 数列与函数、不等式的交汇 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出 S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化 . 数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题、不等关系或恒成立问题 . 【例 1 】 已知等差数列 { a n } 的首项 a 1 ＝ 2 ，前 n 项和为 S n ，等比数列 { b n } 的首项 b 1 ＝ 1 ，且 a 2 ＝ b 3 ， S 3 ＝ 6 b 2 ， n ∈ N * . (1) 求数列 { a n } 和 { b n } 的通项公式； (2) 数列 { c n } 满足 c n ＝ b n ＋ ( － 1) n a n ，记数列 { c n } 的前 n 项和为 T n ，求 T n . 【 题型突破 】 题型一、分组转化求和 1. 在处理一般数列求和时 ， 一定要注意运用转化思想 . 把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和 . 在利用分组求和法求和时 ， 常常根据需要对项数 n 进行讨论 . 最后再验证是否可以合并为一个表达式 . 2 . 分组求和的策略： (1) 根据等差、等比数列分组； (2) 根据正号、负号分组 . 【 类题通法 】 等差数列 { a n } 中， a 3 ＋ a 4 ＝ 4 ， a 5 ＋ a 7 ＝ 6. (1) 求 { a n } 的通项公式； (2) 设 b n ＝ [ a n ] ，求数列 { b n } 的前 10 项和，其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数，如 [0.9] ＝ 0 ， [2.6] ＝ 2. 【 对点训练 】 题型二、 裂 项相消法求和 1. 裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项 ，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些 项 . 2 . 消项规律：消项后前边剩几项 ， 后边就剩几项 ， 前边剩第几项 ， 后边就剩倒数第几项 . 【 类题通法 】 【 对点训练 】 【例 3 】 已知 { a n } 为等差数列，前 n 项和为 S n ( n ∈ N * ) ， { b n } 是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0 ， b 2 ＋ b 3 ＝ 12 ， b 3 ＝ a 4 － 2 a 1 ， S 11 ＝ 11 b 4 . (1) 求 { a n } 和 { b n } 的通项公式； (2) 求数列 { a 2 n b n } 的前 n 项和 ( n ∈ N * ). 【 解析 】(1) 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，等比数列 { b n } 的公比为 q ，由已知 b 2 ＋ b 3 ＝ 12 ，得 b 1 ( q ＋ q 2 ) ＝ 12 ， 而 b 1 ＝ 2 ，所以 q 2 ＋ q － 6 ＝ 0 ， 又因为 q >0 ，解得 q ＝ 2 ，所以 b n ＝ 2 n . 题型三、 错位相减求和 由 b 3 ＝ a 4 － 2 a 1 ，可得 3 d － a 1 ＝ 8 ， ① 由 S 11 ＝ 11 b 4 ，可得 a 1 ＋ 5 d ＝ 16 ， ② 联立 ①② ，解得 a 1 ＝ 1 ， d ＝ 3 ，由此可得 a n ＝ 3 n － 2. 所以 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 3 n － 2 ， { b n } 的通项公式为 b n ＝ 2 n . (2) 设数列 { a 2 n b n } 的前 n 项和为 T n ，由 a 2 n ＝ 6 n － 2 ， b n ＝ 2 n ，有 T n ＝ 4 × 2 ＋ 10 × 2 2 ＋ 16 × 2 3 ＋ … ＋ (6 n － 2) × 2 n ， 2 T n ＝ 4 × 2 2 ＋ 10 × 2 3 ＋ 16 × 2 4 ＋ … ＋ (6 n － 8) × 2 n ＋ (6 n － 2) × 2 n ＋ 1 ， 1. 一般地 ， 如果数列 { a n } 是等差数列 ， { b n } 是等比数列 ， 求数列 { a n · b n } 的前 n 项和时 ， 可采用错位相减法求和 ， 一般是和式两边同乘以等比数列 { b n } 的公比 ， 然后作差求解 . 2 . 在写 “ S n ” 与 “ qS n ” 的表达式时应特别注意将两式 “ 错项对齐 ” ， 以便下一步准确地写出 “ S n － qS n ”的表达式 . 【 类题通法 】 已知等差数列 { a n } 满足： a n ＋ 1 > a n ( n ∈ N * ) ， a 1 ＝ 1 ，该数列的前三项分别加上 1 ， 1 ， 3 后成等比数列，且 a n ＋ 2log 2 b n ＝－ 1. (1) 求数列 { a n } ， { b n } 的通项公式； (2) 求数列 { a n · b n } 的前 n 项和 T n . 【 对点训练 】 题型四、 a n 与 S n 的关系问题 1. 给出 S n 与 a n 的递推关系求 a n ， 常用思路是：一是利用 S n － S n － 1 ＝ a n ( n ≥ 2) 转化为 a n 的递推关系 ， 再求其通项公式；二是转化为 S n 的递推关系 ， 先求出 S n 与 n 之间的关系 ， 再求 a n . 2 . 形如 a n ＋ 1 ＝ pa n ＋ q ( p ≠ 1 ， q ≠ 0) ， 可构造一个新的等比数列 . 【 类题通法 】 【 解析 】(1) 证明 ∵ S n ＝ a n ＋ 1 ＋ 2 n － 3 ， n ∈ N * ， ① 当 n ≥ 2 时， S n － 1 ＝ a n ＋ 2 n － 5 ， ② ① － ② 得： a n ＝ a n ＋ 1 － a n ＋ 2 ， 整理可得： a n ＋ 1 － 2 ＝ 2( a n － 2) ， 又当 n ＝ 1 时， S 1 ＝ a 2 ＋ 2 － 3 ，所以 a 2 ＝ 4 ， 【 对点训练 】 题型五、 数列与函数、不等式的综合问题 1. 求解数列与函数交汇问题注意两点： (1) 数列是一类特殊的函数 ， 其定义域是正整数集 ( 或它的有限子集 ) ， 在求数列最值或不等关系时要特别重视； (2) 解题时准确构造函数 ， 利用函数性质时注意限制条件 . 2 . 数列为背景的不等式恒成立、不等式证明 ， 多与数列的求和相联系 ， 最后利用数列或数列对应函数的单调性处理 . 【 类题通法 】 【 对点训练 】