数学文卷·2018届四川省双流中学高三4月月考（2018 10页

‎2018年春期四川省双流中学高三年级四月考试 数学试卷（文史类）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎1.已知为虚数单位，实数，满足，则（ ）‎ A．4 B． C． D．‎ ‎2.已知集合，集合，若，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.函数的图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称，则可以是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．若，则（ ）‎ A． B．3 C． D．‎ ‎5．已知， ， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．函数的零点所在的区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.如图所示的三视图表示的几何体的体积为，则该几何体的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.已知直线与圆相交于，两点，若，则实数的值为（ ）‎ A．或 B．或 C.9或 D．8或 ‎9.已知等差数列的前项和为，，，则取最大值时的为（ ）‎ A．4 B．5 C．6 D．4或5‎ ‎10.四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 二．填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知实数，满足条件，则的最大值为 ．‎ ‎14．已知是等比数列,若，,且∥,则 .‎ ‎15.已知，，则 ．‎ ‎16.已知点，是椭圆的左、右焦点，点是这个椭圆上位于轴上方的点，点是的外心，若存在实数，使得 ‎，则当的面积为8时，的最小值为 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，第22（或23）小题10分，其余每题均为12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程、计算步骤. ‎ ‎17.(本大题满分12分)‎ 已知数列满足，.‎ ‎（Ⅰ）求证：数列为等比数列； （Ⅱ）求数列的前项和.‎ ‎18.(本大题满分12分)‎ 某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如表所示：‎ 积极参加班级工作 不积极参加班级工作 合计 学习积极性高 ‎18‎ ‎7‎ ‎25‎ 学习积极性不高 ‎6‎ ‎19‎ ‎25‎ 合计 ‎24‎ ‎26‎ ‎50‎ ‎（Ⅰ）如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率是多少？‎ ‎（Ⅱ）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取2名学生参加某项活动，问2名学生中有1名男生的概率是多少？‎ ‎（III）学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？请说明理由．‎ 附：‎ ‎19.(本大题满分12分)‎ ‎ 如图，四棱锥中，平面，为线段上一点，，为的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：‎ ‎（Ⅱ）求四面体的体积.‎ 20． ‎(本大题满分12分)‎ 已知椭圆的左右顶点分别为，，左右焦点为分别为，，焦距为，离心率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程； ‎ ‎（Ⅱ）若为椭圆上一动点，直线过点且与轴垂直，为直线与的交点，为直线与直线的交点，求证：点在一个定圆上.‎ ‎21.(本大题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求的图象在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个不同零点，，且，求证：，其中是的导函数.‎ 选考题，考生从22、23两题中任选一题作答，将选择的题号对应的方程用2B铅笔涂黑，多做按所做的第一题记分.‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本大题满分10分)‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为．以平面 直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设和交点的交点为，，求的面积.‎ ‎23.(本大题满分10分)‎ 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）若，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若不等式至少有一个负数解，求实数的取值范围.‎ ‎2018年春期四川省双流中学高三年级四月考试 数学试卷（文史类）参考答案 一． 选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 选项 D B A D D B 题号 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 选项 C A B C A C【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 二． 填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ ‎17.解：（1）∵，∴.‎ 又，∴，.‎ ‎∴是以2为首项，2为公比的等比数列.‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎18.解：（1）由题知，不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生有19人，总人数为50人，所以．‎ ‎（2）设这7名学生分别为，，，，，，（大写为男生），则从中抽取两名学生的情况有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种情况，其中有1名男生的有10种情况，‎ ‎∴．‎ ‎（3）由题意得，，‎ 故有的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系．‎ ‎19.解（1）‎ 由已知得，取的中点，连接，由为中点知，即又，即故四边形为平行四边形，于是因为所以 ‎（2）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为取得中点，连接，由得由得到的距离为，故，所以四面体的体积为 ‎20．解: （I） ‎ ‎ ‎ 的方程 ‎ ‎（II）设点 ‎ ,则,即 ‎ 直线的方程:‎ ‎,又,‎ 直线的方程为 ‎ ‎ 直线的方程为 ‎ ‎ 由(1),(2)得： ‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 所以，点 在定圆上。‎ ‎21.解：（Ⅰ）解　当时，f(x)＝2lnx－x2＋2x，f′(x)＝－2x＋2， ‎ 切点坐标为(1,1)，切线的斜率k＝f′(1)＝2， ‎ 则切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（Ⅱ）证明：∵f(x)的图象与x轴交于两个不同的点A(x1,0)，B(x2,0)，‎ ‎∴方程2lnx－x2＋ax＝0的两个根为x1，x2，‎ 即两式相减得 a＝(x1＋x2)－， 【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 又f(x)＝2lnx－x2＋ax，f′(x)＝－2x＋a，‎ 则＝－ (x1＋x2)＋a＝－ .‎ 下证－＜0，即证明＋ln＜0，‎ 令t＝.因为0＜x1＜x2，所以0＜t＜1，‎ 即证明u(t)＝＋lnt＜0在0＜t＜1上恒成立． ‎ 因为u′(t)＝＋＝－＝，又0＜t＜1，所以u′(t)＞0，‎ ‎∴u(t)在(0,1)上是增函数，则u(t)＜u(1)＝0，从而知＋ln＜0，‎ 故－＜0，即＜0成立． ‎ ‎22解：（I）曲线的参数方程为 消去参数的的直角坐标方程为：，所以的极坐标方程为 ‎ ‎（II）解方程组 有 得： 或 当时，，当时，‎ ‎ 和交点的极坐标 ‎ ‎ 【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 故的面积. ‎ ‎23. 解析：（Ⅰ）若a=1，则不等式+≥3化为2−+|x−1|≥3．‎ 当x≥1时，2−+x−1≥3，即−x+2≤0，(x−错误！未找到引用源。)2+错误！未找到引用源。≤0不成立； ‎ 当x<1时，2−−x+1≥3，即+x≤0，解得−1≤x≤0． ‎ 综上，不等式+≥3的解集为{x|−1≤x≤0}． ‎ ‎（Ⅱ）作出y=的图象如图所示，当a<0时，‎ 的图象如折线①所示， ‎ 由，错误！未找到引用源。得+x−a−2=0，若相切，则Δ=1+4(a+2)=0，得a=−错误！未找到引用源。，‎ 数形结合知，当a≤−错误！未找到引用源。时，不等式无负数解，则−错误！未找到引用源。至少有一个负数解． ‎ 当a>0时，的图象如折线②所示，‎ 此时当a=2时恰好无负数解，数形结合知，‎ 当a≥2时，不等式无负数解，则0至少有一个负数解，‎ 则实数a的取值范围是(−错误！未找到引用源。，2)． ‎