数学理卷·2018届湖北省襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）高三上学期期中联考（2017 9页

‎2017-2018学年度上学期高三期中考试理科数学试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 命题“，使得”的否定是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 设命题，使是幂函数，且在上单调递减；命题，，则下列命题为真的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.函数（且）与函数在同一个坐标系内的图象可能是 （ ）‎ A． B．‎ C. D．‎ ‎5.已知函数，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6. 等差数列中，已知且公差，则其前项的和取得最小值时的值为（ ）‎ A． 7 B． 8 C. 9 D．10‎ ‎7. 已知，其中表示不超过实数的最大整数，是函数的零点，则等于（ ）‎ A． 1 B． 2 C. 3 D．4‎ ‎8.点为的重心（三边中线的交点）．设，则等于 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9. “ ”是“ ”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎10. 已知函数的部分图象如下图所示，的图象与轴切于点，则下列选项判断错误的是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎11.设且都满足，则下列说法错误的是 （ ）‎ A．有最小值而无最大值 B．当时，有最小值而无最大值 ‎ C. 当时，有最小值而无最大值 D．当时，既有最小值又有最大值 ‎12.如右图，直线与曲线交于两点，其中是切点，记，则下列判断正确的是 （ ）‎ A．只有一个极值点 B．有两个极值点，且极小值点小于极大值点 C. 的极小值点小于极大值点，且极小值为-2 ‎ D．的极小值点大于极大值点，且极大值为2‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知集合，若，则 ．‎ ‎14.已知向量，且，则 ．‎ ‎15.若函数在区间上有两个零点，则实数的取值范围为 ．‎ ‎16.在中，分别为内角的对边，若，且，则的面积的最大值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知命题：函数的定义域为；命题，使不等式成立；命题 “”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎18. 已知等差数列的前项和为，其中．‎ ‎（1）求数列的通项；‎ ‎（2）求数列的前项和为．‎ ‎19.设函数．‎ ‎（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（2）若，且，求的值．‎ ‎20. 已知函数．‎ ‎（1）若的图象在处的切线恰好也是图象的切线．求实数的值；‎ ‎（2）对于区间上的任意两个不相等的实数且，都有成立．试求实数的取值范围．‎ ‎21.在中，分别为内角的对边，，且．‎ ‎（1）试判断的形状；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎22.设且恒成立．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）证明：存在唯一的极大值点，且．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:CADDB 6-10: CBBAB 11、12：CD 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解析：若命题为真命题，则在恒成立，‎ 当时显然不成立，‎ 当时，；‎ 若命题为真命题，则，‎ 由命题“”为真命题，“”为假命题知一真一假，‎ 若真假，则，‎ 若假真，则，‎ 综上所述，．‎ ‎18.解：（1），所以；‎ ‎（2），‎ 当时，，此时，‎ 当时，，此时，‎ ‎，‎ 综上：（或）．‎ ‎19.解：（1），‎ ‎∴的最小正周期为．‎ 由，得，‎ ‎∴的单调递增区间为．‎ ‎（2）， ∴，‎ 由知， ∴．‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎20.解：①， ∴，切点为，‎ ‎∴切线方程为，即，‎ 又联立，消去，可得，‎ ‎∴；‎ ‎（2）由条件可知：，‎ 设，即，‎ ‎∴在上单调递减， ∴在上恒成立，‎ 即在上恒成立， ∵，‎ ‎∴，又由条件知，从而即为所求．‎ ‎21.解：（1）由条件及正弦定理，边化角得，‎ 即，‎ ‎∴，又， ∴，‎ ‎∴，或，‎ 当时，∵，∴导出矛盾，则应舍去．‎ 当时，又，∴合理，‎ 综上判断为等腰三角形；‎ ‎（2）法1：在等腰中，取的中点，由得，‎ 又由（1）知，则 ‎．‎ ‎（2）法2建立如图坐标系，设，‎ 则．‎ ‎22.（1）解：，因为，所以恒成立，‎ 令，问题等价恒成立，‎ ‎∴，‎ 当时，在单调递增，又当时，矛盾，‎ 当时，在单调递减，在单调递增，‎ ‎∴恒成立，等价为，即，‎ 又令，‎ ‎∴在单调递增，在单调递减，而，‎ 所以不等式的解为，综上．‎ ‎（2），令，‎ 所以在单调递减，在单调递增 ‎，‎ ‎∵由零点存在定理及的单调性知，方程在有唯一根，设为且，从而有两个零点和0，‎ 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，‎ 从而存在唯一的极大值点即证，‎ 由得， ∴‎ 取等不成立，所以得证，‎ 又∵在单调递增所以得证，‎ 从而成立．‎