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- 2021-07-01 发布
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哈尔滨市第六中学2020届高三第三次模拟考试
理科数学试卷
考试说明:本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,
满分150分,考试时间120分钟.
(1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚;
(2)选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,
字迹清楚;
(3)请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答题无效;
(4)保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、 选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,,则( )
A. B. C. D.
2.设,则( )
A.2 B.3 C. D.
3.已知向量且,则( )
A. B. C. D.
4.设则( )
A. B.
C. D.
5.若,则的值为( )
A. B. C. D.
6.在等比数列中,若,则 ( )
A. B. C. D.
7.若函数的零点在区间上,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.函数,下列结论正确的是( )
A.向右平移个单位,可得到函数的图像
B.的图像关于中心对称
C.的图像关于直线对称
D.在为增函数
9.在的展开式中, 项的系数为( )
A.10 B.25 C.35 D.66
10.已知三棱锥的外接球的球心为,平面, , ,
,则球心O到平面的距离为( )
A. B. C. D.
11.在中,的对边分别为,,,且满足,
,则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
12.已知定义域为R的奇函数,满足,则下列叙述正确的为( )
①存在实数k,使关于x的方程有7个不相等的实数根
②当时,恒有
③若当时,的最小值为1,则
④若关于的方程和的所有实数根之和为零,则
A.①②③ B.①③ C.②④ D.①②③④
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答,第22题,23题为选考题,考生根据要求做答.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.过点的直线与抛物线交于两点,且,
则此直线的方程为_________.
14.函数的单调减区间为______________.
15.在我校本年度足球比赛中,经过激烈角逐后,最终四个班级的球队闯入半决赛.
在半决赛中,对阵形式为:对阵,对阵,获胜球队进入决赛争夺冠亚军,
失利球队争夺三四名.若每场比赛是相互独立的,四支球队间相互获胜的概率如下表所示:
获胜概率
—
0.3
0.4
0.8
获胜概率
0.7
—
0.7
0.5
获胜概率
0.6
0.3
—
0.3
获胜概率
0.2
0.5
0.7
—
则队最终获得冠军的概率为_____.
16.正方体的棱长为2,点在棱上运动,过三点作正方体的截面,若为棱的中点,则截面面积为_________,若截面把正方体分成体积之比为的两部分,则=_______.
三、解答题:本大题共70分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知等差数列前三项的和为,前三项的积为,
(Ⅰ)求等差数列的通项公式;
(Ⅱ)若公差,求数列的前项和.
18.(本小题满分分)
如图,在多面体中,正方形所在平面垂直于平面,是等腰直角三角形,,∥,.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)若为的中点,求直线与平面所成角的正弦值.
19.(本小题满分分)
已知点,过点作抛物线的两切线,切点为.
(Ⅰ)求两切点所在的直线方程;
y
x
D
o
(Ⅱ)椭圆,离心率为,(Ⅰ)中直线AB与椭圆交于点P,Q, 直线的斜率分别为,,,若,
求椭圆的方程.
20.(本小题满分分)
“海水稻”就是耐盐碱水稻,是一种介于野生稻和栽培稻之间的普遍生长在海边滩涂地区,具有耐盐碱的水稻,它比其它普通的水稻均有更强的生存竞争能力,具有抗涝,抗病虫害,抗倒伏等特点,还具有预防和治疗多种疾病的功效,防癌效果尤为显著。海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度(‰)对亩产量(吨)的影响,通过在试验田的种植实验,测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现,可用线性回归模型拟合亩产量与海水浓度之间的相关关系,用最小二乘法计算得与之间的线性回归方程为.
海水浓度(‰)
3
4
5
6
7
亩产量(吨)
0.62
0.58
0.49
0.4
0.31
残差
(Ⅰ)请你估计:当浇灌海水浓度为8‰时,该品种的亩产量.
(Ⅱ)
(i )完成上述残差表:
(ii)统计学中,常用相关指数来刻画回归效果,越大,模型拟合效果越好,并用它来说明预报变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据,利用统计学的相关知识,说明浇灌海水浓度对亩产量的贡献率?(计算中数据精确到)
(附:残差公式,相关指数)
21.(本小题满分分)
已知函数()
(Ⅰ)若为的极大值点,求的取值范围;.
(Ⅱ)当时,判断与轴交点个数,并给出证明.
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
作答时请写清题号。
22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为(为参数),
以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,直线,的极坐标方程分别为,,交曲线于点,交曲线于点.
(Ⅰ)求曲线的极坐标方程;
(Ⅱ)求的值.
23.(本小题满分10分)选修4—5;不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)若关于的不等式有解,求实数的取值范围;
(Ⅱ)若不等式对任意成立,求实数的取值范围.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
D
C
A
C
D
C
C
D
B
D
B
13、 14、15、0.22 16、
17.解:
(1)由,得所以 ( 1分 )
又得,即 ( 2分 )
所以, ( 4分 )
即或 ( 6分 )
(2)当公差时,
1)当时,, ( 7分 )
设数列的前项和为,则( 8分 )
2)当时, ( 10分)
所以数列的前项和 ( 12分)
18.解:
(1)可取中点,连结,证明四边形为平行四边形,
且平面即可(6分)
(2)易知两两垂直,故以为坐标原点,分别以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系。
可求得,(7分)
平面的一个法向量为(9分)
设直线与平面所成角为,则(11分)
所以直线与平面所成角的正弦值为。(12分)
19、(1)(2)
设切点则有
由切线的斜率为设切点
所以抛物线点的切线的斜率为,切线方程为
抛物线点的切线的斜率为,切线方程为(2分)
两切线交点(4分)
(6分)
直线方程为
由得又,
所以.
所以椭圆方程为,
由得,
所以,(8分)
又因为,
即,(10分)
(12分)
20.(1)经计算,,
由可得,,.....1分
当时,, 2分
所以当海水浓度为8‰时,该品种的亩产量为0.24吨. 3分
(2)(ii)由(1)知,从而有
海水浓度(‰)
3
4
5
6
7
亩产量(吨)
0.62
0.58
0.49
0.4
0.31
残差
-0.02
0.02
0.01
0
-0.01
8分
(ii) , 10分
所以亩产量的变化有是由海水浓度引起的.(或者说海水浓度解释了的亩产量变化)12分
21、(1)(1分)
设
当无极值
成立
为极小值点
综上(6分)
(2)由(1)知
①在单调递增,,有唯一零点
②满足,
在增,减增
当时恒成立,当
有唯一零点
③
在增,减增
在无零点,在有唯一零点
综上:,有唯一零点(12分)
22.解:(1)曲线E的普通方程为
令,得,
即曲线E极坐标方程为 ......4分
(2)依题意得,根据勾股定理,,
将,代入中,
得, ......6分
设点所对应的极径分别为,,,, ... ...7分
则,,, ... ...8分
∴
... ...10分
23.(1),
∴的值域为,
∵关于的不等式有解,
∴, 5分
(2)与
由图象知,要使对任意成立,
只需要,且
解得,9分
故得取值范围为.10分