2020-2021学年高一数学上册课时同步练：函数的应用（一） 6页

第三单元 函数 第 25 课 函数的应用（一） 一、基础巩固 1．某厂日产手套的总成本 y(元)与日产量 x(双)之间的关系为 y＝5x＋40 000.而手套出厂价格为每 双 10 元，要使该厂不亏本至少日产手套( ) A．2 000 双 B．4 000 双 C．6 000 双 D．8 000 双 【答案】D 【解析】由 5x＋40 000≤10x，得 x≥8 000，即日产手套至少 8 000 双才不亏本． 2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图像如下图所示，由 图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( ) A．310 元 B．300 元 C．290 元 D．280 元 【答案】B 【解析】设函数解析式为 y＝kx＋b(k≠0)， 函数图像过点(1,800)，(2,1 300)， 则   k＋b＝800， 2k＋b＝1 300， 解得   k＝500， b＝300， ∴y＝500x＋300，当 x＝0 时，y＝300. ∴营销人员没有销售量时的收入是 300 元． 3 ． 某 公 司 招 聘 员 工 ， 面 试 人 数 按 拟 录 用 人 数 分 段 计 算 ， 计 算 公 式 为 ： y ＝    4x，1≤x<10，x∈N*， 2x＋10， 10≤x<100，x∈N*， 1.5x，x≥100，x∈N*. 其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数．若应聘的面试人数为 60，则该公司拟录用人数为( ) A．15 B．40 C．25 D．130 【答案】C 【解析】令 y＝60. 若 4x＝60，则 x＝15>10，不合题意； 若 2x＋10＝60，则 x＝25，满足题意； 若 1.5x＝60，则 x＝40<100，不合题意． 故拟录用 25 人． 4 ． 商 店 某 种 货 物 的 进 价 下 降 了 8% ， 但 销 售 价 不 变 ， 于 是 这 种 货 物 的 销 售 利 润 率  销售价－进价 进价 ×100% 由原来的 r%增加到(r＋10)%，则 r 的值等于( ) A．12 B．15 C．25 D．50 【答案】B 【解析】设原销售价为 a，原进价为 x，可以列出方程组：   a－x x ×100%＝ r 100， a－x1－8% x1－8% ×100%＝10＋r 100 ， 解这个方程组，消去 a，x，可得 r＝15. 5．一个人以 6 m/s 的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车 25 m 时，交通灯由红变绿，汽 车以 1 m/s2 的加速度匀加速开走，那么( ) A．此人可在 7 s 内追上汽车 B．此人可在 10 s 内追上汽车 C．此人追不上汽车，其间距最少为 5 m D．此人追不上汽车，其间距最少为 7 m 【答案】D 【解析】设汽车经过 t s 行驶的路程为 s m，则 s＝1 2t2，车与人的间距 d＝(s＋25)－6t＝1 2t2－6t＋25 ＝1 2(t－6)2＋7.当 t＝6 时，d 取得最小值 7. 6．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间 t(单位：天)的函数．日 销售量为 f(t)＝2t＋100，价格为 g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额 S(单位：元)与时间 t 的函数解析式 为________． 【答案】S(t)＝2t2＋108t＋400，t∈N 【解析】日销售额＝日销售量×价格，故 S＝f(t)×g(t)＝(2t＋100)×(t＋4)＝2t2＋108t＋400，t∈N. 7．把长为 12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最 小值是________cm2. 【答案】2 3 【解析】设一个三角形的边长为 x cm，则另一个三角形的边长为(4－x)cm，两个三角形的面积和 为 S＝ 3 4 x2＋ 3 4 (4－x)2＝ 3 2 (x－2)2＋2 3≥2 3， 这两个正三角形面积之和的最小值是 2 3 cm2. 8．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过 800 元的不纳税；超过 800 元而不超过 4 000 元的按超 出 800 元部分的 14%纳税；超过 4 000 元的按全稿酬的 11.2%纳税．某人出版了一本书共纳税 420 元， 这个人的稿费为________元． 【答案】3 800 【解析】若这个人的稿费为 4 000 元时，应纳税(4 000－800)×14%＝448(元)． 又∵420＜448，∴此人的稿费应在 800 到 4 000 之间，设为 x，∴(x－800)×14%＝420，解得 x＝3 800 元． 9．某校校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游．甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则 其余学生可享受半价优惠”．乙旅行社说：“包括校长在内，全部按票价的 6 折(即按全票价的 60%收费) 优惠”．若全票价为 240 元． (1)设学生数为 x 人，甲旅行社收费为 y 甲元，乙旅行社收费为 y 乙元，分别写出两家旅行社的收费 y 甲，y 乙与学生数 x 之间的解析式； (2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？ (3)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠？ 【答案】（1）y 乙＝144(x＋1)(x∈N＋)；（ 2）一样；（3）当 x<4 时，乙旅行社更优惠 【解析】(1)y 甲＝120x＋240(x∈N＋)， y 乙＝(x＋1)×240×60%＝144(x＋1)(x∈N＋)． (2)由 120x＋240＝144x＋144，解得 x＝4，即当学生数为 4 人时，两家旅行社的收费一样． (3)当 x<4 时，乙旅行社更优惠；当 x>4 时，甲旅行社更优惠． 10．一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别是 40 cm 与 60 cm，现在将它剪成一个矩形， 并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪才能使剩下的残料最少？并求出此时残料的面积． 【答案】600 cm2 【解析】设直角三角形为△ABC，AC＝40，BC＝60，矩形为 CDEF，如图所示，设 CD＝x，CF ＝y，则由 Rt△AFE∽Rt△EDB 得AF ED＝FE BD，即40－y y ＝ x 60－x，解得 y＝40－2 3x， 记剩下的残料面积为 S，则 S＝1 2×60×40－xy＝2 3x2－40x＋1 200＝2 3(x－30)2＋600(0＜x＜60)， 故当 x＝30 时，Smin＝600，此时 y＝20， 所以当 x＝30，y＝20 时，剩下的残料面积最少为 600 cm2. 二、拓展提升 11．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线 y＝f(x)，另 一种是平均价格曲线 y＝g(x)，如 f(2)＝3 表示股票开始买卖后 2 小时的即时价格为 3 元；g(2)＝3 表示 2 小时内的平均价格为 3 元．下面给出了四个图像，实线表示 y＝f(x)，虚线表示 y＝g(x)，其中可能正 确的是( ) 【答案】 C 【解析】根据即时价格与平均价格的相互依赖关系，可知，当即时价格升高时，对应平均价格也 升高；反之，当即时价格降低时，对应平均价格也降低，故选项 C 中的图像可能正确． 12．一个体户有一批货，如果月初售出可获利 100 元，再将本利都存入银行，已知银行月息为 2.4%. 如果月末售出，可获利 120 元，但要付保管费 5 元．这位个体户为获利最大，则这批货( ) A．月初售出好 B．月末售出好 C．月初或月末售出一样 D．由成本费的大小确定 【答案】D 【解析】设这批货物成本费为 x 元，若月初售出时，到月末共获利为 100＋(x＋100)×2.4%； 若月末售出时，可获利为 120－5＝115(元)． 可得 100＋(x＋100)×2.4%－115＝2.4%×(x－525)． ∴当成本费大于 525 元时，月初售出好；当成本费小于 525 元时，月末售出好；当成本费等于 525 元时，月初或月末售出均可． 13．已知直角梯形 ABCD，如图(1)所示，动点 P 从点 B 出发，由 B→C→D→A 沿边运动，设点 P 运动的路程为 x，△ABP 的面积为 f(x)．如果函数 y＝f(x)的图像如图(2)所示，则△ABC 的面积为 ________． (1) (2) 【答案】16 【解析】由题图可知 BC＝4，CD＝5，DA＝5， 所以 AB＝5＋ 52－42＝5＋3＝8. 所以 S△ABC＝1 2×8×4＝16. 14．如图所示，在矩形 ABCD 中，已知 AB＝13，BC＝3，在 AB，AD，CD，CB 上分别截取 AE， AH，CG，CF，且 AE＝AH＝CG＝CF＝x，则 x＝________时，四边形 EFGH 的面积最大，最大面积 为________． 【答案】3 30 【解析】设四边形 EFGH 的面积为 S，则 S＝13×3－2 1 2x2＋1 213－x3－x ＝－2x2＋16x＝－2(x－4)2＋32，x∈(0,3]． 因为 S＝－2(x－4)2＋32 在(0,3]上是增函数， 所以当 x＝3 时，S 有最大值为 30. 15．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题 所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态； 随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用 f(x)表示学生接受概念的能力(f(x)的值愈大，表 示接受的能力愈强)，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式 f(x)＝    －0.1x2＋2.6x＋430