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- 2021-07-01 发布
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§8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
考纲展示► 1.理解空间直线、平面位置关系的定义.
2.了解可以作为推理依据的公理和定理.
3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
考点 1 平面的基本性质及应用
平面的基本性质
(1)公理 1:如果一条直线上的________在一个平面内,那么这条直线在此平面内.
(2)公理 2:过________的三点,有且只有一个平面.
(3)公理 3:如果两个不重合的平面有________公共点,那么它们有且只有一条过该点的
公共直线.
(4)公理 2 的三个推论
推论 1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面;
推论 2:经过两条________直线有且只有一个平面;
推论 3:经过两条________直线有且只有一个平面.
答案:(1)两点 (2)不在一条直线上 (3)一个
(4)相交 平行
(1)[教材习题改编]直线 a,b,c 两两平行,但不共面,经过其中两条直线的平面的个
数为( )
A.1 B.3
C.6 D.0
答案:B
(2)[教材习题改编]两两相交的三条直线最多可确定________个平面.
答案:3
判断点共线、线共点问题:直接法(直接运用公理或定理).
(1)如图所示,四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC=1
2
AD,BE
=1
2
FA,G,H 分别为 FA,FD 的中点.
①四边形 BCHG 的形状是________;
②点 C,D,E,F,G 中,能共面的四点是________.
答案:①平行四边形 ②C,D,E,F
解析:①∵G,H 分别为 FA,FD 的中点,
∴GH 綊 1
2
AD.又 BC 綊 1
2
AD,所以 GH 綊 BC,
所以四边形 BCHG 为平行四边形.
②由 BE=1
2
FA,G 为 FA 的中点知,BE=FG,
所以四边形 BEFG 为平行四边形,所以 EF∥BG.
由(1)知 BG∥CH,所以 EF∥CH,所以 EF 与 CH 共面.
又 D∈FH,所以 C,D,E,F 四点共面.
(2)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,对角线 A1C 与平面 BDC1 交于点 O,AC 与 BD 交于点 M,则
点 O 与直线 C1M 的关系是________.
答案:点 O 在直线 C1M 上
解析:如图所示,因为 A1C⊂平面 A1ACC1,O∈A1C,所以 O∈平面 A1ACC1,而 O 是平面 BDC1
与直线 A1C 的交点,所以 O∈平面 BDC1,所以点 O 在平面 BDC1 与平面 A1ACC1 的交线上.因为 AC∩BD
=M,所以 M∈平面 BDC1.又 M∈平面 A1ACC1,所以平面 BDC1∩平面 A1ACC1=C1M,所以 O∈C1M.
[典题 1] (1)以下四个命题中,正确命题的个数是( )
①不共面的四点中,其中任意三点不共线;
②若点 A,B,C,D 共面,点 A,B,C,E 共面,则 A,B,C,D,E 共面;
③若直线 a,b 共面,直线 a,c 共面,则直线 b,c 共面;
④依次首尾相接的四条线段必共面.
A.0 B.1
C.2 D.3
[答案] B
[解析]
①显然是正确的,可用反证法证明;②中若 A,B,C 三点共线,则 A,B,C,D,E 五点
不一定共面;③构造长方体如图,显然 b,c 异面,故不正确;④中空间四边形中四条线段不
共面.故只有①正确.
(2)已知空间四边形 ABCD(如图所示), E,F 分别是 AB,AD 的中点,G,H 分别是 BC,CD
上的点,且 CG=1
3
BC,CH=1
3
DC.
求证:①E,F,G,H 四点共面;
②三直线 FH,EG,AC 共点.
[证明] ①连接 EF,GH,
∵E,F 分别是 AB,AD 的中点,
∴EF∥BD.
又∵CG=1
3
BC,CH=1
3
DC,
∴GH∥BD,∴EF∥GH,
∴E,F,G,H 四点共面.
②易知 FH 与直线 AC 不平行,但共面,
∴设 FH∩AC=M,
∴M∈平面 EFHG,M∈平面 ABC.
又∵平面 EFHG∩平面 ABC=EG,∴M∈EG,
∴FH,EG,AC 共点.
[点石成金] 共面、共线、共点问题的证明
(1)证明点或线共面问题的两种方法:①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平
面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;②将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,
再证两平面重合.
(2)证明点共线问题的两种方法:①先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线
上;②直接证明这些点都在同一条特定直线上.
(3)证明线共点问题的常用方法:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.
考点 2 空间两直线的位置关系
(1)[教材习题改编]已知直线 a 与 b 平行,直线 c 与 b 相交,则直线 a 与 c 的位置关系是
________.
答案:相交或异面
解析:当直线 c 在直线 a 与 b 确定的平面内时,a 与 c 相交;当直线 c 与直线 a,b 确定
的平面相交时,a 与 c 异面.
(2)[教材习题改编]如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,PQ 是异面直线 A1D 与 AQ 的公垂线,
则直线 PQ 与 BD1 的位置关系为________.(填序号)
①平行;②异面;③相交但不垂直;④垂直.
答案:①
解析:∵A1D∥B1C,PQ⊥A1D,∴PQ⊥B1C.
又∵PQ⊥AC,∴PQ⊥平面 AB1C.
∵AC⊥BD,AC⊥DD1,∴AC⊥BD1,
同理 B1C⊥BD1,∴BD1⊥平面 AB1C,
∴PQ∥BD1.
两条直线关系判断误区:异面直线概念、理解不透.
下列关于异面直线的说法正确的是________.
①若 a⊂α,b⊂β,则 a 与 b 是异面直线;
②若 a 与 b 异面,b 与 c 异面,则 a 与 c 异面;
③若 a,b 不同在平面α内,则 a 与 b 异面;
④若 a,b 不同在任何一个平面内,则 a 与 b 异面.
答案:④
解析:①②③中的两直线可能平行、相交或异面,由异面直线的定义可知④正确.
[考情聚焦] 空间两条直线位置关系的判断是每年高考常考内容,并且常作为某一选项
来考查,其中异面直线及平行关系是考查的重点.
主要有以下几个命题角度:
角度一
两直线位置关系的判定
[典题 2] (1)已知 a,b,c 为三条不重合的直线,已知下列结论:
①若 a⊥b,a⊥c,则 b∥c;
②若 a⊥b,a⊥c,则 b⊥c;
③若 a∥b,b⊥c,则 a⊥c.
其中正确的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
[答案] B
[解析] 解法一:在空间中,若 a⊥b,a⊥c,则 b,c 可能平行,也可能相交,还可能异
面,所以①②错误,③显然成立.
解法二:构造长方体或正方体模型可快速判断,①②错误,③正确.
(2) [2017·浙江余姚模拟]如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是 BC1,CD1 的中
点,则下列说法错误的是( )
A.MN 与 CC1 垂直
B.MN 与 AC 垂直
C.MN 与 BD 平行
D.MN 与 A1B1 平行
[答案] D
[解析] 如图,连接 C1D,在△C1DB 中,MN∥BD,故 C 正确;
∵CC1⊥平面 ABCD,BD⊂平面 ABCD,
∴CC1⊥BD,
∴MN 与 CC1 垂直,故 A 正确;
∵AC⊥BD,MN∥BD,
∴MN 与 AC 垂直,故 B 正确;
∵A1B1 与 BD 异面,MN∥BD,
∴MN 与 A1B1 不可能平行,故 D 错误.故选 D.
[点石成金] 点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型,以正方体为主线直观感
知并认识空间点、线、面的位置关系,准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、
面面平行、面面垂直.
角度二
异面直线的判定
[典题 3] (1)在下图中,G,N,M,H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直
线 GH,MN 是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号)
① ②
③ ④
[答案] ②④
[解析] 图①中,直线 GH∥MN;图②中,G,H,N 三点共面,但 M∉ 平面 GHN,因此直线
GH 与 MN 异面;图③中,连接 MG,GM∥HN,因此 GH 与 MN 共面;图④中,G,M,N 共面,但 H
∉ 平面 GMN,因此 GH 与 MN 异面.所以在图②④中,GH 与 MN 异面.
(2)如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段 AB,CD,EF,GH 在原正方体中
互为异面的对数为________对.
[答案] 3
[解析] 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,则 AB,CD,EF 和 GH 在原正
方体中,显然 AB 与 CD,EF 与 GH,AB 与 GH 都是异面直线,而 AB 与 EF 相交,CD 与 GH 相交,
CD 与 EF 平行.故互为异面的直线有且只有 3 对.
[点石成金] 异面直线的判定常用的是反证法,先假设两条直线不是异面直线,即两条
直线平行或相交,由假设的条件出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设肯定两条
直线异面.此法在异面直线的判定中经常用到.
考点 3 异面直线所成角
[典题 4] 如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB
=2,则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为( )
A.1
5
B.2
5
C.3
5
D.4
5
[答案] D
[解析] 连接 BC1,易证 BC1∥AD1,
则∠A1BC1 即为异面直线 A1B 与 AD1 所成的角.
连接 A1C1,由 AB=1 知,
AA1=2,A1C1= 2,A1B=BC1= 5,
故 cos∠A1BC1= 5+5-2
2× 5× 5
=4
5
.
则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为4
5
.
[题点发散 1] 将题干条件“AA1=2AB=2”改为“AB=1,若平面 ABCD 内有且仅有一点
到顶点 A1 的距离为 1”,问题不变.
解:因平面 ABCD 内有且仅有一点到 A1 的距离为 1,则 AA1=1.
此时正四棱柱变为正方体 ABCD-A1B1C1D1,
由图知 A1B 与 AD1 所成角为∠A1BC1,连接 A1C1.
则△A1BC1 为等边三边形,
∴∠A1BC1=60°,
∴cos∠A1BC1=1
2
,
故异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为1
2
.
[题点发散 2] 将题干条件“AA1=2AB=2”改为“AB=1,若异面直线 A1B 与 AD1 所成角的
余弦值为 9
10
”,试求AA1
AB
的值.
解:设AA1
AB
=t,则 AA1=tAB.
∵AB=1,∴AA1=t.
∵A1C1= 2,A1B= t2+1=BC1,
∴cos∠A1BC1= t2+1+t2+1-2
2× t2+1× t2+1
= 9
10
,
∴t=3,即AA1
AB
=3.
[题点发散 3] 将题干条件“AA1=2AB=2”改为“AB=1,且平面 ABCD 内有且仅有一点
到顶点 A1 的距离为 1”,则是否存在过顶点 A 的直线 l,使 l 与棱 AB,AD,AA1 所成角都相等.若
存在,存在几条?若不存在,请说明理由.
解:由条件知,此时正四棱柱为正方体.
如图,连接对角线 AC1,
显然 AC1 与棱 AB,AD,AA1 所成角都相等,联想正方体的其他体对角线.
如连接 BD1,则 BD1 与棱 BC,BA,BB1 所成的角都相等,因为 BB1∥AA1,BC∥AD,
所以体对角线 BD1 与棱 AB,AD,AA1 所成的角都相等.
同理体对角线 A1C,DB1 也与棱 AB,AD,AA1 所成角都相等,故过 A 作 BD1,A1C,DB1 的平行
线都满足,故这样的直线可以作 4 条.
[点石成金] 用平移法求异面直线所成的角的三个步骤
(1)一作:即据定义作平行线,作出异面直线所成的角;
(2)二证:即证明作出的角是异面直线所成的角;
(3)三求:解三角形,求出作出的角,如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;
如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.
已知三棱锥 A-BCD 中,AB=CD,且直线 AB 与 CD 所成的角为 60°,点 M,N 分别是 BC,
AD 的中点,求直线 AB 和 MN 所成的角的大小.
解:解法一:如图,取 AC 的中点 P,连接 PM,PN,
则 PM∥AB,且 PM=1
2
AB,PN∥CD,且 PN=1
2
CD,
所以∠MPN(或其补角)为 AB 与 CD 所成的角.
则∠MPN=60°或∠MPN=120°.
若∠MPN=60°,
因为 PM∥AB,
所以∠PMN(或其补角)是 AB 与 MN 所成的角.
又因为 AB=CD,所以 PM=PN,
则△PMN 是等边三角形,
所以∠PMN=60°,
即 AB 与 MN 所成的角为 60°.
若∠MPN=120°,
则易知△PMN 是等腰三角形.
所以∠PMN=30°,
即 AB 与 MN 所成的角为 30°.
综上知,直线 AB 和 MN 所成的角为 60°或 30°.
解法二:由 AB=CD,可以把该三棱锥放在长方体 AA1BB1-C1CD1D 中进行考虑,如图,
由 M,N 分别是 BC,AD 的中点,所以 MN∥AA1,
即∠BAA1(或其补角)为 AB 与 MN 所成的角.
连接 A1B1 交 AB 于 O,所以 A1B1∥CD,
即∠AOA1(或其补角)为 AB 与 CD 所成的角.
所以∠AOA1=60°或 120°.
由矩形 AA1BB1 的性质可得∠BAA1=60°或 30°.
所以直线 AB 和 MN 所成的角为 60°或 30°.
[方法技巧] 1.要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面,再
证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”).
2.要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线,只要证明这些点都是这两个平面的公
共点,根据公理 3 可知这些点在交线上,因此共线.
3.判定空间两条直线是异面直线的方法
(1)判定定理:平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直
线.
(2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面.
4.求两条异面直线所成角的大小,一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为共
面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知,异面直线所成角的大小与顶点位置无关.
[易错防范] 1.异面直线是“不同在任何一个平面内”的直线,不要理解成“不在同一
个平面内”.
2.不共线的三点确定一个平面,一定不能丢掉“不共线”条件.
3.两条异面直线所成角的范围是
0,π
2 .
4.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时,容易忽视这个三角形的内角可能等
于两异面直线所成的角,也可能等于其补角.
真题演练集训
1.[2016·新课标全国卷Ⅰ]平面α过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A,α∥平面 CB1D1,
α∩平面 ABCD=m,α∩平面 ABB1A1=n,则 m,n 所成角的正弦值为( )
A. 3
2
B. 2
2
C. 3
3
D.1
3
答案:A
解析:因为过点 A 的平面α与平面 CB1D1 平行,平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1,所以 m∥B1D1∥
BD,又 A1B∥平面 CB1D1,所以 n∥A1B,则 BD 与 A1B 所成的角为所求角,所以 m,n 所成角的正
弦值为 3
2
,故选 A.
2.[2015·安徽卷]已知 m,n 是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正
确的是( )
A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行
B.若 m,n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行
C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线
D.若 m,n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面
答案:D
解析:可以结合图形逐项判断.
A 项,α,β可能相交,故错误;
B 项,直线 m,n 的位置关系不确定,可能相交、平行或异面,故错误;
C 项,若 m⊂α,α∩β=n,m∥n,则 m∥β,故错误;
D 项,假设 m,n 垂直于同一平面,则必有 m∥n,所以原命题正确,故选 D.
3.[2014·辽宁卷]已知 m,n 表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( )
A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n
B.若 m⊥α,n⊂α,则 m⊥n
C.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α
D.若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α
答案:B
解析:解法一:若 m∥α,n∥α,则 m,n 可能平行、相交或异面,A 错;若 m⊥α,n
⊂α,则 m⊥n,因为直线与平面垂直时,它垂直于平面内任一直线,B 正确;若 m⊥α,m⊥n,
则 n∥a 或 n⊂α,C 错;若 m∥α,m⊥n,则 n 与α可能相交,可能平行,也可能 n⊂α,D
错.
解法二:如图,在正方体 ABCD-A′B′C′D′中,用平面 ABCD 表示α.
A 项中,若 m 为 A′B′,n 为 B′C′,满足 m∥α,n∥α,但 m 与 n 是相交直线,故 A
错.B 项中,m⊥α,n⊂α,∴m⊥n,这是线面垂直的性质,故 B 正确.C 项中,若 m 为 AA′,
n 为 AB,满足 m⊥α,m⊥n,但 n⊂α,故 C 错.D 项中,若 m 为 A′B′,n 为 B′C′,满足
m∥α,m⊥n,但 n∥α,故 D 错.
4. [2015·浙江卷]如图,在三棱锥 A-BCD 中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点 M,
N 分别为 AD,BC 的中点,则异面直线 AN,CM 所成的角的余弦值是________.
答案:7
8
解析:如图所示,连接 DN,取线段 DN 的中点 K,连接 MK,CK.
∵ M 为 AD 的中点,
∴ MK∥AN,
∴ ∠KMC 即为异面直线 AN,CM 所成的角.
∵ AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,N 为 BC 的中点,
由勾股定理易求得 AN=DN=CM=2 2,
∴ MK= 2.
在 Rt△CKN 中,CK= 2 2+12= 3.
在△CKM 中,由余弦定理,得
cos∠KMC= 2 2+ 2 2 2- 3 2
2× 2×2 2
=7
8
.
课外拓展阅读
构造平面研究直线相交问题
[典例 1] 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 AA1,CC1 的中点,则在空间中与三
条直线 A1D1,EF,CD 都相交的直线有________条.
[思路分析]
[解析] 解法一:如图所示,在 EF 上任意取一点 M,直线 A1D1 与 M 确定一个平面,这个
平面与 CD 有且仅有一个交点 N,当 M 取不同的位置时就确定不同的平面,从而与 CD 有不同的
交点 N,而直线 MN 与这三条异面直线都有交点,所以在空间中与这三条直线都相交的直线有
无数条.
解法二:在 A1D1 上任取一点 P,过点 P 与直线 EF 作一个平面α,因为 CD 与平面α不平行,
所以它们相交,
设它们交于点 Q,连接 PQ,则 PQ 与 EF 必然相交,即 PQ 为所求直线.
由点 P 的任意性知,有无数条直线与三条直线 A1D1,EF,CD 都相交.
[答案] 无数
温馨提示
1.本题难度不大,但比较灵活.对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查难
度一般都不会太大.
2.注意本题解法较多,但关键在于构造平面,但不少学生不会构造平面,因此失分较多.