专题10+函数模型及其应用-高考全攻略之备战2018年高考数学（文）考点一遍过 22页

考点10函数模型及其应用 ‎（1）了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.‎ ‎（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.‎ 一、常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 ‎(为常数，)‎ 反比例函数模型 ‎(为常数且)‎ 二次函数模型 ‎（均为常数，）‎ 指数函数模型 ‎（均为常数，，，）‎ 对数函数模型 ‎（为常数，）‎ 幂函数模型 ‎（为常数，）‎ 二、几类函数模型的增长差异 函数 性质　　‎ 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 先慢后快，指数爆炸 先快后慢，增长平缓 介于指数函数与对数函数之间,相对平稳 图象的变化 随x的增大，图象与轴接近平行 随x的增大，图象与轴接近平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个，当时，有 三、函数模型的应用 解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行：‎ ‎（1）认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；‎ ‎（2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；‎ ‎（3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论；‎ ‎（4）还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中.‎ 用框图表示如下：‎ 数学问题 实际问题 建模 审题、转化、抽象 问题解决解模运算 实际问题结论 数学问题答案 还原 结合实际意义 考向一二次函数模型的应用 在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.‎ 典例1食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入、种黄瓜的年收入与投入（单位：万元）满足，设甲大棚的投入为（单位：万元），每年两个大棚的总收益为（单位：万元）. ‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益最大？‎ 令，则，当，即时，.‎ 所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元.‎ ‎【名师点睛】在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围.‎ ‎1．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．‎ ‎（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？ ‎ ‎（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？‎ 考向二 指数函数、对数函数模型的应用 ‎（1）在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式.求解时可利用指数运算与对数运算的关系.‎ ‎（2）已知对数函数模型解题是常见题型，准确进行对数运算及指数与对数的互化即可.‎ 典例2 一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为.为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林面积为.‎ ‎（1）求p%的值;‎ ‎（2）到今年为止,该森林已砍伐了多少年?‎ ‎（3）今后最多还能砍伐多少年?‎ ‎（2）设经过m年，森林面积变为,‎ 则,即，解得m=5,‎ 故到今年为止,已砍伐了5年.‎ ‎（3）设从今年开始,以后还可砍伐n年,则n年后的森林面积为,‎ 令,即,,,解得n≤15,‎ 故今后最多还能砍伐15年.‎ 典例3我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声音的强度用瓦/米2 ()表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平L‎1‎表示，它们满足以下公式：L‎1‎‎=10∙lgII‎0‎(单位为分贝，L‎1‎‎≥0‎，其中I‎0‎‎=1×‎‎10‎‎-12‎，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).回答以下问题：‎ ‎（1）树叶沙沙声的强度是‎1×‎‎10‎‎-12‎，耳语的强度是‎1×‎‎10‎‎-10‎，恬静的无线电广播的强度是‎1×‎‎10‎‎-8‎，试分别求出它们的强度水平；‎ ‎（2）某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度的范围为多少？‎ ‎【解析】（1）由题意可知：树叶沙沙声的强度是I‎1‎‎＝1×1‎0‎‎－12‎W/‎m‎2‎，则I‎1‎I‎0‎‎＝1‎，‎ 所以LI‎1‎‎＝10lg1＝0‎，即树叶沙沙声的强度水平为0分贝；‎ 耳语的强度是I‎2‎‎＝1×1‎0‎‎－10‎W/‎m‎2‎，则I‎2‎I‎0‎‎＝1‎‎0‎‎2‎，‎ 所以LI‎2‎‎＝10lg1‎0‎‎2‎＝20‎，即耳语的强度水平为20分贝；‎ 恬静的无线电广播的强度是I‎3‎‎＝1×1‎0‎‎－8‎W/‎m‎2‎，则I‎3‎I‎0‎‎＝1‎‎0‎‎4‎，‎ 所以LI‎3‎‎＝10lg1‎0‎‎4‎＝40‎，即恬静的无线电广播的强度水平为40分贝.‎ ‎（2）由题意知：‎0≤ LI＜50‎，即‎0≤10lgII‎0‎＜50‎，‎ 所以‎1≤II‎0‎＜1‎‎0‎‎5‎，即‎1‎0‎‎－12‎≤I＜1‎‎0‎‎－7‎.‎ 所以新建的安静小区的声音强度I大于或等于‎1‎0‎‎－12‎W/‎m‎2‎，同时应小于‎1‎0‎‎－7‎W/‎m‎2‎.‎ ‎2．在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(单位:米/秒)和燃料的质量M(单位:千克)、火箭(除燃料外)的质量m(单位:千克)的函数关系式是v=2000·ln(1+Mm).当燃料质量是火箭质量的　　　　倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒. ‎ 考向三分段函数模型的应用 ‎（1）在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．‎ ‎（2）分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点．‎ ‎（3）构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏．‎ 典例4据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示．过线段OC上一点作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）．‎ ‎（1）当时，求s的值；‎ ‎（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；‎ ‎（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．‎ ‎【解析】（1）由图象可知，当时，，∴（km）．‎ ‎（2）当时，；‎ 当时，；‎ 当时，.‎ 综上，可知.‎ ‎（3）当时，；当时，；‎ 当时，令，解得.∵，∴．‎ 故沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城．‎ ‎3．某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从2月1日起的300天内,西红柿市场售价P(单位:元/102 kg)与上市时间t(单位:天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系,西红柿种植成本Q(单位:元/102 kg)与上市时间t(单位:天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系. ‎ ‎（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t)，图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；‎ ‎（2）若市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的纯收益最大?‎ 考向四 函数模型的比较 根据几组数据，从所给的几种函数模型中选择较好的函数模型时，通常是先根据所给的数据确定各个函数模型中的各个参数，即确定解析式，然后再分别验证、估计，选出较好的函数模型.‎ 典例5某工厂第一季度某产品月生产量依次为10万件，12万件，13万件，为了预测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量（单位：万件）与月份的关系. 模拟函数；模拟函数.‎ ‎（1）已知4月份的产量为13.7万件，问选用哪个函数作为模拟函数较好？‎ ‎（2）受工厂设备的影响，全年的每月产量都不超过15万件，请选用合适的模拟函数预测6月份的产量.‎ 即，当时，．‎ 若用模拟函数2：，‎ 则有，解得，‎ 即，当时，．‎ 所以选用模拟函数1较好．‎ ‎（2）因为模拟函数1：是单调增函数，所以当时，生产量远大于他的最高限量；‎ 模拟函数2：也是单调增函数，但生产量，所以不会超过15万件，所以应该选用模拟函数2：好．‎ 当时，，‎ 所以预测6月份的产量为万件.‎ ‎4．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施.‎ 方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗为30000元；‎ 方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费.问：‎ ‎（1）工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明.‎ ‎（2）若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？‎ ‎1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，之后增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用 A．一次函数B．二次函数 C．指数型函数D．对数型函数 ‎2．已知三个函数模型：，，，当时，随的增大，三个函数中的增长速度越来越快的是 A．B．‎ C．D．‎ ‎3．2003年至2015年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎4．某林场今年造林10000亩，计划以后每一年比前一年多造林10%，那么从明年算起第3年内将造林( )亩 A．13000 B．13310‎ C．12100 D．33000‎ ‎5．研究表明,当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到碳14了.若某一死亡生物组织内的碳14经过n(n∈N)‎个“半衰期”后，用一般的放射性探测器测不到碳14了,则n的最小值是 A．9 B．10‎ C．11D．12‎ ‎6．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%．已知在过滤过程中废气中的污染物数量P（单位：毫克／升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为：（k，P0均为正的常数）．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么，至少还需（）小时过滤才可以排放．‎ A．B．‎ C．5 D．10‎ ‎7．某商场销售型商品.已知该商品的进价是每件元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：‎ 销售单价（元）‎ 日均销售量（件）‎ 请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，此商品的定价(单位:元/件)应为 A．B．‎ C．D．‎ ‎8．某种病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍,且已知病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数;t表示时间,单位:小时;y表示病毒个数),则k=　　　　,经过5小时,1个病毒能繁殖为　　　　个. ‎ ‎9．某种产品的产销量情况如图所示，其中：l‎1‎表示产品各年年产量的变化规律；l‎2‎表示产品各年的销售量变化情况.有下叙述：‎ ‎（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；‎ ‎（2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；‎ ‎（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；‎ ‎（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增.‎ 你认为较合理的是          （把你认为合理结论的序号都填上）.‎ ‎10．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元．‎ ‎（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？‎ ‎（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？‎ ‎11．某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间(天)组成有序数对‎(t,P)‎,点‎(t,P)‎落在图中的两条线段上.‎ 该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间(天)的部分数据如下表所示：‎ 第天 ‎4‎ ‎10‎ ‎16‎ ‎22‎ Q‎(万股)‎ ‎36‎ ‎30‎ ‎24‎ ‎18‎ ‎（1）根据提供的图象,写出该股票每股交易价格P(元)与时间(天)所满足的函数关系式;‎ ‎（2）根据表中数据,写出日交易量Q(万股)与时间(天)的一次函数关系式;‎ ‎（3）用y(万元)表示该股票日交易额，写出y关于的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大,最大值为多少?‎ ‎12．已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且乙厂在2月份的利润是8万元，若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：,.‎ ‎（1）求函数fx与gx的解析式；‎ ‎（2）求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；‎ ‎（3）在同一平面直角坐标系下画出函数fx与gx的草图，并根据草图比较今年1至10月份甲、乙两个工厂的利润的大小情况.‎ ‎1．（2016四川文科）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 ‎(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)‎ A．2018年B．2019年 C．2020年D．2021年 ‎2．（2015四川文科）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是 A．16小时B．20小时 C．24小时D．28小时 变式拓展 ‎1．【解析】（1）当每辆车的月租金为3600元时，未租出的车辆为，‎ 所以这时租出的车为100-12=88（辆）.‎ ‎（2）设每辆车的月租金定为元，‎ 则公司月收益为 ‎.‎ 当时，最大，且最大值为元，‎ 所以当每辆车的月租金定为元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是元．‎ ‎2．【答案】e6-1‎ ‎3．【解析】（1）由图1可得市场售价与时间的函数关系式为 ‎.‎ 由图2可得种植成本与时间的函数关系式为.‎ ‎（2）设上市时间为t时的纯收益为h(t),‎ 则由题意,得,‎ 即.‎ 当时,整理,得,‎ 当t=50时,h(t)取得最大值100；‎ 当时,整理,得,‎ 当t=300时,h(t)取得最大值87.5.‎ 综上,当t=50时,即从2月1日开始的第50天上市的西红柿纯收益最大.‎ ‎（1）当x=3000‎时，y‎1‎‎=42000‎，y‎2‎‎=54000‎，因为y‎1‎‎<‎y‎2‎，所以应选择方案二处理污水.‎ ‎（2）当x=6000‎时，y‎1‎‎=114000‎，y‎2‎‎=108000‎，因为y‎1‎‎>‎y‎2‎，所以应选择方案一处理污水.‎ 考点冲关 ‎1．【答案】D ‎【解析】根据基本初等函数的图象与性质可知，一次函数增长的速度不变，不满足题意；‎ 要满足调整后初期利润增长迅速，如果是二次函数，则必须开口向上，而此时在二次函数对称轴的右侧增长的速度是越来越快，没有慢下来的可能，不符合要求； ‎ 要满足调整后初期利润增长迅速，如果是指数函数，则底数必是大于1的数，而此时指数函数增长的速度也是越来越快的，也不满足要求；‎ 对于对数函数，当底数大于1时，对数函数增长的速度先快后慢，符合要求，故选D.‎ ‎2．【答案】C ‎【解析】三个函数模型：，，，当时，指数函数是爆炸型增长，因此选C.‎ ‎3．【答案】D ‎【解析】观察题图，结合各选项中函数的函数值随着自变量的变化规律可知，D项中函数最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化的规律.‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】依题意可得，从明年算起第3年内将造林亩，故选B.‎ ‎5．【答案】B ‎【解析】由题意知,,即‎2‎n‎>1000‎,所以n的最小值是10.选B.‎ ‎6．【答案】C ‎7．【答案】C ‎【解析】由题意得，设定价为元/件时，利润为元，‎ 则，‎ 故当时，有最大值，故选C.‎ ‎8．【答案】2ln2，1024　‎ ‎【解析】当t=0.5时,y=2,∴2=e‎1‎‎2‎k,∴k=2ln 2,∴y=e2tln 2,‎ 当t=5时,y=e10ln 2=210=1024.‎ ‎9．【答案】（2），（3）‎ ‎【解析】产品产量、销售量均以直线上升，但表示年产量的直线l‎1‎斜率大，上升快，l‎2‎斜率小，上升慢，所以随着x的增加，两者差距加大，出现了供大于求的情况，库存积压越来越严重.‎ ‎10．【解析】（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：‎ ‎，‎ 当且仅当，即时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．‎ ‎（2）设该单位每月获利为，则 ‎，‎ 因为，所以当时，有最大值．‎ 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．‎ 同理，可求得当‎20