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- 2021-07-01 发布
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高二质量调研试题
数 学 2019.11
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.
注意事项:
1. 答卷前,考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用中性笔和2B铅笔分别涂写在答题卡上;
2. 将所有试题答案及解答过程一律填写在答题卡上.试题不交,只交答题卡.
第I卷(选择题共52分)
一、选择题:
(一)单项选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若,则下列不等式中不正确的是
A. B. C. D.
2.渐近线方程为的双曲线的离心率是
A. 2 B. C. 1 D.
3.若条件,条件,且是的充分不必要条件,则的取值范围是
A. [2,+∞) B. (-∞,2] C. [-2,+∞) D. (-∞,-2]
4.已知等差数列中,,前项的和,则前项和中
A. 前6项和最大 B. 前7项和最大
C. 前6项和最小 D. 前7项和最小
5.若关于的不等式的解集为,则的取值范围是
A. B. C. D.
6.已知等比数列,且,则的值为
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
7.过双曲线的左焦点作圆的切线,切点为,延长交双曲线右支于,若,则双曲线的渐近线为
A. B. C. D.
8.若不等式,(其中)的解集为,且这三个数可适当排序后构成等差数列,也可适当排序后构成等比数列,则的值等于
A.7 B.8 C.9 D.10
9.已知椭圆的左、右顶点分别为,点为椭圆上异于的一点,直线和直线的斜率之积为,则椭圆离心率为
A. B. C. D.
10.杨辉三角,又称帕斯卡三角,是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下,从左到右依次排列,得数列:1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1…….记作数列,若数列的前项和为,则
A. 265 B. 521 C. 1034 D. 2059
(二)多项选择题:本大题共3小题,每小题4分,共12分.在每小题给出的四个选项中,有两项或多项是符合题目要求的,全部选对得4分,部分选对得2分,错选得0分.
11.已知数列是是正项等比数列,且
,则的值可能是
A. B. C. D.
12.已知三个数成等比数列,则圆锥曲线
的离心率为
A. B. C. D.
13.已知各项均为正项的等比数列,,,其前和为,下列说明正确的是
A. 数列为等差数列
B. 若,则
C.
D. 记,则数列有最大值.
第II卷(非选择题 共98分)
三、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把正确答案填在答题纸给定的横线上.
14.已知命题,那么是 .
15.记等差数列的前项和为,,,则 .
16.已知,,若的最小值为3,则的值为 .
17.如图,过抛物线的焦点作直线,与抛物线及其准线分别交于三点,若,则直线的方程 ,线段 .
四、解答题:本大题共6小题,共82分,解答应写出文字说明、证明过程
18.(本小题满分12分)
已知数列的前项和为,且成等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足,求数列的前项和.
19.(本小题满分14分)
已知曲线上任意一点到点的距离比它到直线的距离小l, 已知过的两条直线的斜率之积为1,且分别交曲线于两点和两点,
(1)求曲线的方程;
(2)求的最小值.
20.(本小题满分14分)
已知数列是递增的等比数列,且,。
(1)求数列的通项公式;
(2)设为数列的前项和,,求数列的前项和.
21.(本小题满分14分)
已知,
(1)若时,当时, 求的最小值.
(2)求关于的不等式的解集.
22.(本小题满分14分)
某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”,规则如下:
①3小时以内(含3小时)为健康时间,玩家在这段时间内获得的累积经验值(单位:)与游玩时间(小时)满足关系式:;
②3到5小时(含5小时)为疲劳时间,玩家在这段时间内获得的经验值为0(即累积经验值不变);
③超过5小时为不健康时间,累积经验值开始损失,损失的经验值与不健康时间成正比例关系,比例系数为50.
(1)当时,写出累积经验值与游玩时间的函数关系式,并求出游玩6小时的累积经验值;
(2)该游戏厂商把累积经验值与游玩时间的比值称为“玩家愉悦指数”,记作;若,且该游戏厂商希望在健康时间内,这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24,求实数的取值范围.
23.(本小题满分14分)
已知椭圆 的一个顶点为,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点,过原点的直线交椭圆于两点.若,求证:为定值.
高二质量调研试题
数学参考答案
一、单项选择题: CBAAD DACCB 11.ABD 12.BC 13.ABD
二、填空题:14.15. 16. 17.,
三、解答题:
18.解:(1)由已知成等差数列得,… ① ……1分
当时,,∴, ………………………2分
当时,, … ②
由①─②得∴, ……………………………………5分
∴数列是以为首项,2为公比的等比数列,
∴. ………………………………………………6分
(2)由得, ……………………………7分
∴
………………………………………9分
.…………………………………………12分
19.解:(1)因为点到点的距离比它到直线的距离小l,
所以点到的距离与它到直线的距离相等,……………………2分
所以点的轨迹是以为焦点, 为准线的抛物线,
所以曲线的方程为. ………………………………………………4分
(2)由题意知,的斜率存在且均不为零,……………………………5分
设的方程为,
则由消去得,……………………7分
设,,则,. ………………8分
所以, ………………………………10分
因为直线的斜率之积为1,所以, ……………………12分
故.
当 时, 取得最小值16. ………………………………14分
20.解:(1)由题设可知, ………………………2分
又, 可解的或(舍去). ………………………4分
由得公比, ………………………………………………6分
故. ………………………………………………7分
(2),…………………………………8分
又,………………………………………12分
所以
. ………………………………………………14分
21.解:(1) 若时,
, ………………………………………………4分
当且仅当,即时取得等号. ………………………5分
故的最小值为4. …………………………………………6分
(2)①当时,不等式的解为. …………………………………7分
②当时,令解得. …9分
当时,, …………………………………………10分
解得.
当时,,不等式的解集为R.. …11分
当且时,由基本不等式得,
解得.…………………………13分
综上:当时,不等式解集为;
当时, 不等式解集为;
当时, 不等式的解集为R;
当且时,不等式的解集为.……………14分
22.解:(1),………………………4分
当时,, …………………………………………6分
(2)当时,, ………………………………8分
由题意, …………………………………………9分
①, ………………………………………11分
②, …………………………………………13分
综上,. ……………………………………………………14分
23. 解:(1) 依题意,. ………………………………………1分
由,得, ………………………………………3分
所以椭圆的方程为.………………………………………………4分
(2)①当直线的斜率不存在时,
易求,,则.…………………………………5分
②当直线的斜率存在时,设直线的斜率为,依题意,
则直线的方程为,直线的方程为.…………………6分
设,,,,
由 得,…………………………8分
则,,
. ………………………………10分
由 整理得,则.
, ……………………………………13分
所以.
综合①,②,为定值. ……………………………………14分