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- 2021-07-01 发布
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91
不等式的性质及应用
1.(2015山西二测,文3,不等式的性质及应用,选择题)已知a<0,0ab B.a>ab2 C.abab2
解析:由题意得ab-ab2=ab(1-b)<0,所以abb,ab≠0,则下列不等式中:
①a2>b2;②1a<1b;③a3>b3;④a2+b2>2ab.
恒成立的不等式的个数是 .
解析:当a=1,b=-2时,显然①②不成立;对于③,当a,b异号时,a>0>b时,显然有a3>0>b3,当a,b同号时,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)>0,所以③恒成立;对于④,a2+b2-2ab=(a-b)2>0,所以a2+b2>2ab,即④恒成立.综上所述,不等式恒成立的个数为2.
答案:2
92
一元二次不等式的解法
1.(2015广西柳州3月模拟,文9,一元二次不等式的解法,选择题)若△ABC为钝角三角形,三边长分别为2,3,x,则x的取值范围是( )
A.(1,5) B.(13,5)
C.(5,13) D.(1,5)∪(13,5)
解析:依题意,当x是最大边长时,则有
3-222+32,解得1322+x2,
解得10且f(1)=1.若对于任意a∈[-1,1],存在x∈[-1,1],使f(x)≤t2-2at-1成立,则实数t的取值范围是( )
A.-2≤t≤2 B.t≤-1-3或t≥3+1
C.t≤0或t≥2 D.t≥2或t≤-2或t=0
解析:因为对于任意x1,x2∈[-1,1],x1≠x2,总有f(x1)-f(x2)x1-x2>0,
故函数f(x)在[-1,1]上单调递增.
由于存在x∈[-1,1],使f(x)≤t2-2at-1成立,
故[f(x)]min≤t2-2at-1,结合函数的单调性可知f(-1)≤t2-2at-1.
因为函数f(x)为奇函数,故f(-1)=-f(1)=-1,
故t2-2at-1≥-1,即t2-2at≥0.
由于对任意a∈[-1,1],t2-2at≥0(*)恒成立,
故令g(a)=-2ta+t2,问题转化为[g(a)]min≥0.
①当t=0时,易知(*)式显然成立;②当t<0时,函数g(a)在[-1,1]上单调递增,则g(-1)=2t+t2≥0,解得t≤-2;③当t>0时,函数g(a)在[-1,1]上单调递减,则g(1)=-2t+t2≥0,解得t≥2.
综上所述,实数t的取值范围为t≥2或t≤-2或t=0,故选D.
答案:D
4.(2015山西大附中第五次月考,文11,一元二次不等式的解法,选择题)定义(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]的长度均为d=b-a,用[x]表示不超过x的最大整数,例如[3.2]=3,[-2.3]=-3,记{x}=x-[x],设f(x)=[x]·{x},g(x)=x-1,若用d表示不等式f(x)1,不符合题意;
当x∈[1,2)时,[x]=1,不等式的解为0<0,无解,不符合题意;
当x∈[2,3)时,[x]=2,所以不等式([x]-1)x<[x]2-1等价于x<22-1=3,此时恒成立,所以此时不等式的解为2≤x<3;
当x=3时,[x]=3,不等式([x]-1)x<[x]2-1等价于2x<9-1,x<4,所以x=3成立.
综上所述,不等式f(x)0所表示的平面区域内运动,l为过点P和坐标原点O的直线,则l的斜率的取值范围为 .
解析:结合图形求解,作出不等式组对应的平面区域是以点(0,0),(0,2),(1,1)为顶点的三角形区域,点P(t,1)在区域内,则01,则实数m的取值范围为( )
A.-12,1 B.-12,1
C.-1,12 D.-1,12
解析:在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线mx+y+m-1=0,即m(x+1)+(y-1)=0,该直线的斜率是-m,过定点(-1,1).
结合图形可知,要使直线mx+y+m-1=0经过该平面区域内的点,则需-1<-m<12,即-120)仅在点(3,0)处取得最大值,则a的取值范围是( )
A.-∞,-12 B.-12,0
C.0,12 D.12,+∞
解析:结合图形求解.不等式组对应的平面区域是以点(3,0),(0,1)和(1,1)为顶点的三角形,若目标函数z=ax+y,a>0仅在(3,0)处取得最大值,则-a<-12,a>12,故选D.
答案:D
9.(2015辽宁大连双基测试,文9,与目标函数有关的最值问题,选择题)设变量x,y满足约束条件x-y-2≤0,3x+y-6≥0,y≤3,则z=-2x+y的最小值为( )
A.-7 B.-6 C.-1 D.2
解析:依题意,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线-2x+y=0,平移该直线,当平移到经过该平面区域内的点(5,3)时,相应直线在y轴上的截距达到最小,此时z=-2x+y取得最小值-7,故选A.
答案:A
10.(2015吉林长春质量监测(二),文5,与目标函数有关的最值问题,选择题)若x,y满足约束条件y≤-x+1,y≤x+1,y≥0,则3x+5y的取值范围是( )
A.[-5,3] B.[3,5] C.[-3,3] D.[-3,5]
解析:由题意可知3x+5y在(-1,0)处取得最小值,在(0,1)处取得最大值,即3x+5y∈[-3,5],故选D.
答案:D
11.(2015贵州贵阳监测考试(一),文10,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知实数x,y满足不等式组x-y+2≥0,x+y-4≥0,2x-y-5≤0,若目标函数z=y-ax取得最大值时的唯一最优解为(1,3),则实数a的取值范围为( )
A.(1,+∞) B.[1,+∞) C.(0,1) D.(-∞,-1)
解析:结合图形求解.不等式组对应的平面区域是以点(1,3),(3,1),(7,9)为顶点的三角形,若目标函数y=ax+z取得最大值时的最优解是唯一的(1,3),则a>1,故选A.
答案:A
12.(2015广西柳州3月模拟,文14,与目标函数有关的最值问题,填空题)已知x,y满足不等式组y≤x,x+y≥2,x≤2,则z=2x+y的最大值为 .
解析:依题意,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x+y=0,平移该直线,当平移到经过该平面区域内的点(2,2)时,相应直线在x轴上的截距达到最大,此时z=2x+y取得最大值6.
答案:6
13.(2015吉林省吉林市二调,文13,与目标函数有关的最值问题,填空题)若实数x,y满足x+y≤10,x-y≤2,x≥4,则z=2x+3y的最小值是 .
解析:不等式组表示的可行域如图中的阴影部分所示,
由z=2x+3y得y=-23x+z3,由图象可知,当y=-23x+z3经过x-y=2,x=4的交点(4,2)时,zmin=8+6=14.
答案:14
15.(2015山西四校三联,文14,与目标函数有关的最值问题,填空题)设变量x,y满足约束条件y≤3x-2,x-2y+1≤0,2x+y≤8,则yx-1的最小值是 .
解析:依题意,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域;yx-1可视为该平面区域内的点(x,y)与点A(1,0)连线的斜率,结合图形可知,在该平面区域内的点(x,y)与点A(1,0)连线的斜率最小的点是(3,2),因此yx-1的最小值是1.
答案:1
14.(2015河南十校测试(四),文7,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知实数x,y满足x+y-m≤0,2x-y+1≥0,y-1≥0,若目标函数z=x-y的最小值是-2,则此目标函数的最大值是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:根据约束条件,作出对应的可行域,应用数形结合思想求解.
由约束条件可知可行域如图中的阴影部分所示,目标函数等值线y=x-z过点Am-13,2m+13时,在y轴上的截距最大,此时目标函数取值最小,最小值为zmin=x-y=-m+23,则-m+23=-2,m=4.
直线y=x-z过点B(m-1,1),即B(3,1)时,在y轴上的截距最小,此时目标函数取值最大,最大值为zmax=3-1=2,故选A.
答案:A
16.(2015江西九校联合考试,文15,与目标函数有关的最值问题,填空题)设不等式组x≥1,x-2y+3≥0,y≥x所表示的平面区域是Ω1,平面区域Ω2与Ω1关于直线3x-4y-9=0对称,对于Ω1中的任意一点A与Ω2中的任意一点B,|AB|的最小值为 .
解析:依题意,在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域Ω1及直线3x-4y-9=0,结合图形可知,在该平面区域内所有的点中,点(1,1)到直线3x-4y-9=0的距离最近,该距离等于|3×1-4×1-9|5=2,因此|AB|的最小值等于2×2=4.
答案:4
21.(2015山西3月质量监测,文13,与目标函数有关的最值问题,填空题)若变量x,y满足|x|+|y|≤1,xy≥0,则2x+y的取值范围为 .
解析:不等式组|x|+|y|≤1,xy≥0等价于x+y≤1,x≥0,y≥0或-x-y≤1,x≤0,y≤0,
在平面直角坐标系内画出其表示的平面区域,易知目标函数z=2x+y在点(1,0)处取得最大值2,在点(-1,0)处取得最小值-2,即2x+y的取值范围为[-2,2].
答案:[-2,2]
17.(2015河南实验中学质量检测,文8,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知z=2x+y,其中实数x,y满足y≥x,x+y≤2,x≥a,且z的最大值是最小值的4倍,则a的值是( )
A.211 B.14 C.4 D.112
解析:结合图形求解.
不等式组对应的平面区域是以点(a,a),(a,2-a),(1,1)(a<1)为顶点的三角形,当z=2x+y经过点(1,1)时,z取得最大值3,经过点(a,a)时,z取得最小值3a,则3=4×3a,a=14,故选B.
答案:B
18.(2015河北石家庄二中一模,文5,与目标函数有关的最值问题,选择题)设z=x+y,其中实数x,y满足x+2y≥0,x-y≤0,0≤y≤k,若z的最大值为6,则z的最小值为( )
A.-3 B.-2 C.-1 D.0
解析:作出实数x,y满足的平面区域如图中的阴影部分所示,由图可知当目标函数z=x+y经过点A(k,k)时取得最大值,即k+k=6,解得k=3;
当目标函数z=x+y经过点B(-2k,k)时取得最小值,所以zmin=-2×3+3=-3,故选A.
答案:A
19.(2015河北衡水中学二模,文7,与目标函数有关的最值问题,选择题)设变量x,y满足约束条件2x+y-2≥0,x-2y+4≥0,x-1≤0,则目标函数z=2y-3x的最大值为( )
A.-3 B.2 C.3 D.4
解析:满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示,当y=z+3x2经过点C(0,2)时,目标函数z=2y-3x取得最大值为4,故选D.
答案:D
22.(2015河北保定一模,文10,与目标函数有关的最值问题,选择题)若a∈[0,1),当x,y满足x-ay-2≤0,x-y+1≥0,2x+y-4≥0时,z=x+y的最小值为( )
A.4 B.3 C.2 D.无法确定
解析:因为直线x-ay-2=0恒过点(2,0),由此作出x,y满足的平面区域如图中的阴影部分所示,由图知当目标函数z=x+y经过点B(2,0)时,z取得最小值,即zmin=2+0=2,故选C.
答案:C
23.(2015山西二测,文11,与目标函数有关的最值问题,选择题)设实数x,y满足约束条件x≥0,y≥0,x-y+2≥0,3x-y-2≤0,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为6,则1a+2b的最小值为( )
A.8 B.4 C.9 D.3
解析:在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,由图易得当目标函数经过平面区域内的点(2,4)时,z=ax+by取得最大值6,即2a+4b=6,a+2b=3,则1a+2b=13(a+2b)·1a+2b=135+2ba+2ab≥135+22ba·2ab=3,当且仅当a=b=1时,等号成立,所以1a+2b的最小值为3,故选D.
答案:D
24.(2015山西太原模拟(一),文10,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知实数x,y满足条件x≥2,x+y≤4,-2x+y+c≥0,若目标函数z=3x+y的最小值为5,则其最大值为( )
A.10 B.12 C.14 D.15
解析:结合图形求解.不等式组对应的平面区域是以点(2,2),(2,4-c)和c+43,8-c3(c>2)为顶点的三角形区域(包含边界),当目标函数z=3x+y经过点(2,4-c)时,z取得最小值5,所以6+4-c=5,c=5.
当目标函数z=3x+y经过点c+43,8-c3,即(3,1)时,z取得最大值10,故选A.
答案:A
25.(2015河北石家庄一检,文8,与目标函数有关的最值问题,选择题)实数x,y满足条件x+y-4≤0,x-2y+2≥0,x≥0,y≥0,则z=x-y的最小值为( )
A.1 B.-1 C.12 D.2
解析:在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,则当目标函数过点A(0,1)时,z=x-y取得最小值-1,故选B.
答案:B
26.(2015河北石家庄二检,文5,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知实数x,y满足条件y≥x,x+y≥1,x≥1,则z=2x+y的最小值为( )
A.3 B.2 C.32 D.0
解析:结合图形求解.作出约束条件对应的平面区域如图,当目标函数y=-2x+z经过点(1,1)时,z取得最小值,故选A.
答案:A
27.(2015河北唐山一模,文6,与目标函数有关的最值问题,选择题)设x,y满足约束条件x-y+2≥0,2x+y-5≥0,2x-y-3≤0,则z=3x+2y的最大值为( )
A.8 B.9 C.28 D.29
解析:先作出线性约束条件表示的平面区域,然后利用图解法求z=3x+2y的最大值.
线性约束条件x-y+2≥0,2x+y-5≥0,2x-y-3≤0表示的平面区域如图中的阴影部分所示.
由z=3x+2y可得y=-32x+z2,由x-y+2=0,2x-y-3=0得A(5,7),由图可知当直线y=-32x+z2经过点A(5,7)时,有最大值zmax=3×5+2×7=29,故选D.
答案:D
28.(2015河南六市一联,文7,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知正数x,y满足2x-y≤0,x-3y+5≥0,则z=4-x·12y的最小值为( )
A.1 B.1432 C.116 D.132
解析:结合图形求解.点(x,y)对应的平面区域是以点(0,0),0,53和(1,2)为顶点的三角形区域(不包含y轴上的点),当2x+y经过点(1,2)时取得最大值4,此时z=4-x·12y=122x+y取得最小值116,故选C.
答案:C
29.(2015河南洛阳3月统一考试,文8,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知不等式组x+y≤2,x≥0,y≥m表示的平面区域的面积为2,则x+y+2x+1的最小值为( )
A.32 B.43 C.2 D.4
解析:在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域,易知平面区域的面积为12×(2-m)2=2,解得m=0.
又因为x+y+2x+1=1+y+1x+1表示平面区域内的点与点(-1,-1)的连线的斜率加1,易知平面区域内的点(2,0)与点(-1,-1)的连线的斜率最小,则x+y+2x+1的最小值为2+0+22+1=43,故选B.
答案:B
30.(2015江西南昌一模,文5,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知实数x,y满足x+1-y≥0,x+y-4≤0,y≥m,若目标函数z=2x+y的最大值与最小值的差为2,则实数m的值为( )
A.4 B.3 C.2 D.-12
解析:结合图形求解.不等式组对应的平面区域是以点(m-1,m),(4-m,m),32,52,m<32为顶点的三角形,当目标函数y=-2x+z经过点(4-m,m)时,z取得最大值8-m;经过点(m-1,m)时,z取得最小值3m-2,所以(8-m)-(3m-2)=2,解得m=2,故选C.
答案:C
31.(2015江西南昌二模,文5,与目标函数有关的最值问题,选择题)若实数x,y满足条件x+y≥0,x-y+1≥0,0≤x≤1,则z=x-3y的最小值为( )
A.-5 B.-3 C.1 D.4
解析:不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,设z=x-3y,则y=x3-z3,由图象可知当y=x3-z3经过x=1,x-y+1=0的交点(1,2)时,zmin=-5,故选A.
答案:A
32.(2015东北三省四市一联,文4,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知实数x,y满足y≥1,y≤2x-1,x+y≤8,则目标函数z=x-y的最小值为( )
A.-2 B.5 C.6 D.7
解析:作出二元一次不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.
观察可知,当直线z=x-y过点A(3,5)时,z有最小值,即zmin=3-5=-2,故选A.
答案:A
33.(2015东北三省四市二联,文9,与目标函数有关的最值问题,选择题)在平面直角坐标系中,若P(x,y)满足x-4y+4≤0,2x+y-10≤0,5x-2y+2≥0,则x+2y的最大值是( )
A.2 B.8 C.14 D.16
解析:结合图形求解.不等式组对应的平面区域是以点(0,1),(2,6)和(4,2)为顶点的三角形,当目标函数x+2y经过点(2,6)时,取得最大值14,故选C.
答案:C
34.(2015山西太原二模,文14,与目标函数有关的最值问题,填空题)已知实数x,y满足条件x≥0,4x+3y≤4,则z=y+1x的最小值为 .
解析:在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域是以点(0,0),0,43,(1,0)为顶点的三角形区域(包含边界),又因为z=y+1x=y+1x-0表示平面区域内的点与点(0,-1)的连线的斜率,由图易得平面区域内的点(1,0)与点(0,-1)的连线的斜率最小,即0+11-0=1,即z的最小值为1.
答案:1
36.(2015甘肃兰州实战,文15,与目标函数有关的最值问题,填空题)已知实数x,y满足约束条件x+2y≥0,x-y≤0,0≤y≤k,z=x+y,若z的最大值为12,则k= .
解析:在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x+y=12,结合图形可知,若直线x+y=12经过该平面区域内的点,且相应直线在x轴上的截距达到最大,此时直线y=k必经过点(6,6),k=6.
答案:6
35.(2015贵州贵阳高三适应性检测考试(二),文8,与目标函数有关的最值问题,选择题)若实数x,y满足不等式组y≤5,2x-y+3≤0,x+y-1≥0,则z=x+2y的最大值是( )
A.10 B.11 C.13 D.14
解析:不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,由z=x+2y得y=-12x+12z,由图象可知当z=x+2y经过直线2x-y+3=0与直线y=5的交点(1,5)时,zmax=11,故选B.
答案:B
37.(2015宁夏银川质量检测,文7,与目标函数有关的最值问题,选择题)若x,y满足约束条件x+y≥0,x-y+4≥0,0≤x≤4,则z=3x-y的最小值是( )
A.-5 B.-4 C.-3 D.-2
解析:结合图形求解.约束条件对应的平面区域是以点(0,0),(0,4),(4,8),(4,-4)为顶点的梯形,当目标函数y=3x-z经过点(0,4)时,z取得最小值-4,故选B.
答案:B
38.(2015东北三省三校二联,文15,与目标函数有关的最值问题,填空题)已知实数x,y满足不等式组x≤1,x+y+2≥0,kx-y≥0,若目标函数z=2x-y仅在点(1,k)处取得最小值,则实数k的取值范围是 .
解析:依题意,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x-y=0,平移该直线,仅当平移到经过该平面区域内的点(1,k)(其中k是直线kx-y=0的斜率)时,相应直线在x轴上的截距达到最小,此时z=2x-y取得最小值,结合图形可知,实数k的取值范围是(2,+∞).
答案:(2,+∞)
39.(2015河南郑州第二次质量检测,文15,与目标函数有关的最值问题,填空题)已知实数x,y满足2x+y≥0,x-y≥0,0≤x≤a,设b=x-2y,若b的最小值为-2,则b的最大值为 .
解析:依题意,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线x-2y=-2,若直线b=x-2y经过该平面区域内的点时,b取得最小值-2,则直线x=a必经过直线x-2y=-2与直线x-y=0的交点(2,2),于是有a=2.
平移直线b=x-2y到经过该平面区域内的点(2,-4)时,相应直线在x轴上的截距达到最大,此时b=x-2y取得最大值10.
答案:10
40.(2015河南郑州第三次质量检测,文14,与目标函数有关的最值问题,填空题)x,y满足不等式组x-2≤0,y-1≤0,x+2y-2≥0,则z=x-y的最大值为 .
解析:不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,由z=x-y得y=x-z,由图象可知当y=x-z经过(2,0)时,zmax=2.
答案:2
41.(2015河南适应性模拟练习,文15,与目标函数有关的最值问题,填空题)设D是不等式组x+2y≤10,2x+y≥3,x≤4,y≥1表示的平面区域,P(x,y)是D中任一点,则|x+y-10|的最大值是 .
解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,因为|x+y-10|=2|x+y-10|2,所以|x+y-10|可视为区域内的一点到直线x+y-10=0距离的2倍,由图象可知在点A(1,1)处,|x+y-10|max=8.
答案:8
97
利用基本不等式求最值
1.(2015吉林长春质量监测(二),文10,利用基本不等式求最值,选择题)设m,n∈R*,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的最小值是( )
A.2+2 B.2+22 C.4-2 D.4-22
解析:由直线与圆相切可知|m+n|=(m+1)2+(n+1)2,整理得(m-1)(n-1)=2,由2=(m-1)(n-1)≤m+n-222可知m+n≥2+22,故选B.
答案:B
7.(2015吉林省吉林市二调,文16,利用基本不等式求最值,填空题)函数f(x)满足ln x=1+f(x)1-f(x),且x1,x2均大于e,且f(x1)+f(x2)=1,则f(x1x2)的最小值为 .
解析:由ln x=1+f(x)1-f(x)得f(x)=lnx-1lnx+1,由f(x1)+f(x2)=1得ln x1-1ln x1+1+ln x2-1ln x2+1=1,即ln x1-1ln x1+1=1-ln x2-1ln x2+1=2ln x2+1,(ln x2+1)(ln x1-1)=2(ln x1+1),整理得ln x1+ln x2+3=ln x2ln x1≤ln x1+ln x222,得ln x1+ln x2≥6,即ln(x1x2)≥6,又因为f(x1x2)=ln(x1x2)+1-2ln(x1x2)+1=1-2ln(x1x2)+1为单调递增函数,所以f(x1x2)≥1-27=57.
答案:57
2.(2015辽宁重点中学协作体模拟,文6,利用基本不等式求最值,选择题)若对任意正数x,不等式1x2+1≤ax恒成立,则实数a的最小值为( )
A.1 B.2 C.12 D.22
解析:依题意得当x>0时,a≥x1+x2恒成立.
又因为1+x2x=x+1x≥2x×1x=2,当且仅当x=1x>0,即x=1时取等号,1+x2x的最小值是2,x1+x2的最大值是12,所以a≥12,a的最小值是12,故选C.
答案:C
3.(2015贵州八校二联,文7,利用基本不等式求最值,选择题)已知点A(m,n)在直线x+2y=1上,其中mn>0,则2m+1n的最小值为( )
A.42 B.8 C.9 D.12
解析:由题意得m+2n=1,所以2m+1n=(m+2n)·2m+1n=4+4nm+mn≥4+24nm·mn=8,当且仅当4nm=mn,即m=12,n=14时等号成立,所以2m+1n的最小值为8,故选B.
答案:B
4.(2015江西八校联考,文6,利用基本不等式求最值,选择题)正项等比数列{an}满足:a3=a2+2a1,若存在am,an,使得am·an=16a12,则1m+9n的最小值为( )
A.2 B.16 C.83 D.32
解析:利用等比数列的通项公式和基本不等式求解.
设正项等比数列{an}的公比为q,q>0,
由a3=a2+2a1得q2-q-2=0,解得q=2(舍负).
又存在am,an,使得am·an=16a12,则a12×2m+n-2=16a12,
即为m+n=6,所以1m+9n=1m+9nm6+n6=53+n6m+3m2n≥53+2n6m·3m2n=83,
当且仅当n6m=3m2n,m=32,n=92时取等号,所以1m+9n的最小值为83,故选C.
答案:C
10.(本小题满分12分)(2015江西八校联考,文17,利用基本不等式求最值,解答题)在直角坐标系xOy中,角α的始边为x轴的非负半轴,终边为射线l:y=22x(x≥0).
(1)求cos α+π6的值;
(2)若点P,Q分别是角α始边、终边上的动点,且PQ=6,求△POQ面积最大时,点P,Q的坐标.
解:(1)由射线l的方程为y=22x,可得sin α=223,cos α=13,(2分)
故cosα+π6=13×32-223×12=3-226.(5分)
(2)设P(a,0),Q(b,22b)(a>0,b>0).
PQ2=(a-b)2+8b2=36,(6分)
即36=a2+9b2-2ab≥6ab-2ab=4ab,所以ab≤9,(8分)
所以S△POQ=2ab≤92,
当且仅当a=3b,即a=33,b=3取得等号.(10分)
所以△POQ面积最大时,点P,Q的坐标分别为P(33,0),Q(3,26).(12分)
5.(2015河南郑州第三次质量检测,文6,利用基本不等式求最值,选择题)已知等比数列{an}中,a2=1,则其前3项的和S3的取值范围是( )
A.(-∞,-1] B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.[3,+∞) D.(-∞,-1]∪[3,+∞)
解析:因为a2=1=a1q,所以S3=a1+1+a1q2=1q+q+1,当q>0时,1q+q≥2,当q<0时,1q+q≤-2,所以S3≥3或S3≤-1,故选D.
答案:D
8.(2015河北石家庄二中一模,文13,利用基本不等式求最值,填空题)已知函数f(x)=x+4x-1(x>1),当x=a时,f(x)取得最小值为b,则a+b= .
解析:f(x)=x-1+4x-1+1≥2(x-1)·4x-1+1=5,当且仅当x-1=4x-1,即x=3时取等号,所以a=3,b=5,所以a+b=8.
答案:8
9.(2015江西三校联考,文16,利用基本不等式求最值,填空题)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的导函数为f'(x).对任意x∈R,不等式f(x)≥f'(x)恒成立,则b2a2+c2的最大值为 .
解析:对任意x∈R,ax2+(b-2a)x+(c-b)≥0(a≠0)恒成立,于是有a>0,Δ=(b-2a)2-4a(c-b)≤0,即b2≤4ac-4a2.
(22+2)a2+(22-2)c2
≥2(22+2)(22-2)a2c2=4ac,
因此4ac-4a2≤(22+2)a2+(22-2)c2-4a2=(22-2)(a2+c2),4ac-4a2a2+c2≤22-2,于是有b2a2+c2≤22-2,因此b2a2+c2的最大值是22-2.
答案:22-2
11.(本小题满分10分)(2015河南十校测试(四),文24,利用基本不等式求最值,解答题)已知a,b,c为正实数.
(1)若ab(a+b)=2,求a+b的最小值;
(2)若abc(a+b+c)=1,求(a+b)(b+c)的最小值.
解:(1)因为ab(a+b)=2≤a+b22·(a+b)(当且仅当a=b时取等号),所以a+b≥2,a+b的最小值为2.(5分)
(2)因为(a+b)(b+c)=ab+ac+b2+bc=b(a+b+c)+ac≥2abc(a+b+c)=2(当且仅当b(a+b+c)=ac时取等号),
所以(a+b)(b+c)的最小值为2.(10分)
6.(2015江西九校联合考试,文9,利用基本不等式求最值,选择题)已知x>1,y>1,且ln x,12,ln y成等比数列,则xy有( )
A.最小值e B.最小值e
C.最大值e D.最大值e
解析:依题意得ln x·ln y=14(ln x>0,ln y>0),ln x+ln y≥2lnx·lny=1,即ln(xy)≥1,xy≥e,当且仅当x=y=e时取等号,因此xy有最小值e,故选A.
答案:A
99
基本不等式的实际应用
1.(2015河北保定一模,文11,基本不等式的实际应用,选择题)司机甲、乙加油习惯不同,甲每次加定量的油,乙每次加固定钱数的油,恰有两次甲、乙同时加同单价的油,但这两次的油价不同,则从这两次加油的均价角度分析( )
A.甲合适 B.乙合适
C.油价先高后低甲合适 D.油价先低后高甲合适
解析:设司机甲每次加油量为x,司机乙每次加油费为y,两次加油的单价分别为a,b,则司机甲两次加油的均价为ax+bx2x=a+b2,司机乙两次加油的均价为2yya+yb=2aba+b且a+b2-2aba+b=(a-b)22(a+b)≥0.
又a≠b,所以(a-b)22(a+b)>0,即a+b2>2aba+b,所以这两次加油的均价,司机乙的较低,所以乙更合适,故选B.
答案:B
100
归纳推理
1.(2015宁夏银川质量检测,文13,归纳推理,填空题)如图,根据图中的数构成的规律,a表示的数是 .
解析:数表的规律是一个数等于它肩上的两个数的乘积,所以a=12×12=144.
答案:144
102
演绎推理
2.(2015河南郑州第三次质量检测,文15,演绎推理,填空题)A,B,C,D四人猜测自己所买彩票的中奖情况.
A说:“如果我中奖了,那么B也中奖了.”
B说:“如果我中奖了,那么C也中奖了.”
C说:“如果我中奖了,那么D也中奖了.”
结果三人都没有说错,但是只有两人中奖了,这两人是 .
解析:若A中奖,则B,C也中奖与题意矛盾.若B中奖,则C,D也中奖与题意矛盾.若C中奖,则D也中奖,A,B可以不中奖,与题意相符合,所以中奖的两人为C,D.
答案:C,D
3.(2015河南适应性模拟练习,文16,演绎推理,填空题)设数列{an}的前n项和为Sn,若SnS2n为常数,则称数列{an}为和谐数列.若一个首项为1,公差为d(d≠0)的等差数列为和谐数列,则该等差数列的公差d= .
解析:因为Sn=na1+n(n-1)2d,所以由和谐数列的定义可知SnS2n=n+n(n-1)2d2n+2n(2n-1)2d=k,整理得n22d+1-d2n=2dkn2+(2-d)kn,所以d2=2dk,1-d2=(2-d)k,解得k=14,d=2.
答案:2
4.(2015江西南昌二模,文15,演绎推理,填空题)观察下面数表:
1,
3,5,
7,9,11,13,
15,17,19,21,23,25,27,29,
……
设1 027是该表第m行的第n个数,则m+n等于 .
解析:该数表的通项公式为ak=2k-1,由2k-1=1 027得k=514,所以1 027是第514个奇数,前m行共有1+2+22+…+2m-1=2m-1个奇数,当m=9时,2m-1=511,所以1 027是第10行的第3个数,所以m+n=13.
答案:13
1.(2015河北石家庄二中一模,文6,演绎推理,选择题)有甲、乙、丙、丁四位同学参加歌唱比赛,其中只有一位获奖.有同学走访这四位同学,甲说:“是乙或丙获奖”,乙说:“甲、丙都未获奖”,丙说:“我获奖了”,丁说:“是乙获奖了”.若四位同学中只有两人说的话是对的,则获奖的同学是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
解析:若甲获奖了,则四位同学说的都是错的,不符合题意;若乙获奖了,则甲、乙、丁说的是对的,丙说的是错的,不符合题意;若丙获奖了,则甲、丙说的是对的,乙、丁说的是错的,符合题意;若丁获奖了,甲、丙、丁说的都是错的,乙说的是对的,不符合题意.综上所述,丙获奖了,故选C.
答案:C
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