数学理卷·2018届山东省菏泽市高三下学期第一次模拟考试（2018 16页

菏泽市2018届高三年级第一次模拟考试 数学（理科）‎ ‎2018.3‎ 考生注意：‎ ‎1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。‎ ‎2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。‎ ‎3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 ‎ ‎4.本卷命题范围：高考范围。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则 A. B. C. D.‎ ‎2.已知复数满足（为虚数单位），则为 A.2 B. C. D.1‎ ‎3.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列正确的是 A. 若，则 B.若，则 ‎ C. 若，则 D.若，则 ‎ ‎4.若在区间上随机取两个数，则这两个数之和小于3的概率是 A. B. C. D.‎ ‎5.若双曲线的离心率，则实数的取值范围为 A. B. C. D.‎ ‎6.等比数列中，是方程的两个实数根，则的值为 A.2 B.或 C. D.‎ ‎7.执行如图所示的程序框图，输入，若要求输出不超过500的最大奇数，则◇内应填 ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎8.若的展开式中含有常数项，且的最小值为，则 A. B. C. D.‎ ‎9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是 ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知，若将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则的最小值为 A. B. C. D.‎ ‎11.已知椭圆的左、右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若的内切圆半径为，则椭圆的离心率 A. B.或 C. D. ‎ ‎12.已知是定义域为的单调函数，若对任意都有 ‎，且关于的方程在区间上有两个不同实数根，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.记表示不超过的最大整数，例如，已知 则__________.‎ ‎14.若实数满足，则的最小值是__________.‎ ‎15.已知平面向量均为单位向量，若，则的取值范围为__________.‎ ‎16.已知等差数列前项和为，且，若满足不等式的正整数有且仅有3个，则实数的取值范围为__________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 第17题〜第21题为必考题，每个题目考生都必须作答. 第22题〜第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题: 共60分.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 在中，分别是角的对边，且 ，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图，在几何体中，四边形是边长为2的菱形，平面，平面，，.‎ ‎（1）当长为多少时，平面平面？‎ ‎（2）在（1）的条件下，求二面角的余弦值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 在一次诗词知识竞赛调查中，发现参赛选手分为两个年龄（单位:岁）段：，‎ ‎，其中答对诗词名句与否的人数如图所示.‎ ‎ ‎ ‎（1）完成下面2×2列联表；‎ 年龄段 正确 错误 合计 合计 ‎（2）是否有90%的把握认为答对诗词名句与年龄有关，请说明你的理由；‎ ‎（3）现按年龄段分层抽样选取6名选手，若从这6名选手中选取3名选手，求3名选手中年龄在岁范围人数的分布列和数学期望.‎ 注:，其中 ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知抛物线的顶点为平面直角坐标系的坐标原点，焦点为圆 的圆心.经过点的直线交抛物线于两点，交圆于两点，在第一象限，在第四象限.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）是否存在直线使是与的等差中项？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若对恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（二）选考题: 共10分. 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4: 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和曲线的普通方程；‎ ‎（2）若分别为曲线上的动点，求的最大值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-5: 不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设，若对任意不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 菏泽市2018届高三年级第一次模拟考试·数学（理科）‎ 参考答案、提示及评分细则 ‎1.C 因为集合，‎ ‎，所以， 故选C. ‎ ‎2.C 由，得，‎ ‎∴，故选C.‎ ‎3.D 若，则，D正确；分析知选项A，B，C均不正确，故选D. ‎ ‎4.A 如图，在区间[0，2]上随机取两个数为x，y，则不等式组， 表示的平面区域为边长是2的正方形OACE区域．又，所以所求概率.故选A ‎5.D 由题意易得，则，即．故选D.‎ ‎6.B 是方程的根，，即或..故选B.‎ ‎7.C 输入，则，不符合；，‎ 则，不符合；，则，符合.又，所以输出m的值应为5，所以空白框内应填输出．故选C ‎8.C 展开式的通项为 ‎，因为展开式中含有常数项，所以，即为整数，故n的最小值为5．‎ 所以.故选C ‎9.D 由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其外接球相当于以俯视图为底面侧棱长为1的直三棱柱的外接球，再由正弦定理易得底面三角形的外接圆半径，球心到底面的距离， 故球半径，故球的表面积，故选D.‎ ‎10.D 由得，又，则，所以，‎ 所以．将向右平移个单位长度后得到 ‎，因为函数的图象关于y轴对称，所以 ‎，即.又，所以当时，取得最小值. 故选D.‎ ‎11.B 如图，设内切圆圆心为C，半径为r，‎ 则.‎ 即，∴，∴.整理得，解得或.故选B. ‎ ‎12.A 由题意知必存在唯一的正实数m满足，，‎ ‎∴，∴，∴，解得m=3．‎ 故．又关于x的方程在区间（0，3]上有两个不同实数根，即关于x的方程在区间（0，3]上有两个不同实数根．由，得.当时，，单调递减；与时，，单调递增，∴在处取得最大值a.，．分别作出函数和函数 的部分图象：‎ ‎ ‎ 两图象只有一个交点（l，0），将的图象向上平移，且经过点（3，1），由，得．综上 ．故选A.‎ ‎13. ∵，∴. 又∵，∴，即.‎ ‎14. 不等式可表示为如图所示的平面区域.‎ ‎ ‎ 为该区域内的点与坐标原点连线的斜率，显然，当x=3，y=1时，取得最小值. ‎ ‎15. ∵三个平面向量均为单位向量，，∴设，，，则，，‎ ‎∴.它表示单位圆上的点到定点P（2，3）的距离，其最大值是，最小值是. ‎ ‎∴ 的取值范围是. ‎ ‎ ‎ ‎16. 不妨设，由，得，‎ 则，所以，令，‎ 则），易得数列在时单调递减；在n＞5时单调递增. 令，有，，. 若满足题意的正整数n只有3个，则n只能为4，5，6，故实数的取值范围为. ‎ ‎17.解：（1）∵，由正弦定理得. ‎ ‎∴，∴. ‎ 又，∴. ‎ ‎∵，∴，∴，‎ 由3a=2b知，a＜b，‎ ‎∴A为锐角，∴. ‎ ‎∴‎ ‎（2）∵b=6，，∴a=4. ‎ ‎∴. ‎ ‎18.证明：（1）连接BD交AC于点O，则AC⊥BD.‎ 取EF的中点G，连接OG，则OG∥DE. ‎ ‎∵DE⊥平面ABCD，∴OG⊥平面ABCD. ‎ ‎∴OG，AC，BD两两垂直. ‎ ‎∴以AC，BD，OG所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图），‎ 设，‎ 由题意，易求，‎ ‎∴，‎ 设平面AEF，平面CEF的法向量分别为，‎ 由，，得，∴‎ 解得. 令，∴. ‎ 同理可求. ‎ 若平面AEF⊥平面CEF，则，‎ ‎∴，‎ 解得或（舍），‎ 即BF长为时，平面AEF⊥平面CEF. ‎ 解:（2）当时，，‎ ‎∴，，∴EF⊥AF，EF⊥CF，‎ ‎∴EF⊥平面AFC，‎ ‎∴平面AFC的一个法向量为，‎ 设平面AEC的一个法向量为，则 ‎，∴，得，‎ 令，得，∴. ‎ 从而. ‎ 故所求的二面角E-AC-F的余弦值为. ‎ ‎19.解：（1）2×2列联表：‎ 年龄段 正确 错误 合计 ‎[20，30）‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎[30，40]‎ ‎10‎ ‎70‎ ‎80‎ 合计 ‎20‎ ‎100‎ ‎120‎ ‎（2）. ‎ ‎∵3＞2.706，‎ ‎∴有90%的把握认为答对诗词名句与年龄有关. ‎ ‎（3）按年龄段分层抽取6人中，在范围[20，30）岁的人数是2（人），在[30，40]岁范围的人数是4（人）.‎ 现从6名选手中选取3名选手，设3名选手中在范围[20，30）岁的人数为，则的可能取值为0，1，2‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 故的数学期望为. ‎ ‎20.解：（1）∵圆F的方程为，‎ ‎∴圆心F的坐标为（2，0），半径r=1. ‎ 根据题意设抛物线E的方程为，‎ ‎∴，解得p=4. ‎ ‎∴抛物线E的方程为. ‎ ‎（2） ∵是与的等差中项，‎ ‎∴. ‎ ‎∴. ‎ 讨论：‎ 若垂直于x轴，则的方程为x=2，代入，解得. ‎ 此时|AD|=8，不满足题意；‎ 若不垂直于x轴，则设的斜率为k（k≠0），此时的方程为，‎ 由，得. ‎ 设，则. ‎ ‎∵拋物线E的准线方程为x=-2，‎ ‎∴‎ ‎∴，解得. ‎ 当时，化为. ‎ ‎∵，∴有两个不相等实数根.‎ ‎∴满足题意.‎ ‎∴存在满足要求的直线或直线. ‎ ‎21.解：（1）方程即为. ‎ 令，则. ‎ 令，则（舍），. ‎ 当x∈[1， 3]时，随x变化情况如表: ‎ x ‎1‎ ‎3‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ 极大值 ‎∴当x∈[1，3]时，. ‎ ‎∴m的取值范围是. ‎ ‎（2）据题意，得对恒成立.‎ 令，‎ 则. ‎ 令，则当x＞0时，， ‎ ‎∴函数在上递增. ‎ ‎∵，‎ ‎∴存在唯一的零点c∈（0，1），且当x∈（0，c）时，；当时，‎ ‎. ‎ ‎∴当x∈（0，c）时，；当时，. ‎ ‎∴在（0，c）上递减，在上递增，从而. ‎ 由得，即，两边取对数得，‎ ‎∴. ‎ ‎∴，即所求实数a的取值范围是. ‎ ‎22.解：（1）的普通方程为.‎ ‎∵曲线的极坐标方程为，‎ ‎∴曲线的普通方程为，即.‎ ‎（2）设为曲线上一点，‎ 则点到曲线的圆心的距离 ‎.‎ ‎∵，∴当时，d有最大值.‎ 又∵P，Q分别为曲线，曲线上动点，‎ ‎∴的最大值为.‎ ‎23.解：（1）因为，‎ 所以即为，整理得.‎ 讨论：‎ ‎①当时，，即，解得.‎ 又，所以.‎ ‎②当时，，即，解得.‎ 又，所以.‎ 综上，所求不等式的解集为.‎ ‎（2）据题意，得对任意恒成立，‎ 所以恒成立.‎ 又因为，所以.‎ 所以，解得.‎ 所以所求实数m的取值范围是.‎