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  • 2021-07-01 发布

高中数学讲义微专题51 等差等比数列综合问题

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微专题 51 等差等比数列综合问题 一、基础知识: 1、等差数列性质与等比数列性质: 等差数列 等比数列 递推公式 通项公式 等差(比)中项 等间隔抽项 仍构成等差数列 仍构成等比数列 相邻 项和 成等差数列 成等比数列 2、等差数列与等比数列的互化: (1)若 为等差数列, ,则 成等比数列 证明:设 的公差为 ,则 为一个常数 所以 成等比数列 (2)若 为正项等比数列, ,则 成等差数列 证明:设 的公比为 ,则 为常数 所以 成等差数列 二、典型例题: 例 1:已知等比数列 中,若 成等差数列,则公比 ( ) A. B. 或 C. D. 思路:由“ 成等差数列”可得: ,再由等比数列 定义可得: ,所以等式变为: 解得 或 ,经检验均  na  nb  1n na a d n N       1n n b q n Nb     1 1na a n d   1 n nb b q  1 22 n n na a a   2 1 2n n nb b b  m n p q   m n p qa a a a   m n p qb b b b k 2 3 2, ,n n n n nS S S S S  2 3 2, ,n n n n nS S S S S   na 0, 1c c   nac  na d 1 1 n n n n a a a d a c c cc      nac  na 0, 1c c   logc na  na q 1 1log log log logn c n c n c c n aa a qa       logc na  na 1 3 24 , ,2a a a q  1 1 2 2 1 1 3 24 , ,2a a a 3 1 2 3 1 22 4 2 2a a a a a a     2 3 1 2 1,a a q a a q  2 2q q  2q  1q   符合条件 答案:B 例 2:已知 是等差数列,且公差 不为零,其前 项和是 ,若 成等比数列, 则( ) A. B. C. D. 思路:从“ 成等比数列”入手可得: , 整 理 后 可 得 : , 所 以 , 则 , 且 ,所以 符合要求 答案:B 小炼有话说:在等差数列(或等比数列)中,如果只有关于项的一个条件,则可以考虑将涉 及的项均用 (或 )进行表示,从而得到 (或 )的关系 例 3 : 已 知 等 比 数 列 中 的 各 项 均 为 正 数 , 且 , 则 _______________ 思路:由等比数列性质可得: ,从而 ,因为 为等比数列, 所 以 为 等 差 数 列 , 求 和 可 用 等 差 数 列 求 和 公 式 : 答案: 例 4:三个数成等比数列,其乘积为 ,如果第一个数与第三个数各减 ,则成等差数列, 则这三个数为___________ 思路:可设这三个数为 ,则有 ,解得 ,而第一个数 与第三个数各减 2,新的等差数列为 ,所以有: ,即  na d n nS 3 4 8, ,a a a 1 40, 0a d dS  1 40, 0a d dS  1 40, 0a d dS  1 40, 0a d dS  3 4 8, ,a a a     22 4 3 8 1 1 13 2 7a a a a d a d a d      2 13 5a d d  1 3 5d a  2 1 1 3 05a d a     2 1 4 1 64 6 025 adS d a d     B 1,a d 1,a q 1,a d 1,a q  na 5 10 11 9 12 2a a a a e  1 2 20ln ln lna a a    10 11 9 12a a a a 5 10 11 9 12a a a a e   na  ln na 10 11 1 2 20 10 11 ln lnln ln ln 20 10ln 502 a aa a a a a       50 512 2 , ,a a aqq 3=512 512a a aq aq     8a  8 2,8,8 2qq    816 2 8 2qq        ,解得 或者 , 时,这三个数为 ,当 时,这三个数为 答案: 小炼有话说:三个数成等比(或等差)数列时,可以中间的数为核心。设为 (或 ),这种“对称”的设法便于充分利用条件中的乘积与和的运算。 例 5:设 是等差数列, 为等比数列,其公比 ,且 ,若 ,则有( ) A. B. C. D. 或 思路:抓住 和 的序数和与 的关系,从而以此为入手点。由等差数列性质出 发, ,因为 ,而 为等比数列,联想到 与 有关,所以利用均值不等式可得: ( 故 ,均值不等式等号不成立)所以 即 答案:B 小炼有话说:要熟悉等差数列与等比数列擅长的运算,等差数列擅长加法,等比数列擅长乘 积。所以在选择入手点时可根据表达式的运算进行选择。 例 6:数列 是各项均为正数的等比数列, 是等差数列,且 ,则有( ) A. B. C. D. 与 的大小不确定 思路:比较大小的式子为和的形式,所以以 为入手点,可得 ,从而 作差比较 ,由 为 正项等比数列可得: ,所以 答案:B 小炼有话说:要熟悉等差数列与等比数列擅长的运算,等差数列擅长加法,等比数列擅长乘 222 5 2 5 2 0q q qq      2q  1 2q  2q  4,8,16 1 2q  16,8,4 4,8,16 , ,a a aqq , ,a d a a d   na  nb 1q   0 1,2,3, ,ib i n   1 1 11 11,a b a b  6 6a b 6 6a b 6 6a b 6 6a b 6 6a b 1 11,a a 1 11,b b 6 6,a b 1 1 11 11 1 11 1 11,a b a b a a b b      1 11 62a a a   nb 1 11b b 6b 2 1 11 1 11 6 62 2 2b b b b b b    1q  1 11b b 1 11 1 11 6 62 2a a b b a b     6 6a b  na  nb 6 7a b 3 9 4 10a a b b   3 9 4 10a a b b   3 9 4 10a a b b   3 9a a 4 10b b  nb 4 10 7 62 2b b b a        26 3 3 3 9 4 10 3 9 6 3 3 3 32 2 1a a b b a a a a a q a q a q            na  23 3 1 0a q   3 9 4 10a a b b   积。所以在选择入手点时可根据表达式的运算进行选择。 例 7:设数列 是以 2 为首项,1 为公差的等差数列, 是以 1 为首项,2 为公比的等比 数列,则 ( ) A. B. C. D. 思路:求和看通项,考虑 ,所以 , ,所以 答案:A 例 8:(2011,江苏)设 ,其中 成公比为 的等比数列, 成公差为 的等差数列,则 的最小值是___________ 思 路 : 可 知 等 比 数 列 为 , 等 差 数 列 为 , 依 题 意 可 得 ①,若要 最小,则 要达到最小,所以在①中,每一 项都要尽量取较小的数,即让不等式中的等号成立。所以 ,所以 , 验证当 时, ,①式为 ,满足题意。 答案: 例 9:已知等差数列 的公差 ,前 项和为 ,等比数列 是公比为 的正整数, 前 项和为 ,若 ,且 是正整数,则 等于( ) A. B. C. D. 解:本题 的通项公式易于求解,由 可得 ,而处理 通 项 公 式 的 关 键 是 要 解 出 , 由 可 得 , 所 以 ,由 ,可得 ,所以 可取的值为 ,可得只有 才有符合条件的 ,即 ,所以  na  nb 1 2 10b b ba a a    1033 2057 1034 2058   1 1 1 1, 2n n na a n d n b       11 2 1n n b na b      1 2 1 2 2 2 1n n n b b ba a a n n            1 2 10 1033b b ba a a    1 2 71 a a a    1 3 5 7, , ,a a a a q 2 4 6, ,a a a 1 q 2 31, , ,q q q 2 2 2, 1, 2a a a  2 3 2 2 21 1 2a q a q a q        q 3q 3 2 2 1 2 3q a     3 3q  3 3q  2 1a  31 1 3 2 3 3 3      3 3  na 0d  n nS  nb q n nT 2 1 1,a d b d  2 2 2 1 2 3 1 2 3 a a a b b b     2 9 8 S T 45 17 270 17 90 17 135 17  na 1a d  1 1na a n d nd     nb q 2 1b d 2 1n nb d q   2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 2 2 2 2 1 2 3 4 9 14 1 a a a d d d Nb b b d qd q d q q            q N  2 1q q N    2 1q q  1,2,7,14 2 1 7q q   q 2q  ,所以 , ,则 答案:D 例 10: 个正数排成 行 列(如表),其中每行数都成等差数列,每列数都成等比数列,且 所有的公比都相同,已知 ,则 _______, ___________ 思路:本题抓住公比相同,即只需利用一列求出公比便可用于整个 数阵,抓住已知中的 ,可得 , 从而只要得到某一行的数,即可求得数阵中的每一项 。而第四列即 可 作 为 突 破 口 , 设 每 行 的 公 差 为 由 可 得 , 从 而 , 所 以 。 则 , 求 和 的 通 项 公 式 , 利 用 错 位 相 减 法 可 求 得 : 答案: 小炼有话说:对于数阵问题首先可设其中的项为 (第 行第 列),因为数阵中每行每列具 备特征,所以可将其中一行或一列作为突破口,求得通项公式或者关键量,然后再以该行(或 该列)为起点拓展到其他的行与列,从而得到整个数阵的通项公式 1 22nb d  22 9 45S d  8 1 2 8 2 1 2551 b T d    2 2 9 2 8 2025 135 255 17 S d T d  2n n n 12 42 43 1 31, ,8 16a a a   32a  11 22 nna a a    12 42 11, 8a a  3 42 12 1 1 8 2 aq qa    ija i id 42 43 1 3,8 16a a  4 1 16d   4 42 4 12 16ja a j d j    4 4 4 1 1 1 1 2 16 2 2 i i i ij ja a j j                       3 32 1 12 2 4a       1 2 n nna n       11 22 12 2 2 n nna a a n            32 11 22 1 1, 2 24 2 n nna a a a n            ija i j

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