四川省泸州市泸县第一中学2019届高三高考适应性考试数学（理）试题 12页

四川省泸县第一中学高2019届高考适应性考试 数学（理工类）‎ 注意：满分：150分 时间：120分钟 第I卷 选择题（60分）‎ 一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.集合，为整数集，则中元素的个数是 A. 3 B.4 C.5 D.6‎ ‎2.‎ A． B． C． D．‎ ‎3.等差数列中，，则的前9项和等于 A. B.27 C.18 D.‎ ‎4.已知，则 A． B． C． D．‎ ‎5.函数的部分图象可能是 A. B. C. D.‎ ‎6.的展开式中项的系数为 A.80 B.-80 C.-40 D.48‎ ‎7.设函数，则下列结论错误的是 ‎ A.的一个周期为 B.的图形关于直线对称 C.的一个零点为 D.在区间上单调递减 ‎8.设，，，则 ‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎10.2017年11月30日至12月2日,来自北京、上海、西安、郑州、青岛及凯里等七所联盟学校(“全国理工联盟”)及凯里当地高中学校教师代表齐聚凯里某校举行联盟教研活动,在数学同课异构活动中,7名数学教师各上一节公开课,教师甲不能上第三节课,教师乙不能上第六节课,则7名教师上课的不同排法有 种 ‎ A.5040       B.4800       C.3720       D.4920‎ ‎11.三棱锥的各顶点均在球上，为该球的直径，,三棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ‎ A. B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.曲线在点处的切线经过点，则的值为______．‎ ‎14.已知P是所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在 内，则黄豆落在内的概率是__________‎ ‎15.设是数列的前项和，点在直线上，则____‎ ‎16.已知是抛物线上一动点，定点，过点作轴于点，则的最小值是______．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ （一） 必考题：共60分。‎ ‎17.（本大题满分12分）‎ 在平面四边形中， 已知.‎ ‎（I）.若,求的面积；‎ ‎（II）.若,求的长．‎ ‎18.（本大题满分12分）‎ 在某市高三教学质量检测中，全市共有5000名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考试学生人数为2000人，非示范性高中参加考试学生人数为3000人.现从所有参加考试的学生中随机抽取100人，作检测成绩数据分析.‎ ‎（I）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）；‎ ‎（II ‎）依据100人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分；‎ ‎(III)如果规定成绩不低于130分为特别优秀，现已知语文特别优秀占样本人数的5%，语文、数学两科都特别优秀的共有3人，依据以上样本数据，完成列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀.‎ 语文特别优秀 语文不特别优秀 合计 数学特别优秀 数学不特别优秀 合计 参考公式：‎ 参考数据：‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎…‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎0.045‎ ‎0.708‎ ‎…‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19.（本大题满分12分）‎ 如图,在四棱锥中,底面为边长为的菱形, ,,面面,点为棱的中点 ‎ ‎（I）在棱上是否存在一点,使得面,并说明理由 ‎（II）当二面角的余弦值为时,求直线与平面所成的角 ‎20.（本大题满分12分）‎ 已知抛物线，圆． （I）若过抛物线的焦点的直线与圆相切，求直线方程；‎ ‎（II）在（1）的条件下，若直线交抛物线于两点，轴上是否存在点使(为坐标原点)？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎21.（本大题满分12分）‎ 设函数． （I）若，证明：；‎ ‎（II）已知，若函数有两个零点，求实数的取值范围．‎ 选考题，考生从22、23两题中任选一题作答，将选择的题号对应的方程用2B铅笔涂黑，多做按所做的第一题记分.‎ ‎22.（本大题满分10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点为曲线上的动点，点在线段的延长线上，且满足，点的轨迹为． （I）求,的极坐标方程． （II）设点的极坐标为，求面积的最小值 ‎23.（本大题满分10分）‎ 设函数 ‎（I）求不等式的解集；‎ ‎（II）当恒成立,求实数的取值范围。‎ 四川省泸县第一中学高2019届高考适应性考试 数学（理工类）参考答案 ‎ 一．选择题 ‎1.C 2.B 3.B 4.B 5.A 6.B 7.C 8.A 9.C 10.D 11.D 12.D 二．填空题 ‎13. 14. 15. 16.2‎ 三．解答题 ‎17.（1）.在中，‎ ‎ 即,‎ 解得.‎ 所以...................6分 ‎（2）.因为,,‎ 所以,‎ 所以............8分 在中，, ‎ ‎.............9分 所以 所以.............12分 ‎18.（1）.由于总体有明显差异的两部分构成，故采用分层抽样，‎ 由题意，从示范性高中抽取人，从示师范性高中抽取人............3分 ‎（2）.由频率分布直方图估算样本平均分为 ‎，‎ 推测估计本次检测全市学生数学平均分为92.4 ............6分 ‎（3）.由题意，语文特别优秀学生有5人 ，数学特别优秀的学生有人............7分 因为语文、数学都特别优秀的共有3人，故列联表如下：‎ 语文特别优秀 语文不特别优秀 合计 数学特别优秀 ‎3‎ ‎1‎ ‎4‎ 数学不特别优秀 ‎2‎ ‎94‎ ‎96‎ 合计 ‎5‎ ‎95‎ ‎100‎ ‎，............10分 所以有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀.............12分 ‎19.（1）.在棱上存在点,使得面,点为棱的中点.理由如下:‎ 取的中点,连结,,由题意, 且,且,‎ 故且所以,四边形为平行四边形 所以, ,又平面,平面,所以, 平面............5分 （2）.由题意知为正三角形,所以,亦即,又,‎ 所以,且面面,面面,‎ 所以面,故以为坐标原点建立如图空间坐标系,‎ 设,则由题意知,,,,,‎ 设平面的法向量为,则由得,令,则,,‎ 所以取,............8分 显然可取平面的法向量,由题意: ,............10分 所以由于面,所以在平面内的射影为,所以为直线与平面所成的角,易知在中,从而,............11分 所以直线与平面所成的角为............12分 ‎20.(1)由题意可得抛物线的焦点， 当直线的斜率不存在时，过的直线不可能与圆相切，设直线的斜率为，方程设为，.....1分 即，由圆心到直线的距离为，............3分 当直线与圆相切时，，解得，............4分 即直线方程为；............5分 ‎(2)可设直线方程为， 联立抛物线方程可得，则， 轴上假设存在点使， 即有，可得，...........8分 即为， 由， 可得，............9分 即，即，符合题意；............10分 当直线为，由对称性可得也符合条件．...........11分 所以存在定点使得．............12分 ‎21.（1）证明：当时，， 故， 故时，，递增， 时，，递减， 故时，函数有极大值也是最大值， 故的最大值是， 故；............6分 ‎（2）解：∵函数有2个零点， 可化为有2个零点， 即关于的方程有2个不相等的实根， 易知0是方程的一个根，此时 ‎， 当时，只需有一个不为0的零点即可， 当时，，故为减函数， ，， 故在上仅有1个零点，且不为0，满足题意， 当时，，解得：，不合题意， 当时，，， 故在上至少有1个零点，不合题意， 综上，．............12分 ‎22.（1）曲线的参数方程为为参数， 曲线的普通方程为， 曲线的极坐标方程为， 设点的极坐标为，点的极坐标为， 则， ，， 的极坐标方程为．............5分 （2）.由题设知， ， 当时，取得最小值为2．............10分 ‎23.（1）.，‎ 等价于或或，‎ 所以或或 ，‎ 故原不等式的解集为． ............5分 ‎（2）.的图像如图所示：‎ ‎，，‎ 直线过定点 因为，‎ 所以 ............10分