数学卷·2018届湖南省张家界市民族中学高二上学期期中数学试卷（文科）+（解析版） 25页

‎2016-2017学年湖南省张家界市民族中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是（　　）‎ A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2=x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2=x ‎2．如图在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是A，B，则复数的值是（　　）‎ A．﹣1+2i B．﹣2﹣2i C．1+2i D．1﹣2i ‎3．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（　　）‎ A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a ‎4．执行如图所示的程序框图，如果输入m=30，n=18，则输出的m的值为（　　）‎ A．0 B．6 C．12 D．18‎ ‎5．有五条线段长度分别为1、3、5、7、9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知命题：p：对任意x∈R，总有|x|≥0，q：x=1是方程x+2=0的根；则下列命题为真命题的是（　　）‎ A．p∧￢q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧q ‎7．当a=3时，下面程序运行后输出结果是（　　）‎ A．9 B．3 C．6 D．10‎ ‎8．在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知以下列联表，且已知P（K2≥6.635）≈0.010，根据此列联表求得随机变量K2的观测值k≈16.373＞6.635，那么以下说法正确的是（　　）‎ 患心脏病 患其它病 总计 秃顶 ‎214‎ ‎175‎ ‎389‎ 不秃顶 ‎451‎ ‎597‎ ‎1048‎ 总计 ‎665‎ ‎772‎ ‎1437‎ A．秃顶与患心脏病一定有关系 B．在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为秃顶与患心脏病有关系 C．我们有1%的把握认为秃顶与患心脏病有关系 D．在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为秃顶与患心脏病没有关系 ‎10．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（　　）‎ A．35 B．﹣3 C．3 D．﹣0.5‎ ‎11．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy=（　　）‎ A．96 B．99 C．100 D．91‎ ‎12．设双曲线的半焦距为C，直线L过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线L的距离为，则双曲线的离心率为（　　）‎ A．2 B．2或 C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．已知z=4﹣3i，则|z|=　　．‎ ‎14．已知数列{an}的第1项为a1=1，且an+1=（n=1，2，3，4，…），通过计算a1，a2，a3，a4，猜想这个数列的通项公式为an=　　．‎ ‎15．双曲线的渐近线方程为x±2y=0，焦距为10，这双曲线的方程为　　．‎ ‎16．秦九韶，中国古代数学家，对中国数学乃至世界数学的发展做出了杰出贡献．世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则．美国著名科学史家萨顿（G•Sarton，1884﹣1956）说过，秦九韶是“他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一“．他所创立的秦九韶算法，直到今天，仍是多项式求值比较先进的算法．尤其是他本人做梦都没想到的是可以用计算机算法编写程序，减少CPU运算时间．请你解决下面一题：已知一个5次多项式为f（x）=4x5+2x4+3.5x3﹣2.6x2+1.7x+0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6个小题，共70分）：‎ ‎17．（10分）已知p：|x﹣4|≤6，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．‎ ‎18．（12分）P为双曲线﹣=1上一点，F1、F2为左、右焦点，若∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积．‎ ‎19．（12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi ‎（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得，，，．‎ ‎（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；‎ ‎（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；‎ ‎（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．‎ 附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．‎ ‎20．（12分）某高中有高一新生500名，分成水平相同的A，B两类进行教学实验．为对比教学效果，现用分层抽样的方法从A、B两类学生中分别抽取了40人、60人进行测试．‎ ‎（Ⅰ）求该学校高一新生A、B两类学生各多少人？‎ ‎（Ⅱ）经过测试，得到以下三个数据图表：‎ 图一：75分以上A、B两类参加测试学生成绩的茎叶图（茎、叶分别是十位和个位上的数字）（如图1）‎ 图二：100名测试学生成绩的频率分布直方图2；‎ 表一：100名测试学生成绩频率分布表；‎ 组号 分组 频数 频率 ‎1‎ ‎[55，60）‎ ‎5‎ ‎0.05‎ ‎2‎ ‎[60，65）‎ ‎20‎ ‎0.20‎ ‎3‎ ‎[65，70）‎ ‎4‎ ‎[70，75）‎ ‎35‎ ‎0.35‎ ‎5‎ ‎[75，80）‎ ‎6‎ ‎[80，85）‎ 合计 ‎100‎ ‎1.00‎ ‎①先填写频率分布表（表一）中的六个空格，然后将频率分布直方图（图二）补充完整；‎ ‎②该学校拟定从参加考试的79分以上（含79分）的B类学生中随机抽取2人代表学校参加市比赛，求抽到的2人分数都在80分以上的概率．‎ ‎21．（12分）从椭圆+=1（a＞b＞0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰为右焦点F2，A是椭圆与x轴负半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，|F1A|=﹣，‎ ‎（1）求此椭圆的方程．‎ ‎（2）过右焦点F2作倾斜角为60°的直线交椭圆于M，N两点，求△OMN的面积．‎ ‎22．（12分）已知P是圆C：（x+1）2+y2=16．上任意一点，A（1，0），线段PA的垂直平分线与PC相交于点Q．‎ ‎（1）求点Q的轨迹方程；‎ ‎（2）已知直线y=kx+m与点Q的轨迹方程相交于M，N两点，且满足•=0，求证： +定值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖南省张家界市民族中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是（　　）‎ A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2=x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2=x ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据全称命题的否定是特称命题，利用特称命题写出命题的否定命题．‎ ‎【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，‎ ‎∴命题的否定是：∃x0∈R， =x0．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了全称命题的否定，要注意命题的否定与命题的否命题是两个完全不同的命题，全称命题的否定是特称命题．‎ ‎　‎ ‎2．如图在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是A，B，则复数的值是（　　）‎ A．﹣1+2i B．﹣2﹣2i C．1+2i D．1﹣2i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】由图得到复数z1，z2，代入后利用复数代数形式的除法运算化简求值．‎ ‎【解答】解：由图可知，z1=﹣2﹣i，z2=i，‎ 则=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（　　）‎ A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a ‎【考点】众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】先由已知条件分别求出平均数a，中位数b，众数c，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：由已知得：a=（15+17+14+10+15+17+17+16+14+12）=14.7；‎ b==15；‎ c=17，‎ ‎∴c＞b＞a．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查平均数为，中位数，众数的求法，是基础题，解题时要认真审题．‎ ‎　‎ ‎4．执行如图所示的程序框图，如果输入m=30，n=18，则输出的m的值为（　　）‎ A．0 B．6 C．12 D．18‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【解答】解：如果输入m=30，n=18，‎ 第一次执行循环体后，r=12，m=18，n=12，不满足输出条件；‎ 第二次执行循环体后，r=6，m=12，n=6，不满足输出条件；‎ 第三次执行循环体后，r=0，m=6，n=0，满足输出条件；‎ 故输出的m值为6，‎ 故选：B ‎【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是中档题．‎ ‎　‎ ‎5．有五条线段长度分别为1、3、5、7、9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是从五条线段中取三条共有C53种结果，而满足条件的事件是3、5、7；3、7、9；5、7、9，三种结果，根据古典概型公式得到结果．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，‎ ‎∵试验发生包含的所有事件是从五条线段中取三条共有C53种结果，‎ 而满足条件的事件是3、5、7；3、7、9；5、7、9，三种结果，‎ ‎∴由古典概型公式得到P==，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查古典概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体，主要考查的是另一个知识点．‎ ‎　‎ ‎6．已知命题：p：对任意x∈R，总有|x|≥0，q：x=1是方程x+2=0的根；则下列命题为真命题的是（　　）‎ A．p∧￢q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧q ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】判定命题p，q的真假，利用复合命题的真假关系即可得到结论．‎ ‎【解答】解：根据绝对值的性质可知，对任意x∈R，总有|x|≥0成立，即p为真命题，‎ 当x=1时，x+2=3≠0，即x=1不是方程x+2=0的根，即q为假命题，‎ 则p∧￢q，为真命题，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查复合命题的真假关系的应用，先判定p，q的真假是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎　‎ ‎7．当a=3时，下面程序运行后输出结果是（　　）‎ A．9 B．3 C．6 D．10‎ ‎【考点】输入、输出语句．‎ ‎【分析】首先分析程序含义，判断执行过程，对于当a=3时，根据程序先判断后执行 y=2a，或y=a2 最后计算求出y的值即可．‎ ‎【解答】解：本程序含义为：‎ 输入a 如果a＜10，执行：y=2a 否则，执行：y=a2‎ 因为a=3‎ 由y=2a，可得，y=6‎ 故程序运行后输出结果是6‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题选择选择结构的程序语句，根据两个执行语句分别计算．属于基础题 ‎　‎ ‎8．在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的区间长度，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，‎ 则﹣2≤X≤3，‎ 则X≤1的概率P=，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的区间长度是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎　‎ ‎9．已知以下列联表，且已知P（K2≥6.635）≈0.010，根据此列联表求得随机变量K2的观测值k≈16.373＞6.635，那么以下说法正确的是（　　）‎ 患心脏病 患其它病 总计 秃顶 ‎214‎ ‎175‎ ‎389‎ 不秃顶 ‎451‎ ‎597‎ ‎1048‎ 总计 ‎665‎ ‎772‎ ‎1437‎ A．秃顶与患心脏病一定有关系 B．在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为秃顶与患心脏病有关系 C．我们有1%的把握认为秃顶与患心脏病有关系 D．在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为秃顶与患心脏病没有关系 ‎【考点】独立性检验的应用．‎ ‎【分析】根据数据计算得随机变量K2的观测值，对照2×2列联表中数据，即可得出统计结论．‎ ‎【解答】解：由2×2列联表数据计算得随机变量K2的观测值是k≈16.373＞6.635，‎ 通过对照表中数据得，P（K2≥6.635）≈0.010，‎ ‎∴在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为秃顶与患心脏病有关系．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了应用2×2列联表中的数据，得出统计结论的应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎10．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（　　）‎ A．35 B．﹣3 C．3 D．﹣0.5‎ ‎【考点】众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】‎ 在输入的过程中错将其中一个数据105输入为15少输入90，在计算过程中共有30个数，所以少输入的90对于每一个数来说少3，求出的平均数与实际平均数的差可以求出．‎ ‎【解答】解：∵在输入的过程中错将其中一个数据105输入为15‎ 少输入90，‎ 而=3‎ ‎∴平均数少3，‎ ‎∴求出的平均数减去实际的平均数等于﹣3．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查平均数的性质，求数据的平均值和方差是研究数据常做的，平均值反映数据的平均水平，而方差反映数据的波动大小，从两个方面可以准确的把握数据的情况．‎ ‎　‎ ‎11．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy=（　　）‎ A．96 B．99 C．100 D．91‎ ‎【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】先由平均数的公式列出x+y=20，然后根据方差的公式列方程，求出x和y的值即可求出xy的值．‎ ‎【解答】解：根据平均数及方差公式，可得：‎ ‎9+10+11+x+y=10×5，‎ ‎（9﹣10）2+（10﹣10）2+（11﹣10）2+（x﹣10）2+（y﹣10）2=2×5‎ 化简得，‎ x+y=20‎ ‎（x﹣10）2+（y﹣10）2=8‎ ‎∴x=8，y=12‎ 或x=12，y=8‎ 则xy=96‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查了平均数和方差等概念，以及解方程组，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．设双曲线的半焦距为C，直线L过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线L的距离为，则双曲线的离心率为（　　）‎ A．2 B．2或 C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】直线l的方程为，原点到直线l的距离为，∴，据此求出a，b，c间的数量关系，从而求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：∵直线l的方程为，c2=a2+b2∴原点到直线l的距离为，‎ ‎∴，‎ ‎∴16a2b2=3c4，‎ ‎∴16a2（c2﹣a2）=3c4，∴16a2c2﹣16a4=3c4，‎ ‎∴3e4﹣16e2+16=0，‎ 解得或e=2．‎ ‎∵0＜b＜a，∴（e=2舍去）．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查双曲线性质．主要考查求双曲线的离心率常用的方法，注意椭圆中三参数的关系是：a2=b2+c2双曲线中三参数的关系：c2=b2+a2．的不同之处．‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．已知z=4﹣3i，则|z|=　5　．‎ ‎【考点】复数求模．‎ ‎【分析】利用复数模的计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：|z|==5．‎ 故答案为：5．‎ ‎【点评】本题考查了复数模的计算公式，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．已知数列{an}的第1项为a1=1，且an+1=（n=1，2，3，4，…），通过计算a1，a2，a3，a4，猜想这个数列的通项公式为an=　　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】根据题意，由数列中a1的值以及an+1=，计算可得a2=，a3=，a4=，分析可得a1=1=，a2==，a3==，a4==，进而归纳可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，数列{an}中a1=1，且an+1=，‎ 则a2===，‎ a3===，‎ a4==，‎ 分析可得a1=1=，‎ a2==，‎ a3==，‎ a4==，‎ 故可以归纳出an=，‎ 故答案为：an=．‎ ‎【点评】本题考查数列的表示方法，涉及归纳推理的运用，关键是正确计算该数列的前4项，并分析发现规律．‎ ‎　‎ ‎15．双曲线的渐近线方程为x±2y=0，焦距为10，这双曲线的方程为　或=1　．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】分别看焦点在x轴和y轴时，整理直线方程求得双曲线方程中a和b的关系式，进而根据焦距求得a和b的另一关系式，联立求得a和b，则双曲线的方程可得．‎ ‎【解答】解：当焦点在x轴时，求得a=，b=，双曲线方程为 当焦点在y轴时，求得a=，b=，双曲线方程为=1‎ ‎∴双曲线的方程为或=1‎ ‎【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．解题的关键是熟练掌握双曲线方程中的a，b和c的关系，并灵活运用．‎ ‎　‎ ‎16．秦九韶，中国古代数学家，对中国数学乃至世界数学的发展做出了杰出贡献．世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则．美国著名科学史家萨顿（G•Sarton，1884﹣1956）说过，秦九韶是“他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一“．他所创立的秦九韶算法，直到今天，仍是多项式求值比较先进的算法．尤其是他本人做梦都没想到的是可以用计算机算法编写程序，减少CPU运算时间．请你解决下面一题：已知一个5次多项式为f（x）=4x5+2x4+3.5x3﹣2.6x2+1.7x+0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值为　14131.8　．‎ ‎【考点】秦九韶算法．‎ ‎【分析】利用秦九韶算法即可得出．‎ ‎【解答】解：由秦九韶算法计算多项式f（x）=4x5+2x4+3.5x3﹣2.6x2+1.7x+0.8‎ ‎=（（（（4x+2）x+3.5）x﹣2.6）x+1.7）x+0.8，‎ 当x=5时，f（x）=14131.8．‎ 故答案为14131.8．‎ ‎【点评】本题考查了秦九韶算法，属于基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6个小题，共70分）：‎ ‎17．（10分）（2016春•梁园区校级期末）已知p：|x﹣4|≤6，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由绝对值不等式及一元二次不等式的解法，得到p，q的等价命题．又由￢p是￢q的必要而不充分条件的等价命题为：p是q的充分不必要条件，再由判断充要条件的方法，我们可知命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则AB，进而得到m的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题知，若¬p是¬q的必要不充分条件的等价命题为：p是q的充分不必要条件．‎ 由|x﹣4|≤6，解得﹣2≤x≤10，‎ ‎∴p：﹣2≤x≤10；‎ 由x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），整理得[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0 ‎ 解得 1﹣m≤x≤1+m，‎ ‎∴q：1﹣m≤x≤1+m 又∵p是q的充分不必要条件 ‎∴，∴m≥9，‎ ‎∴实数m的取值范围是[9，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查的判断充要条件的方法，但解题的关键是绝对值不等式及一元二次不等式的解法．我们可以根据充要条件的定义进行判断，也可根据命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则AB．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•张家界期中）P为双曲线﹣=1上一点，F1、F2为左、右焦点，若∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可得 F2（5，0），F1 （﹣5，0），余弦定理可得 PF1•PF2=64，由S=PF1•PF2sin60°，即可求得△F1PF2的面积．‎ ‎【解答】解：由题意可得 F2（5，0），F1 （﹣5，0），由余弦定理可得 ‎ ‎100=PF12+PF22﹣2PF1•PF2cos60°=（PF1﹣PF2）2+PF1•PF2=36+PF1•PF2，‎ ‎∴PF1•PF2=64．‎ ‎△F1PF2的面积S=PF1•PF2sin60°=×64×=16．‎ ‎【点评】本题主要考查双曲线的简单性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2013•重庆）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得，，，．‎ ‎（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；‎ ‎（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；‎ ‎（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．‎ 附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意可知n，，，进而可得，，代入可得b值，进而可得a值，可得方程；‎ ‎（Ⅱ）由回归方程x的系数b的正负可判；‎ ‎（Ⅲ）把x=7代入回归方程求其函数值即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可知n=10， ===8， ===2，‎ 故lxx==720﹣10×82=80，lxy==184﹣10×8×2=24，‎ 故可得b=═=0.3，a==2﹣0.3×8=﹣0.4，‎ 故所求的回归方程为：y=0.3x﹣0.4；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b=0.3＞0，即变量y随x的增加而增加，故x与y之间是正相关；‎ ‎（Ⅲ）把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．‎ ‎【点评】本题考查线性回归方程的求解及应用，属基础题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016•衡阳三模）某高中有高一新生500名，分成水平相同的A，B两类进行教学实验．为对比教学效果，现用分层抽样的方法从A、B两类学生中分别抽取了40人、60人进行测试．‎ ‎（Ⅰ）求该学校高一新生A、B两类学生各多少人？‎ ‎（Ⅱ）经过测试，得到以下三个数据图表：‎ 图一：75分以上A、B两类参加测试学生成绩的茎叶图（茎、叶分别是十位和个位上的数字）（如图1）‎ 图二：100名测试学生成绩的频率分布直方图2；‎ 表一：100名测试学生成绩频率分布表；‎ 组号 分组 频数 频率 ‎1‎ ‎[55，60）‎ ‎5‎ ‎0.05‎ ‎2‎ ‎[60，65）‎ ‎20‎ ‎0.20‎ ‎3‎ ‎[65，70）‎ ‎4‎ ‎[70，75）‎ ‎35‎ ‎0.35‎ ‎5‎ ‎[75，80）‎ ‎6‎ ‎[80，85）‎ 合计 ‎100‎ ‎1.00‎ ‎①先填写频率分布表（表一）中的六个空格，然后将频率分布直方图（图二）补充完整；‎ ‎②该学校拟定从参加考试的79分以上（含79分）的B类学生中随机抽取2人代表学校参加市比赛，求抽到的2人分数都在80分以上的概率．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题知A类学生有人则B类学生有500﹣200=300人 ‎（Ⅱ）通过读频率分布直方图可轻易获取所要解答．‎ ‎【解答】解析：（Ⅰ）由题知A类学生有（人）…2分 则B类学生有500﹣200=300（人）…3人 ‎（Ⅱ）①表一：‎ 组号 分组 频数 频率 ‎1‎ ‎[55，60）‎ ‎5‎ ‎0.05‎ ‎2‎ ‎[60，65）‎ ‎20‎ ‎0.20‎ ‎3‎ ‎[65，70）‎ ‎25‎ ‎0.25‎ ‎4‎ ‎[70，75）‎ ‎35‎ ‎0.35‎ ‎5‎ ‎[75，80）‎ ‎10‎ ‎0.10‎ ‎6‎ ‎[80，85）‎ ‎5‎ ‎0.05‎ 合计 ‎100‎ ‎1.00‎ ‎…6分 图二：‎ ‎…9分 ‎②79分以上的B类学生共4人，记80分以上的三人分别是{1，2，3}，79分的学生为{a}．‎ 从中抽取2人，有：12，13，1a，23，2a，3a，共6种抽法；…10分 抽出的2人均在80分以上有：：12，13，23，共3种抽法．…11分 则抽到2人均在80分以上的概率为．…12分．‎ ‎【点评】本题主要考查频率分布直方图，属简单题目．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•张家界期中）从椭圆+=1（a＞b＞0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰为右焦点F2，A是椭圆与x轴负半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，|F1A|=﹣，‎ ‎（1）求此椭圆的方程．‎ ‎（2）过右焦点F2作倾斜角为60°的直线交椭圆于M，N两点，求△OMN的面积．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）设出椭圆方程，求出AB，OP所在直线的斜率，由斜率相等得到b=c，再由，|F1A|=﹣得a﹣c=﹣，然后结合隐含条件求得a，b的值，则椭圆方程可求．‎ ‎（2）利用点到直线的距离公式求出点O到直线的距离为d，弦长公式求出|MN|，则△OMN的面积s=|MN•d．‎ ‎【解答】解：（1）∵AB∥OP，A（﹣a，0），B（0，b），P（c，），‎ ‎∴kAB=kOP，即，也就是b=c ①，又∵|F1A|=﹣得a﹣c=﹣②，且a2=b2+c2③．‎ 联立①②③可得：a=，b=．‎ 所以椭圆方程为；‎ ‎（2）F2（，0），直线方程为y=（x﹣），代入椭圆方程并整理得：7x2﹣12x+20=0，‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1x2=，x1+x2=，‎ 点O到直线的距离为d=，‎ ‎|MN|=，∴△OMN的面积s=|MN|•d=．‎ ‎【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，及运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016秋•张家界期中）已知P是圆C：（x+1）2+y2=16．上任意一点，A（1，0），线段PA的垂直平分线与PC相交于点Q．‎ ‎（1）求点Q的轨迹方程；‎ ‎（2）已知直线y=kx+m与点Q的轨迹方程相交于M，N两点，且满足•=0，求证： +定值．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）根据线段中垂线的性质可得|QA|=|QP|，又|QC|+|QP|=4（半径），|QC|+|QA|=4＞|AC|=2根据椭圆的定义判断轨迹椭圆，求出a、b值，即得椭圆的标准方程；‎ ‎（2）将y=kx+m代入并整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用•=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，可得7m2=12（k2+1）．即可证明结论．‎ ‎【解答】解：（1）由圆的方程可知，圆心C（﹣1，0），半径等于4，设点Q的坐标为（x，y ），‎ ‎∵线段PA的垂直平分线与PC相交于点Q，‎ ‎∴|QA|=|QP|． ‎ 又|QC|+|QP|=4（半径），‎ ‎∴|QC|+|QA|=4＞|AC|=2．‎ ‎∴点Q满足椭圆的定义，且2a=4，2c=2，‎ ‎∴a=2，c=1，‎ ‎∴b=，‎ ‎∴点M的轨迹方程为．‎ ‎（2）将y=kx+m代入并整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，‎ 有•=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，‎ 可得7m2=12（k2+1）．‎ 设点O到直线MN的距离为h，则h=，‎ 在△OMN中，由等面积法知|MN|h=|OM||ON|‎ 所以， +===．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎