四川省宜宾市南溪二中2019-2020学年高二上学期第一次月考数学（理）试卷 10页

理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3.考试时间120分钟，满分150分。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎ ‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 高二年级某班有男生28人，女生14人，为了解该班学生健康状况，现用分层抽样的方法从该班抽取一个容量为12的样本，则此样本中女生人数为 A．人 B．人 C．人 D．人 ‎2.两条平行直线与间的距离为 ‎ A．　 B．2 C． D． 1‎ ‎3.若为互斥事件，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎4.设，分别为平面的法向量，若，则 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5.从集合中随机抽取一个数，从集合中随机抽取一个数，则向量 与向量垂直的概率为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为 A． B． C． D．‎ ‎7．某中学从甲、乙两个艺术班中各选出名学生参加市级才艺比赛，他们取得的成绩（满分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是，乙班学生成绩的中位数是，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎8．直线的斜率，那么直线的倾斜角的取值范围为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．如右图，矩形长为，宽为，在矩形内随机地撒颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎10．由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为 A． B． C． D． ‎ ‎11.原点到直线的距离为（其中是实数），则点与点之间距离的最小值为 ‎ A． 3 B． C． D． ‎ ‎12．已知椭圆的左、右焦点分别为，在椭圆上存在点，使 得为钝角，并且为等腰三角形，则椭圆离心率的取值范围为 ‎ A． B． C． D．‎ 二、 填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。 ‎ ‎13．在区间上随机取一个数，则的概率为 .‎ ‎14．执行如图所示的程序框图，则输出的值为 .‎ ‎15．已知直线与 相交于两点，当面积最大时， .‎ ‎16．已知抛物线,焦点为,过点作斜率为的直线与 抛物线交于两点直线分别交抛物线于两点, ,则 . ‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 设直线，直线，直线与直线的交点为，求满足下列条件的直线方程：‎ ‎（1）求过点且倾斜角为的直线的方程； ‎ ‎（2）若直线过点且到原点的距离为，求直线的方程.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 某企业为了对生产的一种新型产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到以下数据：‎ 单价x（元）‎ 销量y（件）‎ ‎ （1）求回归直线方程；‎ ‎（2）已知该产品的成本是元/件，预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，为使企业获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(精确到个位)‎ 参考公式：‎ ‎19．（本小题满分12分） ‎ 如图，在四棱锥中，已知底面，，四边形是菱形，，是中点，点在侧棱上，且．‎ ‎ （1） 证明：平面；‎ ‎（2） 求二面角的余弦值．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 某单位为了增强全体职工信息安全意识，进行了信息安全宣讲活动，然后随机抽取了名职工进行信息安全知识测试，得分都在内，以分组的频率分布直方图如图.‎ ‎（1）求频率分布直方图中的值；‎ ‎（2）用频率分布直方图估计这次测试成绩的中位数；‎ ‎（3）从得分在的职工中随机抽取人进行谈话，求此人来自不同组的概率.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 在抛物线上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．‎ ‎（1） 当点在抛物线上运动时，求线段的中点的轨迹的方程；‎ ‎（2） 过点的直线与（1）所求轨迹相交于两点，为原点，若的斜率之和为，求直线的方程．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的两个焦点分别为, 焦距为，并且椭圆上的动点满足. ‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过作互相垂直的两条直线分别与椭圆相交于和四点. 求的最小值．‎ 理科数学 参考答案及评分意见 ‎ 说明：‎ ‎ 一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．‎ ‎ 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C D C D A ‎ C C B A D D 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．； 14．9； 15．0或6 ； 16．‎ ‎17. 解: （1）由方程组 得 所以与的交点 ……………(2分)‎ ‎ ‎ ‎ 故所求直线的方程为 ……………………………(5分)‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时, 直线的方程为 满足条件 ………………………(7分)‎ 若直线的斜率存在,可设直线的方程为, 即 ‎ ‎ 此时, 直线的方程为 ……………(9分) ‎ 故所求直线的方程为或 …………………………(10分)‎ ‎18.解：（1） …………………………（2分）‎ ‎ …………………………（4分）‎ 回归直线方程为. …………………………（8分）‎ ‎（2）设企业获得的利润为元，依题意得 ‎ ……………（10分）‎ 时，Q最大, …………………………（11分）‎ 即单价定为元时，企业可获得最大利润. …………………………（12分）‎ ‎19. 解：方法一：（1）坐标法：由(Ⅰ)知，正中，，‎ 底面，两两垂直， 如图建立空间直角坐标系 ……(1分)‎ ‎ ‎ 则 ………………………(2分)‎ 设平面的法向量为，‎ 得，可取 ……………(4分)‎ ‎ ， ‎ 平面 ……………………………(6分)‎ ‎(2) 由（1）知，平面的法向量为………9分 平面，为平面平面的法向量， ………………………(9分)‎ 二面角为锐角，它的余弦值为 ……………………………(12分)‎ 方法二：几何法(1) 证明：连接，设连接 是菱形，， ‎ 是中点，为重心，‎ ‎，， ‎ 平面，平面 平面 ……………………………(6分)‎ ‎(2) 底面， ‎ ‎ ‎ 又 , ‎ ‎,‎ 由二面角的定义可知就是所求二面角的平面角。 ……………………………(9分)‎ 在中由余弦定理可得 ‎ ‎ ‎ ‎ 在 中由余弦定理可得 ‎ 二面角余弦值为 ……………………………(12分)‎ ‎20解：（1），得 …………(2分)‎ ‎（2）由题可知中位数为 ， …………(5分)‎ ‎（3）得分在的职工：人；分别记为 得分在的职工：人，分别记为 ‎ …………(7分)‎ ‎ 随机抽取2人谈话，基本事件为：‎ ‎，，，，；‎ ‎，，，，‎ ‎，，，，总数为15 ……………………………(9分)‎ 其中来自不同组的基本事件有：‎ ‎，，，‎ ‎，，，.总数为8……11分 所以2人来自不同组的概率为 ……………………………(12分)‎ ‎21.解：(1)设点的坐标为，点的坐标为，则，.‎ 因为点在抛物线 上，所以 .‎ 把代入得 即为轨迹的方程 ………………（5分）‎ ‎(2)显然直线垂直于轴不合题意，故设所求直线方程为.‎ 代入抛物线方程化简，得 .…………………………（6分）‎ 由根的判别式，于是有 .‎ 设点，则. ①. ……………………………（7分）‎ ‎ 因为，‎ 代入①，得 ……………………. ……（9分）‎ 又因为，代入上式得 ‎. ……………………………（11分）‎ 所以直线的方程为. ……………………………（12分）‎ ‎22.解：（1）由椭圆定义有 所以又因为焦距为2，所以为，所以 ‎ 所以椭圆的标准方程为： ………………………………………(4分)‎ ‎（2）（ⅰ）当的斜率或斜率不存在时， ……………………………(5分)‎ ‎（ⅱ）当的斜率存在且时，的方程为，‎ 代入椭圆方程，并化简得．‎ 设，，则， ……………………………(7分)‎ ‎； …………………………(8分)‎ 因为与相交于点，且的斜率为，用替代上式 所以，． ………… …………………………(9分)‎ ‎ ．‎ 当且仅当 时取“=” 即时，上式取等号． ……………(11分) ‎ ‎ ‎ 综上，的最小值为 ‎． …………………………………………(12分)‎