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- 2021-07-01 发布
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双曲线及其标准方程
1.
椭圆的定义
和
等于常数
2
a
( 2
a>|F
1
F
2
|
>0
)
的点的轨迹
.
平面内与两定点
F
1
、
F
2
的距离的
2.
引入问题:
差
等于常数
的点的轨迹是什么呢?
平面内与两定点
F
1
、
F
2
的距离的
复习
|MF
1
|+|MF
2
|=2a
(
2
a>|F
1
F
2
|
>0
)
①
如图
(A)
,
|MF
1
|
-
|MF
2
|=
常数
②
如图
(B)
,
上面 两条合起来叫做双曲线
由①②可得:
| |MF
1
|
-
|MF
2
| | =
常数
(
差的绝对值)
|MF
2
|
-
|MF
1
|=
常数
双曲线在生活中 ☆
.☆
①
两个定点
F
1
、
F
2
——
双曲线的
焦点
;
②
|F
1
F
2
|=2
c ——
焦距
.
(
1
)
2a<
|F
1
F
2|
;
o
F
2
F
1
M
平面内
与两个定点
F
1
,
F
2
的距离的差
的绝对值等于常数(小于
︱F
1
F
2
︱)
的点的轨迹叫做双曲线
.
(
2
)
2a >0
;
双曲线定义
思考:
(
1
)若
2a=
|F
1
F
2|
,
则轨迹是?
(
2
)若
2a>
|F
1
F
2|
,
则轨迹是?
说明
(
3
)若
2a=0,
则轨迹是?
| |MF
1
| - |MF
2
| |
= 2a
(
1
)
两条射线
(
2
)
不表示任何轨迹
(3)
线段
F
1
F
2
的垂直平分线
如何建立适当的直角坐标系?
原则:尽可能使方程的形式简单、运算简单;
(
一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴
.)
♦
探讨建立平面直角坐标系的方案
O
x
y
O
x
y
O
x
y
方案一
O
x
y
(
对称、“简洁”
)
O
x
y
方案二
F
2
F
1
M
x
O
y
求曲线方程的步骤:
双曲线的标准方程
1.
建系
.
以
F
1,
F
2
所在的直线为
x
轴,线段
F
1
F
2
的中点为原点建立直角坐标系
2.
设点.
设
M
(
x , y
)
,
则
F
1
(-c,0),F
2
(c,0)
3.
列式
|MF
1
| - |MF
2
|=±2a
4.
化简
此即为焦点在
x
轴上的双曲线的标准方程
F
2
F
1
M
x
O
y
O
M
F
2
F
1
x
y
若建系时
,
焦点在
y
轴上呢
?
看 前的系数,哪一个为正,则在哪一个轴上
2
、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系
?
1
、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上?
问题
双曲线定义
双曲线图象
标准方程
焦点
a
.
b
.
c
的关系
| |MF
1
|
-
|MF
2
| | =2
a
(0
< 2
a
<|F
1
F
2
|
)
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
定 义
方 程
焦 点
a.b.c
的关系
F
(
±c
,
0
)
F
(
±c
,
0
)
a>0
,
b>0
,但
a
不一定大于
b
,
c
2
=a
2
+b
2
a>b>0
,
a
2
=b
2
+c
2
双曲线与椭圆之间的区别与联系
||MF
1
|
-
|MF
2
||=2a
|MF
1
|+|MF
2
|=2a
椭 圆
双曲线
F
(
0
,
±c
)
F
(
0
,
±c
)
1.
过双曲线 的焦点且垂直
x
轴的弦的长度
为
.
2
. y
2
-2
x
2
=1
的焦点为
、焦距是
.
练习巩固
:
3.
方程
(2+
)
x
2
+(1+
)
y
2
=1
表示双曲线的充要条件
是
.
-2<<-1
方程表示的曲线是双曲线
方程表示的曲线是双曲线的右支
方程表示的曲线是
x
轴上分别以
F
1
和
F
2
为端点,
指向
x
轴的负半轴和正半轴的两条射线。
练习巩固
:
例
2
题型二 利用双曲线的定义求轨迹问题
动圆
M
与圆
C
1
:
(
x
+
3)
2
+
y
2
=
9
外切,且与圆
C
2
:
(
x
-
3)
2
+
y
2
=
1
内切,求动圆圆心
M
的轨迹方程.
【
名师点评
】
利用定义法求双曲线的标准方程,首先找出两个定点
(
即双曲线的两个焦点
)
;然后再根据条件寻找动点到两个定点的距离的差
(
或差的绝对值
)
是否为常数,这样确定
c
和
a
的值,再由
c
2
=
a
2
+
b
2
求
b
2
,进而求双曲线的方程.
课本例
2
使
A
、
B
两点在
x
轴上,并且点
O
与线段
AB
的中点重合
解
:
由声速及在
A
地听到炮弹爆炸声比在
B
地晚
2
s
,
可知
A
地与爆炸点的距离比
B
地与爆炸点的距离远
680
m
.
因为
|AB|>680
m
,
所以爆炸点的轨迹是以
A
、
B
为焦点的双曲线在靠近
B
处的一支上
.
例
3
.(
课本第
54
页例
)
已知
A,B
两地相距
800
m
,
在
A
地听到炮弹爆炸声比在
B
地晚
2
s
,
且声速为
340
m
/
s
,
求炮弹爆炸点的轨迹方程
.
如图所示,建立直角坐标系
x
O
y
,
设爆炸点
P
的坐标为
(
x
,
y
)
,则
即
2
a
=680
,
a
=340
x
y
o
P
B
A
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
答
:
再增设一个观测点
C
,利用
B
、
C
(或
A
、
C
)两处测得的爆炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的方程,解这两个方程组成的方程组,就能确定爆炸点的准确位置
.
这是双曲线的一个重要应用
.
例
2
:
如果方程 表示双曲线,求
m
的取值范围
.
解
:
方程 可以表示哪些曲线?
_____________.
思考:
例
3
【
名师点评
】
双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依据,在应用时,一是注意条件
||
PF
1
|
-
|
PF
2
||
=
2
a
(0<2
a
<|
F
1
F
2
|)
的使用,二是注意与三角形知识相结合,经常利用正、余弦定理,同时要注意整体运算思想的应用.
跟踪训练
方法感悟
1
.对双曲线定义的理解
双曲线定义中
||
PF
1
|
-
|
PF
2
||
=
2
a
(2
a
<|
F
1
F
2
|)
,不要漏了绝对值符号,当
2
a
=
|
F
1
F
2
|
时表示两条射线.
解题时,也要注意
“
绝对值
”
这一个条件,若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支.
2
.双曲线方程的求法
求双曲线的标准方程包括
“
定位
”
和
“
定量
”
.
“
定位
”
是指除了中心在原点之外,判断焦点在哪个坐标轴上,以便使方程的右边为
1
时,确定方程的左边哪一项为正,哪一项为负,
“
定量
”
是指确定
a
2
,
b
2
的值,即根据条件列出关于
a
2
和
b
2
的方程组,解得
a
2
和
b
2
的具体数值后,再按位置特征写出标准方程.
精彩推荐典例展示
易错警示 双曲线定义运用中的误区
例
4
【
常见错误
】
(1)
利用双曲线定义
||
PF
1
|
-
|
PF
2
||
=
8
求
|
PF
2
|
时,易忽略绝对值号,而错选
A.
(2)
根据双曲线的定义可得到答案
C
,但由于双曲线上的点到双曲线焦点的最小距离是
c
-
a
=
6
-
4
=
2
,而
|
PF
2
|
=
1
<
2
,不合题意,所以应该舍去,造成错误的原因是忽略双曲线的相关性质,没有检验
|
PF
1
|
+
|
PF
2
|
=
10
<
|
F
1
F
2
|
造成的.
【
解析
】
双曲线的实轴长为
8
,由双曲线的定义得
||
PF
1
|
-
|
PF
2
||
=
8
,
所以
|9
-
|
PF
2
||
=
8
,
所以
|
PF
2
|
=
1
或
17.
因为
|
F
1
F
2
|
=
12
,当
|
PF
2
|
=
1
时,
|
PF
1
|
+
|
PF
2
|
=
10
<
|
F
1
F
2
|
,
不符合公理
“
两点之间线段最短
”
,应舍去.
所以
|
PF
2
|
=
17.
【
答案
】
B
【
失误防范
】
运用双曲线的定义解决相关问题时,
(1)
不能忽略
“
绝对值
”
号,以免造成漏解,
(2)
求出解后,要注意检验根的合理性,以免出现增根.
跟踪训练
**** * *
小结 * * ****
感谢您的聆听!
THANKS FOR YOUR KIND ATTENTION
!
LOVELL