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- 2021-07-01 发布
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许昌市三校联考高二下期第一次考试
数学(理科)
考试时间:120分钟 分值:150分
本试题卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试题卷上答题无效.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.
第I卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项符合题目要求)
1. 命题“对任意,都有”的否定为( )
A.存在,使得. B.对任意,都有.
C.存在,使得. D.不存在,使得.
2. 椭圆的离心率为,则的值为( )
A. B. C.或 D.或
3. 如图,在长方体中,,
则与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
4. 已知命题是单调增函数;命题,
,则下列命题为真命题的是( )
A. B. C. D.
5.“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6. 设的内角A,B,C的对边分别为.若,且
,则=( )
A.3 B. C.2 D.
7. 已知数列满足,则( )
A. B. C. D.
8. 若实数满足条件,则的最大值为( )
A.9 B.11 C.12 D.16
9. 在中,若,则的形状一定是
( )
A.等边三角形 B.不含的等腰三角形
C.钝角三角形 D.直角三角形
10.已知斜率为3的直线与双曲线交于A,B两点,若点
是AB的中点,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
11.已知正项等比数列满足:,若存在两项,使得,
则的最小值为( )
A. B. C. D.不存在
12.如图,是双曲线的左、右两个焦
点,若直线与双曲线C交于P,Q两点,且四边形为矩
形,则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
第II卷
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知点,则向量与的夹角为 .
14.若关于的不等式的解集为,则实数 .
15.在等比数列中,且数列的前n项和,
则等比数列的项数n= .
16.椭圆的左焦点为, 直线与椭圆相交于点A,B,当的周长
最大时,的面积是 .
三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)的面积是30,内角A,B,C所对边长分别为,.
(1)求;
(2)若,求的值.
18.(12分)已知函数在上
单调递减,若为真命题,为假命题,求实数的取值范围.
19.(12分)在公比为正数的等比数列中,,数列的前
n项和.
(1)求数列和的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
20.(12分)如图,分别是椭圆的左、右焦点, A是椭
圆C的顶点,B是直线与椭圆C的另一个交点,.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)已知面积为,求的值.
21.(12分)如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,
.
(1)求证:平面DCF;
(2)当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为.
22.(12分)已知椭圆的上下两个焦点分别为,过点
与 轴垂直的直线交椭圆C于M,N两点,的面积为,椭圆C的离心率
为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知O为坐标原点,直线与轴交于点P,与椭圆 C交于A,B两个不同的点,若存在实数,使得,求m的取值范围.
许昌市三校联考高二下期第一次考试
数学(理)试题答案
1-6 ACDDBC 7-12 BBDAAC
13、 14. 2 15. 5 16. 3
17.(1)∵ ∴
由 得bc=156
∴ 5分
(2)由,可得
由余弦定理得:或(舍去)
∴a的值为5 10分
18、由
当时,取最小值0.
若P为真命题,则 3分
若为真命题,则 6分
由题意知,中有且只有一个为真命题,
若真假,则; 8分
若 假真,则 10分
综上,实数的取值范围为 12分
19.(1)设数列的公比为
由,可得或(舍去),则
∴ ∵
∴当时, 当时,也符合上式
∴
综上, , 6分
(2) 由(1)知
∴…………………………………①
……………②
①-②得:
∴…………………………………………………………(12分)
20.解:(1)由题意可知,为等边三角形,,
所以. 4分
(2)解法1:
直线AB的方程可为.
将其代入椭圆方程,得.
所以.
由=
,解得. 12分
解法2:设.
因为,所以.
由椭圆定义可知,.
再由余弦定理 可得,.
由知,.
21.(1)证明:过E作EG⊥CF于G,连接DG,则四边形BCGE为矩形.
又ABCD为矩形 所以AD平行且等于EG ∴四边形ADGE为平行四边形.
∴AE∥DG
∵AE平面DCF,DG平面DCF,∴AE∥平面DCF. 4分
(2) 分别以直线BE、BC、BA所在的直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,依题意可得:B(0,0,0),C(0,,0),E(3,0,0),F(4,,0)设AB=,则A(0,0,).
可求得平面CEF的法向量.
平面AEF的法向量 8分
由 得:.
∴当AB=时,二面角A—EF—C的大小为60 12分
22.(I)根据已知设椭圆C的焦距为2c,当y=c时,,
由题意,……………………(3分)
由已知得
……………………………………………………(5分)
(II)若m=0,则P(0,0),由椭圆的对称性得0.
∴m=0时,存在实数λ使得成立.……………………………………(7分)
若m≠0,由,得,因为A,B,P共线,
所以1+λ=4,解得λ=3.
设A(),B(),由得
,
由已知得>0,即k2-m2+4>0
且,.………………………………………………………(9分)
由得-x1=3x2,即∴,
∴,即.……………………………(10分)
当时,不成立,∴,
∵∴,即,
∴,解得或
综上所述,m的取值范围为.…………………(12分)