数学理卷·2017届山东省滨州市高三上学期期末联考（2017 13页

‎ ‎ 高三数学（理科）试题 第Ⅰ卷（共50分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知复数（为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面上所对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.设随机变量服从正态分布，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影为（ ）‎ A．1 B． C. D．‎ ‎6.“”是“函数在区间上为增函数”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ A．2017 B．2 C. D．‎ ‎8.要得到函数的图象， 只需将函数的图象（ ）‎ A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 ‎ C.向右平移个单位 D．向右平移个单位 ‎9.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线所围成的三角形的面积为2，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.已知函数，则函数的零点个数为（ ）‎ 第Ⅱ卷（共100分）‎ 二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）‎ ‎11.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到的数据如下表：‎ 收入（万元）‎ 支出（万元）‎ 根据上表可得回归直线方程，其中，，据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为 万元．‎ ‎12.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．‎ ‎13.若的展开式中常数项是60，则实数 ．‎ ‎14.已知直线经过圆的圆心，则的最小值为 ．‎ ‎15.设函数，则不等式的解集是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎16.（本小题满分12分）‎ 在中，角的对边分别为，已知.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若，求的周长的取值范围.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，为的中点，平面，且.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）已知，求平面与平面所成的角（锐角）的大小.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 某小组共7人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为2，2，3，现从这7人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.‎ ‎（Ⅰ）设为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件发生的概率；‎ ‎（Ⅱ）设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知等差数列中，，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列满足：，求数列的前项和.‎ ‎20.（本小题满分13分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）对任意的，，恒有，求正实数的取值范围.‎ ‎21.（本小题满分14分）‎ 已知，，成等差数列，记对应点的轨迹是.‎ ‎（Ⅰ）求轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线交于不同的两点，，与圆相切于点.‎ ‎（i）证明：（为坐标原点）；‎ ‎（ii）设，求实数的取值范围.‎ 高三数学（理科）试题参考答案 一、选择题 ‎1-5:CADCC 6-10:ADBDD 二、填空题 ‎11. 12. 13. 14.1 15.‎ 三、解答题 ‎16.解：（Ⅰ）因为，‎ 由正弦定理得，，……………………1分 即.…………………………2分 所以，，‎ 又，…………………………6分 所以 ‎……………………7分 ‎……………………8分 ‎.………………………………9分 因为，‎ 所以，……………………………………10分 所以，‎ 即（当时，等号成立）.………………11分 所以的周长的取值范围是.………………12分 法二：由已知得，，.………………5分 由余弦定理得 ‎…………………………6分 ‎……………………………………7分 ‎.………………8分 当且仅当时，等号成立……………………9分 所以，‎ 所以，…………………………10分 又，‎ 所以，……………………11分 所以的周长的取值范围为.………………12分 ‎17.解：（Ⅰ）证明：取的中点，连接，.…………1分 又为的中点，‎ 所以，且.…………………………2分 又因为，且，‎ 所以，且，……………………3分 所以四边形为平行四边形.‎ 所以.…………………………4分 又平面，平面，‎ 所以平面.………………………………5分 ‎（Ⅱ）解法一：如图，在平面内过点作，‎ 以点为原点，分别以直线，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ 所以，.…………6分 设平面的法向量为，则 ‎，所以，…………………………7分 所以，………………………………8分 令，则，，‎ 即.…………………………9分 又因为平面，‎ 所以是平面的一个法向量.………………10分 所以.……………………11分 所以平面与平面所成的角（锐角）的大小为.………………12分 解法二：如图，‎ 延长交的延长线于，连结，‎ 由题意知，平面平面，…………6分 因为，且，所以，‎ 又因为，‎ 所以，‎ 所以，即.……………………8分 又平面，且平面，‎ 所以，‎ 又平面，平面，，‎ 所以平面，………………………………9分 又平面，所以，……………………10分 所以就是所求的平面与平面所成的角（锐角）的平面角.……11分 因为，且，所以.‎ 所以平面与平面所成的角（锐角）的大小为.………………12分 ‎18.解：（Ⅰ）由已知，有.…………………………4分 所以，事件发生的概率为.……………………………………5分 ‎（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为0，1，2.……………………6分 ‎，……………………………………7分 ‎，……………………………………8分 ‎．………………………………9分 所以，随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 随机变量的数学期望．………………12分 ‎19.解：（Ⅰ）设数列的公差为，‎ 因为，‎ 所以，，…………1分 又，‎ 所以．……………………2分 所以数列的通项公式为．………………3分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知．①‎ 所以，当时，，即．…………………………4分 当时，．②……5分 ‎①式减去②式，得．‎ 所以．……………………………………6分 又也符合上式，‎ 所以．…………………………………………7分 所以，③‎ 所以，④……8分 ‎③式减去④式，得 ‎…………………………9分 ‎…………………………………………10分 ‎．……………………………………11分 所以．………………………………12分 ‎20.解：（Ⅰ）函数的定义域为，‎ ‎．………………1分 由，得或．‎ ‎（1）当，即时，‎ 由得，得，‎ 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．……2分 ‎（2）当，即时，‎ 由得，或，由得，‎ 函数在区间和上分别单调递增，在区间上单调递减．……3分 ‎（3）当即时，在上恒成立，‎ 函数在区间上单调递增．…………………………4分 ‎（4）当，即时，‎ 由得，或，由得，‎ 函数在区间和上分别单调递增，在上单调递减．……5分 综上所述，‎ 当时，函数在区间上单调递增，在上单调递减；‎ 当时，函数在区间和上分别单调递增，在区间上单调递减．‎ 当时，函数在区间上单调递增；‎ 当时，函数在区间和上分别单调递增，在上单调递减．……6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递减，‎ 不妨令，则，且，‎ 所以可化为，……7分 即对任意的，恒成立．……8分 令，，‎ 则在上单调递增，…………………………9分 即对任意，恒成立，‎ 即，‎ 化简得，‎ 即在上恒成立，………………10分 因为，所以，‎ 所以在上是常函数或者单调递减函数，‎ 所以只需，‎ 即对任意的恒成立．………………11分 令，，‎ 显然，在上恒成立，‎ 所以，函数在上为减函数，……………………12分 所以，只需，得，‎ 所以的取值范围是．………………13分 ‎21.解：（Ⅰ）由题意，得，……1分 所以对应点的轨迹是以，为焦点，为长轴长的椭圆．……2分 因为焦点在轴上，所以设椭圆的方程为，设椭圆的焦距为．‎ 所以，解得．………………………………3分 所以椭圆的方程为，………………………………4分 ‎（Ⅱ）（i）因为直线与圆相切，‎ 所以，即．……………………5分 由消去并整理得，，‎ 又 ‎，‎ 设，，则 ‎，…………………………7分 所以 ‎．‎ 所以．……………………………………9分 ‎（ii）因为直线与椭圆交于不同的两点，‎ 所以，，‎ 所以．…………11分 由（Ⅱ）（i）知：，‎ 所以，即，‎ 所以．…………………………13分 因为，‎ 所以的取值范围是．…………………………14分