数学文卷·2018届湖南省长郡中学高三第三次月考（2017 11页

长郡中学2018届高三月考试卷（三）‎ 数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．集合，则中元素的个数为（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎2．对两个变量进行线性回归分析，计算得到相关系数，则下列说法中正确的是（ ）‎ A．与正相关 B．与具有较强的线性相关关系 C．与几乎不具有线性相关关系 D．与的线性相关关系还需进一步确定 ‎3．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．下图程序框图表示的算法的功能是（ ）‎ A．计算小于100的奇数的连乘积 B．计算从1开始的连续奇数的连乘积 C．从1开始的连续奇数的连乘积，当乘积大于100时，计算奇数的个数 D．计算时的最小的值 ‎5．设是公比为的等比数列，若和是方程的两根，则（ ）‎ A．18 B．10 C．25 D．9‎ ‎6．已知为角的终边上的一点，且，则的值为（ ）‎ A．1 B．3 C． D．‎ ‎7．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎8．已知某几何体的外接球的半径为，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为（ ）‎ A．16 B． C． D．8‎ ‎9．设函数，，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．一棱长为6的正四面体内部有一个可以任意旋转的正方体，当正方体的棱长取最大值时，正方体的外接球的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．若函数在区间上，对，为一个三角形的三边长，则称函数为“三角形函数”.已知函数在区间上是“三角形函数”，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知，其中是实数，是虚数单位，则 ．‎ ‎14．若双曲线上存在一点满足以为边长的正方形的面积等于（其中为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是 ．‎ ‎15．已知平面上的单位向量与的起点均为坐标原点，它们的夹角为，平面区域由所有满足的点组成，其中，那么平面区域的面积为 ．‎ ‎16．是定义在上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．在中，，.‎ ‎（1）若，求的长；‎ ‎（2）若点在边上，，，为垂足，，求角的值.‎ ‎18．如图1，在矩形中，，，是的中点，将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中平面平面.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）设为的中点，在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎19．已知具有相关关系的两个变量之间的几组数据如下表所示：‎ ‎（1）请根据上表数据在格纸中绘制散点图；‎ ‎（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并估计当时，的值；‎ ‎（3）将表格中的数据看作五个点的坐标，从这五个点中随机抽取2个点，求这两个点都在直线的右下方的概率.‎ ‎（参考公式：，）‎ ‎20．已知圆，某抛物线的顶点为原点，焦点为圆心，经过点的直线交圆于两点，交此抛物线于两点，其中在第一象限，在第二象限.‎ ‎（1）求该抛物线的方程；‎ ‎（2）是否存在直线，使是与的等差中项？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎21．已知，其中.‎ ‎（1）求函数的极大值点；‎ ‎（2）当时，若在上至少存在一点，使成立，求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆的方程为，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求圆的极坐标方程；‎ ‎（2）直线与圆交于点，求线段的长.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知，不等式的解集是.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若存在实数解，求实数的取值范围.‎ 长郡中学2018届高三月考试卷（三）‎ 数学（文科）参考答案 一、选择题 ‎1-5:DBCDA 6-10:ABCBB 11、12：BD 二、填空题 ‎13． 14． 15． 16．8‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）设，则由余弦定理有：‎ 即，‎ 解得，所以.‎ ‎（2）因为，所以.‎ 在中，由正弦定理可得：‎ ‎，‎ 因为，所以.‎ 所以，所以.‎ ‎18．解：（1）证明：连接.‎ ‎∵为矩形且，所以.‎ 即，又平面，平面平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2），‎ 取中点，连接，‎ ‎∵，，∴.‎ 且，所以共面，‎ 若平面，则，‎ ‎∴为平行四边形，所以.‎ ‎19．解：（1）散点图如图所示：‎ ‎（2）依题意，，，‎ ‎，，‎ ‎，∴；‎ ‎∴回归直线方程为，故当时，.‎ ‎（3）五个点中落在直线右下方的三个点记为，另外两个点记为，‎ 从这五个点中任取两个点的结果有，，，，，，，，，共10个.‎ 其中两个点均在直线的右下方的结果有3个，所以概率为.‎ ‎20．解：（1）可化为，‎ 根据已知抛物线的方程为.‎ ‎∵圆心的坐标为，‎ ‎∴，解得.‎ ‎∴抛物线的方程为.‎ ‎（2）∵是与的等差中项，圆的半径为2，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 由题知，直线的斜率存在，故可设直线的方程为，‎ 设，，‎ 由，得 ‎，，‎ 故，.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ 由，解得.‎ ‎∴存在满足要求的直线，其方程为或.‎ ‎21．解：（1）由已知，‎ 当，即时，在上递减，在上递增，无极大值；‎ 当，即时，在上递增，在上递减，在 上递增，所以在处取极大值；‎ 当，即时，在上递增，无极大值；‎ 当时，即时，在上递增，在上递减，在上递增，故在处取极大值.‎ 综上所述，当或时，无极大值；‎ 当时，的极大值点为；‎ 当时的极大值点为.‎ ‎（2）在上至少存在一点，使成立，等价于当时，.‎ 由（1）知，①当时，函数在上递减，在上递增，‎ ‎∴，‎ ‎∴要使成立，必须使成立或成立，‎ 由，解得，‎ 由，解得.‎ ‎∵，∴.‎ ‎②当时，函数在上递增，在上递减，‎ ‎∴，‎ 综上所述，当时，在上至少存在一点，使成立.‎ ‎22．解：（1）可化为，‎ 故其极坐标方程为.‎ ‎（2）将代入，‎ 得，‎ ‎∴，，∴.‎ ‎23．解：（1）由，得，即，‎ 当时，，‎ 所以，解得；‎ 当时，，‎ 所以无解，所以.‎ ‎（2）因为，‎ 所以要使存在实数解，只需，‎ 所以实数的取值范围是.‎