【数学】2018届一轮复习人教A版变化率与导数、导数的计算学案 7页

‎　‎ ‎1.了解导数概念的实际背景．‎ ‎2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．‎ ‎3．能根据导数定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数．‎ ‎4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数的求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．‎ 知识点一 导数的概念 ‎ ‎1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率______________＝__________为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝__________________.‎ ‎2．导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点________处的__________(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为________________．‎ ‎3．函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝__________________为f(x)的导函数．‎ 答案 ‎1. 　 ‎2．P(x0，y0)　切线的斜率　y－y0＝f′(x0)(x－x0)‎ ‎3. ‎1．函数f(x)＝x2在区间[1,2]上的平均变化率为________，在x＝2处的导数为________．‎ 解析：函数f(x)＝x2在区间[1,2]上的平均变化率为＝3，在x＝2处的导数为f′(2)＝2×2＝4.‎ 答案：3　4‎ ‎2．某质点的位移函数是s(t)＝2t3－gt2(g＝‎10 m/s2)，则当t＝2 s时，它的加速度是(　　)‎ A．‎14 m/s2 B．‎4 m/s2‎ C．‎10 m/s2 D．－‎4 m/s2‎ 解析：由v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，得t＝2时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．‎ 答案：A ‎3．(2016·新课标全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．‎ 解析：当x>0时，－x<0，则f(－x)＝ex－1＋x.又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝＋x，所以当x>0时，f′(x)＝ex－1＋1，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.‎ 答案：y＝2x 知识点二 导数的运算 ‎ ‎1．几种常见函数的导数 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数)‎ f′(x)＝____‎ f(x)＝xn(n∈Q*)‎ f′(x)＝______‎ f(x)＝sinx f′(x)＝______‎ f(x)＝cosx f′(x)＝______‎ f(x)＝ax f′(x)＝______‎ f(x)＝ex f′(x)＝______‎ f(x)＝logax(a>0，a≠1，x>0)‎ f′(x)＝______‎ f(x)＝lnx(x>0)‎ f′(x)＝______‎ ‎2.导数的运算法则 ‎(1)[f(x)±g(x)]′＝________________；‎ ‎(2)[f(x)·g(x)]′＝____________________；‎ ‎(3)′＝____________________(g(x)≠0)．‎ ‎3．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝____________，即y对x的导数等于______的______与______的导数的乘积．‎ 答案 ‎1．0　nxn－1　cosx　－sinx　axlna　ex　　 ‎2．(1)f′(x)±g′(x)‎ ‎(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　(3) ‎3．yu′·ux′　y对u　导数　u对x ‎4．(2016·天津卷)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．‎ 解析：f′(x)＝(2x＋3)ex，f′(0)＝3.‎ 答案：3‎ ‎5．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.‎ 解析：设ex＝t，则x＝lnt(t>0)，‎ ‎∴f(t)＝lnt＋t，∴f′(t)＝＋1，‎ ‎∴f′(1)＝2.‎ 答案：2‎ 热点一　导数的定义 ‎ ‎【例1】　用导数的定义求函数y＝3x＋2在点x0处的导数．‎ ‎【解】　f′(x0)＝ ‎＝ ＝3＝3.‎ ‎【总结反思】‎ 使用导数定义求导数或者证明一些问题时，要充分利用f′(x)＝ .‎ 已知f′(2)＝1，则 ＝________.‎ 解析： ‎＝－2 ‎＝－‎2f′(2)＝－2.‎ 答案：－2‎ 热点二 导数的运算 ‎ 考向1　运用导数公式求导数 ‎【例2】　分别求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝ex·cosx；‎ ‎(2)y＝x；‎ ‎(3)y＝x－sincos.‎ ‎【解】　(1)y′＝(ex)′cosx＋ex(cosx)′＝excosx－exsinx.‎ ‎(2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－.‎ ‎(3)∵y＝x－sincos＝x－sinx，‎ ‎∴y′＝′＝1－cosx.‎ 考向2　运用方程思想求导数 ‎【例3】　(2017·湖南十二校联考)若函数f(x)＝lnx－f′(－1)x2＋3x－4，则f ‎′(1)＝________.‎ ‎【解析】　因为f′(x)＝－‎2f′(－1)x＋3，‎ 所以f′(－1)＝－1＋‎2f′(－1)＋3，‎ 解得f′(－1)＝－2，所以f′(1)＝1＋4＋3＝8.‎ ‎【答案】　8‎ ‎【总结反思】‎ ‎(1)求导之前，应利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；‎ ‎(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量.‎ 已知f(x)＝x2＋2xf′(2 016)＋2 016lnx，则f′(2 016)＝________.‎ 解析：由题意得f′(x)＝x＋‎2f′(2 016)＋，所以f′(2 016)＝2 016＋‎2f′(2 016)＋，即f′(2 016)＝－(2 016＋1)＝－2 017.‎ 答案：－2 017‎ 热点三 导数的几何意义 ‎ 考向1　已知切点求切线方程 ‎【例4】　(2016·新课标全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．‎ ‎【解析】　由题意可得当x>0时，f(x)＝lnx－3x，则f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，则在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.‎ ‎【答案】　y＝－2x－1‎ 考向2　未知切点求切线方程 ‎【例5】　(1)与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是(　　)‎ A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0‎ C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0‎ ‎(2)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为(　　)‎ A．x＋y－1＝0 B．x－y－1＝0‎ C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0‎ ‎【解析】　(1)对y＝x2求导得y′＝2x.设切点坐标为(x0，x)，则切线斜率为k＝2x0.‎ 由2x0＝2得x0＝1，故切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.‎ ‎(2)∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xlnx上，‎ ‎∴设切点为(x0，y0)，又∵f′(x)＝1＋lnx，‎ ‎∴解得x0＝1，y0＝0.‎ ‎∴切点为(1,0)，∴f′(1)＝1＋ln1＝1.‎ ‎∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.故选B.‎ ‎【答案】　(1)D　(2)B 考向3　与切线有关的参数问题 ‎【例6】　已知f(x)＝lnx，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m等于(　　)‎ A．－1 B．－3‎ C．－4 D．－2‎ ‎【解析】　∵f′(x)＝，‎ ‎∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1.‎ 又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.‎ g′(x)＝x＋m，‎ 设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)．‎ 则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m<0.‎ 于是解得m＝－2，故选D.‎ ‎【答案】　D ‎【总结反思】‎ ‎1．与切线有关问题的处理策略 ‎(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值，k＝f′(x0)．‎ ‎(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.‎ ‎(3)求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0))，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.‎ ‎2．根据导数的几何意义求参数的值的思路 一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解.‎ ‎(1)(2017·大同模拟)曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为(　　)‎ A．y＝3x－1 B．y＝－3x－1‎ C．y＝3x＋1 D．y＝－2x－1‎ ‎(2)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.‎ ‎(3)若直线y＝2x＋m是曲线y＝xlnx的切线，则实数m的值为________．‎ 解析：(1)由题意得y′＝(x＋1)ex＋2，则曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线的斜率为(0＋1)e0＋2＝3，故曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝3x，即y＝3x－1.‎ ‎(2)因为f′(x)＝3ax2＋1，所以图象在点(1，f(1))处的切线的斜率k＝‎3a＋1，所以切线方程为y－7＝(‎3a＋1)(x－2)，即y＝(‎3a＋1)x－‎6a＋5，又切点为(1，f(1))，所以f(1)＝‎3a＋1－‎6a＋5＝－‎3a＋6，又f(1)＝a＋2，所以－‎3a＋6＝a＋2，解得a＝1.‎ ‎(3)设切点为(x0，x0lnx0)，由y′＝(xlnx)′＝lnx＋x·＝lnx＋1，得切线的斜率k＝lnx0＋1，故切线方程为y－x0lnx0＝(lnx0＋1)(x－x0)，整理得y＝(lnx0＋1)x－x0，与y＝2x＋m比较得解得x0＝e，故m＝－e.‎ 答案：(1)A　(2)1　(3)－e ‎1．对函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．‎ ‎2．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．‎ ‎3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．‎