数学卷·2018届福建省泉州市南安一中高二上学期期末数学试卷（文科） （解析版） 18页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年福建省泉州市南安一中高二（上）期末数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）‎ ‎1．复数Z=在复平面上（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．.第三象限 D．.第四象限 ‎2．命题“∃x0∈（0，+∞），使lnx0=x0﹣2”的否定是（　　）‎ A．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣2 B．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣2‎ C．∃x0∈（0，+∞），使lnx0≠x0﹣2 D．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣2‎ ‎3．设双曲线的一条渐进线方程为2x﹣y=0，则a的值为（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎4．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的（　　）‎ A．必要但不充分条件 B．充分但不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度（单位：℃）为，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是（　　）‎ A．8 B． C．﹣1 D．﹣8‎ ‎6．椭圆的焦距为，则m的值为（　　）‎ A．9 B．23 C．9或23 D．‎ ‎7．有下列四个命题：‎ ‎①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；‎ ‎②“全等三角形的面积相等”的否命题；‎ ‎③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；‎ ‎④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；‎ 其中真命题为（　　）‎ A．①② B．①③ C．②③ D．③④‎ ‎8．若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间[k﹣1，k+1]内不是单调函数，则实数k的取值范围是（　　）‎ A．[1，2） B．（1，2） C． D．‎ ‎9．已知直线2kx﹣y+1=0与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（　　）‎ A．（1，9] B．[1，+∞） C．[1，9）∪（9，+∞） D．（9，+∞）‎ ‎10．已知函数f（x）的图象如图所示，f'（x）是f（x）的导函数，则下列数值排序正确的是（　　）‎ A．0＜f'（3）＜f（3）﹣f（2）＜f'（2） B．0＜f'（3）＜f'（2）＜f（3）﹣f（2）‎ C．0＜f'（2）＜f'（3）＜f（3）﹣f（2） D．0＜f（3）﹣f（2）＜f'（3）＜f'（2）‎ ‎11．双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点F（c，0），虚轴的一个端点为B（0，b），如果直线FB与该双曲线的渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知定义域为R的偶函数f（x），其导函数为f'（x），对任意x∈[0，+∞），均满足：xf'（x）＞﹣2f（x）．若g（x）=x2f（x），则不等式g（2x）＜g（1﹣x）的解集是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1） B． C． D．‎ ‎　‎ 二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卡上）：‎ ‎13．已知i为虚数单位，复数的共轭复数为　　．‎ ‎14．若抛物线C：y2=2px的焦点在直线x+2y﹣4=0上，则p=　　；C的准线方程为　　．‎ ‎15．若函数f（x）=f'（1）x3﹣2x2+3，则f'（2）的值为　　．‎ ‎16．已知P为双曲线上的动点，点M是圆（x+5）2+y2=4上的动点，点N是圆（x﹣5）2+y2=1上的动点，则|PM|﹣|PN|的最大值是　　．‎ ‎　‎ 三．解答题（本大题共6小题，共70分，其中17题为10分，其余为12分）：‎ ‎17．已知命题p：“双曲线的离心率”，命题q：“是焦点在x轴上的椭圆方程”．若命题“p∧q”是真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎18．已知函数 ‎（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值．‎ ‎19．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点F，E上一点（3，m）到焦点的距离为4．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线E的方程；‎ ‎（Ⅱ）过F作直线l，交抛物线E于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为﹣1，求直线l的方程．‎ ‎20．某商品每件成本5元，售价14元，每星期卖出75件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数m与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x＜9）的平方成正比，已知商品单价降低1元时，一星期多卖出5件．‎ ‎（1）将一星期的商品销售利润y表示成x的函数；‎ ‎（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？‎ ‎21．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C的长轴长为4．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知直线l：y=kx﹣与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．设函数，g（x）=2x2+4x+c．‎ ‎（1）试问函数f（x）能否在x=﹣1时取得极值？说明理由；‎ ‎（2）若a=﹣1，当x∈[﹣3，4]时，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，求c的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年福建省泉州市南安一中高二（上）期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）‎ ‎1．复数Z=在复平面上（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．.第三象限 D．.第四象限 ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】化简复数为a+bi的形式，得到对应点的坐标，判断即可．‎ ‎【解答】解：复数Z===，‎ 复数的对应点为（）在第四象限．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．命题“∃x0∈（0，+∞），使lnx0=x0﹣2”的否定是（　　）‎ A．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣2 B．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣2‎ C．∃x0∈（0，+∞），使lnx0≠x0﹣2 D．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣2‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈（0，+∞），使lnx0=x0﹣2”的否定是∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．设双曲线的一条渐进线方程为2x﹣y=0，则a的值为（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用双曲线的渐近线方程，列出方程求解即可．‎ ‎【解答】解：双曲线的一条渐进线方程为2x﹣y=0，‎ 可得，解得a=2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的（　　）‎ A．必要但不充分条件 B．充分但不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：由x2﹣3x+2=0得x=1或x=2，‎ 则“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，‎ 故选：B ‎　‎ ‎5．某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度（单位：℃）为，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是（　　）‎ A．8 B． C．﹣1 D．﹣8‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；变化的快慢与变化率．‎ ‎【分析】导函数即为原油温度的瞬时变化率，利用配方法可求最小值．‎ ‎【解答】解：由题意，f′（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1‎ ‎∵0≤x≤5‎ ‎∴x=1时，f′（x）的最小值为﹣1，即原油温度的瞬时变化率的最小值是﹣1‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．椭圆的焦距为，则m的值为（　　）‎ A．9 B．23 C．9或23 D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用椭圆方程求出焦距，得到方程求解即可．‎ ‎【解答】解：椭圆的焦距为，‎ 可得：2=2，或2=，解得：m=9或23．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．有下列四个命题：‎ ‎①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；‎ ‎②“全等三角形的面积相等”的否命题；‎ ‎③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；‎ ‎④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；‎ 其中真命题为（　　）‎ A．①② B．①③ C．②③ D．③④‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】写出“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题判断真假；‎ 写出“全等三角形的面积相等”的否命题判断真假；‎ 通过若q≤1，则方程x2+2x+q=0有实根，根据二次方程根的存在性，即可得到其真假，然后利用互为逆否命题的两个命题即可判定该命题的正误．‎ 利用原命题与逆否命题同真同假判断即可．‎ ‎【解答】解：对于①，“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题是：若x，y互为相反数，则x+y=0．它是真命题．‎ 对于②，“全等三角形的面积相等”的否命题是：若两个三角形不是全等三角形，则这两个三角形的面积不相等．它是假命题．‎ 对于③，若q≤1，则△=4﹣4q≥0，故命题若q≤1，则方程x2+2x+q=0有实根是真命题；它的逆否命题的真假与该命题的真假相同，故（3）是真命题．‎ 对于④，原命题为假，故逆否命题也为假．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间[k﹣1，k+1]内不是单调函数，则实数k的取值范围是（　　）‎ A．[1，2） B．（1，2） C． D．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解方程fˊ（x）=0，使方程的解在定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内，建立不等关系，解之即可．‎ ‎【解答】解：因为f（x）定义域为（0，+∞），‎ 又f′（x）=4x﹣，‎ 由f'（x）=0，得x=，‎ 当x∈（0，）时，f'（x）＜0，‎ 当x∈（，+∞）时，f'（x）＞0‎ 据题意，，‎ 解得：1＜k＜，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．已知直线2kx﹣y+1=0与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（　　）‎ A．（1，9] B．[1，+∞） C．[1，9）∪（9，+∞） D．（9，+∞）‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】利用直线2kx﹣y+1=0恒过的定点在椭圆内或椭圆上，计算即得结论．‎ ‎【解答】解：∵直线2kx﹣y+1=0恒过定点P（0，1），‎ ‎∴直线2kx﹣y+1=0与椭圆恒有公共点，‎ 即点P（0，1）在椭圆内或椭圆上，‎ ‎∴+≤1，即m≥1，‎ 又m≠9，否则是圆而非椭圆，‎ ‎∴1≤m＜9或m＞9，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．已知函数f（x）的图象如图所示，f'（x）是f（x）的导函数，则下列数值排序正确的是（　　）‎ A．0＜f'（3）＜f（3）﹣f（2）＜f'（2） B．0＜f'（3）＜f'（2）＜f（3）﹣f（2）‎ C．0＜f'（2）＜f'（3）＜f（3）﹣f（2） D．0＜f（3）﹣f（2）＜f'（3）＜f'（2）‎ ‎【考点】函数的单调性与导数的关系．‎ ‎【分析】由题意，作出f′（3）、f（3）﹣f（2）、f′（2）所表示的几何意义，从而求解．‎ ‎【解答】解：如下图：‎ f′（3）、f（3）﹣f（2）、f′（2）分别表示了直线n，m，l的斜率，‎ 故0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2），‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点F（c，0），虚轴的一个端点为B（0，b），如果直线FB与该双曲线的渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用已知条件列出方程，求解即可．‎ ‎【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点F（c，0），虚轴的一个端点为B（0，b），如果直线FB与该双曲线的渐近线垂直，‎ 可得： •=﹣1，可得c2﹣a2=ac，‎ 即e2﹣e﹣1=0，‎ 可得e=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．已知定义域为R的偶函数f（x），其导函数为f'（x），对任意x∈[0，+∞），均满足：xf'（x）＞﹣2f（x）．若g（x）=x2f（x），则不等式g（2x）＜g（1﹣x）的解集是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1） B． C． D．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】由题意和乘积的导数可得偶函数g（x）=x2f（x）在R上单调递增，可化原不等式为|2x|＜|1﹣x，解之可得．‎ ‎【解答】解：由题意可得函数g（x）=x2f（x）为R上的偶函数，‎ ‎∵xf'（x）＞﹣2f（x），x2f′（x）+2xf（x）＞0，‎ ‎∴g′（x）=（x2f（x））′=2xf（x）+x2f′（x）＞0，‎ ‎∴g（x）=x2f（x）在[0，+∞）R上单调递增，‎ ‎∵不等式g（2x）＜g（1﹣x），‎ ‎∴|2x|＜|1﹣x|，‎ 即（x+1）（3x﹣1）＜0，‎ 解得﹣1＜x＜‎ 故选：C ‎　‎ 二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卡上）：‎ ‎13．已知i为虚数单位，复数的共轭复数为　　．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的意义即可得出．‎ ‎【解答】解：复数==的共轭复数为：．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．若抛物线C：y2=2px的焦点在直线x+2y﹣4=0上，则p=　8　；C的准线方程为　x=﹣4　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】直线x+2y﹣4=0，令y=0，可得x=4，即=4，从而可得结论．‎ ‎【解答】解：直线x+2y﹣4=0，令y=0，可得x=4，∴=4，‎ ‎∴p=8，C的准线方程为x=﹣4‎ 故答案为：8；x=﹣4．‎ ‎　‎ ‎15．若函数f（x）=f'（1）x3﹣2x2+3，则f'（2）的值为　16　．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】求函数的导数，令x=1，先求出f′（1）的值，然后进行计算即可．‎ ‎【解答】解：函数的导数f′（x）=3f'（1）x2﹣4x，‎ 则f′（1）=3f'（1）﹣4，‎ 则f′（1）=2，‎ 即f′（x）=6x2﹣4x，‎ 则f′（2）=24﹣8=16，‎ 故答案为：16‎ ‎　‎ ‎16．已知P为双曲线上的动点，点M是圆（x+5）2+y2=4上的动点，点N是圆（x﹣5）2+y2=1上的动点，则|PM|﹣|PN|的最大值是　9　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由已知条件知道双曲线的两个焦点为两个圆的圆心和半径，再利用平面几何知识把|PM|﹣|PN|转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离即可求|PM|﹣|PN|的最最大值．‎ ‎【解答】9解：双曲线双曲线上的两个焦点分别是F1（﹣5，0）与F2（5，0），‎ 则这两点正好是两圆（x+5）2+y2=4和（x﹣5）2+y2=1的圆心，半径分别是r1=2，r2=1，‎ ‎∵|PF1|﹣|PF2|=2a=6，‎ ‎∴|PM|max=|PF1|+2，|PN|min=|PF2|﹣1，‎ ‎∴|PM|﹣|PN|的最大值=（|PF1|+2）﹣（|PF2|﹣1）=6+3=9，‎ ‎|PM|﹣|PN|的最大值为9，‎ 故答案为：9‎ ‎　‎ 三．解答题（本大题共6小题，共70分，其中17题为10分，其余为12分）：‎ ‎17．已知命题p：“双曲线的离心率”，命题q：“是焦点在x轴上的椭圆方程”．若命题“p∧q”是真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据椭圆、双曲线的方程及性质，分别求出命题p、q为真时实数m的取值范围，再求交集．‎ ‎【解答】解：若p为真命题，则，即m∈A=（3，+∞）…‎ 若q为真命题，则有，即m∈B=（2，4）．…‎ 因为，命题“p∧q”是真命题 又因为A∩B=（3，4）所以，m∈（3，4）即实数m的取值范围为（3，4）．…‎ ‎　‎ ‎18．已知函数 ‎（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），f（1），从而求出切线方程即可；‎ ‎（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）…‎ ‎，，‎ 切线的斜率k=f'（1）=2，切点为…‎ 所以，切线方程为，‎ 即4x﹣2y﹣13=0…‎ ‎（Ⅱ）令，解得x=2或x=3，‎ 由f'（x）＞0解得0＜x＜2或x＞3，由f'（x）＜0解得2＜x＜3，‎ 所以函数的单调递增区间为（0，2），（3，+∞），‎ 函数的单调递减区间为（2，3）…‎ 且当x=2时，f（x）取得极大值f（2）=﹣8+6ln2，‎ ‎…‎ ‎　‎ ‎19．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点F，E上一点（3，m）到焦点的距离为4．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线E的方程；‎ ‎（Ⅱ）过F作直线l，交抛物线E于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为﹣1，求直线l的方程．‎ ‎【考点】直线与抛物线的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ） 法一：利用已知条件列出方程组，求解即可．‎ 法二：利用抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线方程，由抛物线的定义列出方程，求解即可．‎ ‎（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）得抛物线E的焦点F（1，0）设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），利用平方差法，求出线段AB中点的纵坐标为﹣1，得到直线的斜率，求出直线方程．‎ 法二：设直线l的方程为x=my+1，联立直线与抛物线方程，设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），通过线段AB中点的纵坐标为﹣1，求出m即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ） 法一：抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点F的坐标为，‎ 由已知…‎ 解得P=2或P=﹣14‎ ‎∵P＞0，∴P=2∴E的方程为y2=4x．…‎ 法二：抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线方程为，‎ 由抛物线的定义可知 解得p=2∴E的方程为y2=4x．…‎ ‎（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）得抛物线E的方程为y2=4x，焦点F（1，0）‎ 设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则…‎ 两式相减．整理得 ‎∵线段AB中点的纵坐标为﹣1‎ ‎∴直线l的斜率…‎ 直线l的方程为y﹣0=﹣2（x﹣1）即2x+y﹣2=0…‎ 法二：由（1）得抛物线E的方程为y2=4x，焦点F（1，0）‎ 设直线l的方程为x=my+1‎ 由消去x，得y2﹣4my﹣4=0‎ 设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎∵线段AB中点的纵坐标为﹣1‎ ‎∴‎ 解得…‎ 直线l的方程为即2x+y﹣2=0…‎ ‎　‎ ‎20．某商品每件成本5元，售价14元，每星期卖出75件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数m与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x＜9）的平方成正比，已知商品单价降低1元时，一星期多卖出5件．‎ ‎（1）将一星期的商品销售利润y表示成x的函数；‎ ‎（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】（1）依题意，设m=kx2，由已知有5=k•12，可求得k值，根据单件利润×销售量可得函数式；‎ ‎（2）利用导数即可求得函数的最大值，注意函数定义域；‎ ‎【解答】解：（1）依题意，设m=kx2，由已知有5=k•12，从而k=5，‎ ‎∴m=5x2，‎ ‎∴y=（14﹣x﹣5）（75+5x2）=﹣5x3+45x2﹣75x+675（0≤x＜9）；‎ ‎（2）∵y′=﹣15x2+90x﹣75=﹣15（x﹣1）（x﹣5），‎ 由y′＞0，得 1＜x＜5，由y′＜0，得 0≤x＜1或5＜x＜9，‎ 可知函数y在[0，1）上递减，在（1，5）递增，在（5，9）上递减，‎ 从而函数y取得最大值的可能位置为x=0或是x=5，‎ ‎∵y（0）=675，y（5）=800，‎ ‎∴当x=5时，ymax=800，‎ 答：商品每件定价为9元时，可使一个星期的商品销售利润最大．‎ ‎　‎ ‎21．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C的长轴长为4．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知直线l：y=kx﹣与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）设椭圆的焦半距为c，利用离心率为，椭圆C的长轴长为4．列出方程组求解c，推出b，即可得到椭圆的方程．‎ ‎（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．设点A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l的方程代入，化简，利用韦达定理，结合向量的数量积为0，转化为：x1x2+y1y2=0．求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得，‎ 解得，所以b2=a2﹣c2=4﹣3=1，‎ 故所求椭圆C的方程为．‎ ‎（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．‎ 理由如下：‎ 设点A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 将直线l的方程代入，‎ 并整理，得．（*）‎ 则，．‎ 因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，‎ 所以，即x1x2+y1y2=0．‎ 又 于是，解得，‎ 经检验知：此时（*）式的△＞0，符合题意．‎ 所以当时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．‎ ‎　‎ ‎22．设函数，g（x）=2x2+4x+c．‎ ‎（1）试问函数f（x）能否在x=﹣1时取得极值？说明理由；‎ ‎（2）若a=﹣1，当x∈[﹣3，4]时，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，求c的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；函数在某点取得极值的条件．‎ ‎【分析】（1）利用反证法：根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，假设x=﹣1时f（x）取得极值，则把x=﹣1代入导函数，导函数值为0得到a的值，把a的值代入导函数中得到导函数在R上为增函数，没有极值与在x=﹣1时f（x）取得极值矛盾，所以得到f（x）在x=﹣1时无极值；‎ ‎（2）把a=﹣1代入f（x）确定出f（x），然后令f（x）与g（x）相等，移项并合并得到c等于一个函数，设F（x）等于这个函数，G（x）等于c，求出F（x）的导函数，令导函数等于0求出x的值，利用x的值讨论导函数的正负得到F（x）的单调区间，进而得到F（x）的极大值和极小值，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，则函数F（x）与G（x）有两个公共点，根据F（x）的极大值和极小值写出c的取值范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题意f′（x）=x2﹣2ax﹣a，‎ 假设在x=﹣1时f（x）取得极值，则有f′（﹣1）=1+2a﹣a=0，∴a=﹣1，‎ 而此时，f′（x）=x2+2x+1=（x+1）2≥0，函数f（x）在R上为增函数，无极值．‎ 这与f（x）在x=﹣1有极值矛盾，所以f（x）在x=﹣1处无极值；‎ ‎（2）令f（x）=g（x），则有x3﹣x2﹣3x﹣c=0，∴c=x3﹣x2﹣3x，‎ 设F（x）=x3﹣x2﹣3x，G（x）=c，令F′（x）=x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1或x=3．‎ 列表如下：‎ ‎ x ‎﹣3‎ ‎ （﹣3，﹣1）‎ ‎﹣1‎ ‎ （﹣1，3）‎ ‎ 3‎ ‎ （3，4）‎ ‎ 4‎ ‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎ 0‎ ‎﹣‎ ‎ 0‎ ‎+‎ ‎ f（x）‎ ‎﹣9‎ ‎↑‎ ‎↓‎ ‎﹣9 ‎ ‎↑‎ ‎﹣‎ 由此可知：F（x）在（﹣3，﹣1）、（3，4）上是增函数，在（﹣1，3）上是减函数．‎ 当x=﹣1时，F（x）取得极大值；当x=3时，F（x）取得极小值 F（﹣3）=F（3）=﹣9，而．‎ 如果函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，则函数F（x）与G（x）有两个公共点，‎ 所以或c=﹣9．‎ ‎　‎