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- 2021-07-01 发布
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江西省吉安市重点高中2018-2019学年高二5月联考数学(文)试题
评卷人
得分
一、单选题
1.设全集为,集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出集合和,由此能求出 ().
【详解】
集合== ,集合,全集为,所以 = ,
所以()=
故选:D
【点睛】
本题考查集合的交集、补集的求法,属于基础题,
2.已知复数,则( )
A. B. C. D.1
【答案】C
【解析】
【分析】
把复数带入式子,化简,最后计算模长.
【详解】
已知复数,则
故答案选C
【点睛】
本题考查了复数的计算与模长,属于简单题.
3.命题“存在,使得”的否定是( )
A.对任意,都有 B.不存在,使得
C.对任意,都有 D.存在,使得
【答案】C
【解析】
【分析】
命题的否定,对结论进行否定,并改变特称连词和全称量词.
【详解】
存在,使得
命题的否定为:对任意,都有
答案选C
【点睛】
本题考查了命题的否定,特称连词和全称量词的变换是容易错误的点.
4.在中,若,则等于( )
A.或 B.或 C.或 D.或
【答案】D
【解析】
【分析】
利用正弦定理直接计算得到答案.
【详解】
在中,若
根据正弦定理:
或
故答案选D
【点睛】
本题考查了正弦定理,属于简单题.
5.执行如图的程序框图,如果输入的的值是,那么输出的的值是( )
A.15 B.105 C.120 D.720
【答案】B
【解析】
试题分析:第一次进行循环体后,,满足继续循环的条件,则,;当时,满足继续循环的条件,则,;当时,满足继续循环的条件,则,;当时,不满足继续循环的条件,故输出的的值是.故答案为B.
考点:程序框图.
【方法点晴】本题考查的知识点是程序框图,属于高考中的高频考点,当循环的次数不多时,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答,当循环次数较多时,应找到其规律,按规律求解.由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.
6.用反证法证明命题:“三角形三个内角至少有一个大于或等于”时,应假设( )
A.三个内角都小于60° B.三个内角都大于或等于60°
C.三个内角至多有一个小于60° D.三个内角至多有两个大于或等于60°
【答案】A
【解析】
分析:写出原结论的命题否定即可得出要假设的命题.
详解:原命题的否定为:三角形三个内角都小于60°,故选A.
点睛:本题考查了反证法与命题的否定,属于基础题.
7.甲、乙两人参加一次考试,他们合格的概率分别为,,那么两人中恰有1人合格的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将两人中恰有1人合格分为:甲合格乙不合格,乙合格甲不合格两种情况,概率相加得到答案.
【详解】
将两人中恰有1人合格分为:甲合格乙不合格,乙合格甲不合格两种情况
故答案选B
【点睛】
本题考查了概率的计算,意在考查学生的计算能力.
8.已知等比数列的首项,公比为,前项和为,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由S3+S5>2S4,可得a5>a4,且,得,分q>1或两种请况,即可得答案.
【详解】
由S3+S5>2S4,可得a5>a4,由等比数列的通项公式得 ,且,所以,得q>1或∴“q>1”是“S3+S5>2S4”的充分不必要条件.
故选:A.
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式及其性质、不等式的解法,属于基础题.
9.曲线作线性变换后得到的回归方程为,则函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析:令,对函数进行二次拟合得出a,b的值,代入计算即可.
详解:令
,解得,
,开口向上,
的单调递增区间为.
故选:D.
点睛:本题考查了非线性相关的二次拟合问题,选择对数变换是关键.
10.已知是定义域为的奇函数,当时,.若函数有2个不同的零点,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由转化为=,有两个交点,对在求导判断其单调性和求极值,且为奇函数即可得答案.
【详解】
当时,,对求导得 的根为1,所以在上递减,在上递增,且= .又因为为奇函数,所以在上递减,在上递增,且=,如图所示,由转化为=,有两个交点,所以或,即或 .
故选:D
【点睛】
本题考查了函数的零点转化为两函数的交点问题,也考查了求导判断函数的单调性与极值,属于中档题.
11.已知椭圆的右焦点为.短轴的一个端点为,直线交椭圆于两点.若,点到直线的距离不小于,则椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析:设是椭圆的左焦点,由于直线过原点,因此两点关于原点对称,从而是平行四边形,所以,即,,设,则,所以,,即,又,所以,.故选A.
考点:椭圆的几何性质.
【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围,因此要求得关系或范围,解题的关键是利用对称性得出就是,从而得,于是只有由点到直线的距离得出的范围,就得出的取值范围,从而得出结论.在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时,需要联想到椭圆的定义.
12.已知函数是定义域为,是函数的导函数,若,且,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
令,,则.因为,所以,所以函数在上单调递增.易得 ,因为函数的定义域为,所以,解得,所以不等式等价于,即.又,所以,所以等价于.因为函数在上单调递增,所以,解得,结合可得.故不等式的解集是.故选C.
第II卷(非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13.已知点,则它的极坐标是________.
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用极坐标公式得到答案.
【详解】
已知点,
则:
(在第四象限)
故答案为:
【点睛】
本题考查了极坐标与直角坐标的转换,属于简单题.
14.若,,且函数在处有极值,则的最小值等于________.
【答案】
【解析】
函数的导函数: ,
由函数的极值可得: ,解得: ,则:
,
当且仅当 时等号成立,
即的最小值等于 .
15.三棱锥中,平面,,,
,三棱锥的外接球的表面积为____________.
【答案】
【解析】
试题分析:
三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直,所以把它扩展为长方体,它也外接于球,对角线的长为球的直径,然后解答即可.
详解:如图,在△ABC中,由正弦定理得 ⇒sinC=,∵C<B,∴C=30°,∴A=90°,又∵PA⊥平面ABC,AP,AC,AB两两垂直,
故可将此三棱锥放入一个长、宽、高分别1,,2为的长方体内,三棱锥的四个顶点亦为长方体的顶点,其外接球为长方体外接球.
易得外接球半径为2,故外接球表面积为4πR2=16π.
故答案为:16π.
点睛:与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.
16.《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术,得诀自诩无所阻,额上纹起终不悟。”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:,,,……则按照以上规律,若,具有“穿墙术”,则_____.
【答案】9999
【解析】
分析:观察所告诉的式子,找到其中的规律,问题得以解决.
详解:,,,,
按照以上规律,可得.
故答案为:9999.
点睛:常见的归纳推理类型及相应方法
常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类:
(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等.
(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳.
评卷人
得分
三、解答题
17.已知公差不为0的等差数列中,且,,成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,求使的的最大值.
【答案】(1) (2)13
【解析】
【分析】
(1)直接利用等差数列等比数列公式计算得到答案.
(2)根据(1)将表示出来,利用裂项求和得到,最后解不等式得到答案.
【详解】
解:(1)设公差为,成等比,
(舍)或,
(2),
,
【点睛】
本题考查了等差数列等比数列基本公式,裂项求和,解不等式,综合性较强,属于常考题目.
18.如图,在边长为2的菱形中,,现将沿边折到的位置.
(1)求证:;
(2)求三棱锥体积的最大值.
【答案】(1)见解析;(2)1
【解析】
【分析】
(1)取的中点为,连接,由线面垂直的判定定理即可证出.
(2)由体积相等转化为即可求出.
【详解】
(1)如图所示,
取的中点为,连接,易得, ,又 面
(2)由(1)知 , = ,当时,的最大值为1.
【点睛】
本题考查了线面垂直的判定定理和等体积转化思想,属于基础题.
19.某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看2019年足球世界杯比赛的情况,从全校高三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查,情况如下表:
打算观看
不打算观看
女生
20
男生
25
(1)求出表中数据,;
(2)判断是否有99%的把握认为观看2019年足球世界杯比赛与性别有关;
(3)为了计算“从10人中选出9人参加比赛”的情况有多少种,我们可以发现它与“从10人中选出1人不参加比赛”的情况有多少种是一致的.现有问题:在打算观看2019年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三(5)班,现从中推选5人接受校园电视台采访,请根据上述方法,求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率.
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
附:.
【答案】(1)b=30,c=50(2)有99%的把握,(3)
【解析】
试题分析:(1)由分层抽样的概念得到参数值;(2)根据公式计算得到,再下结论;(3)根据古典概型的计算公式,列出事件的所有可能性,再得到4男一女的事件数目,做商即可.
解析:
(1)根据分层抽样方法抽得女生50人,男生75人,所以b=50-20=30(人),
c=75-25=50(人)
(2)因为,所以有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关.
(3)设5名男生分别为A、B、C、D、E,2名女生分别为a、b,由题意可知从7人中选出5人接受电视台采访,相当于从7人中挑选2人不接受采访,其中一男一女,所有可能的结果有{A,B}{A,C}{A,D}{A,E}{A,a}{A,b}{B,C}{B,D}{B,E}{B,a}{B,b}{C,D}{C,E}{C,a}{C,b}{D,E}{D,a}
{D,b}{E,a}{E,b}{a,b},共21种, 其中恰为一男一女的包括,{A,a}{A,b}{B,a}{B,b}{C,a}{C,b}{D,a}{D,b}{E,a}{E,b},共10种.
因此所求概率为
20.在平面直角坐标系中,直线过点且与直线垂直,直线与轴交于点,点与点关于轴对称,动点满足.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)过点不平行轴的直线与轨迹相交于,两点,设点,直线,,的斜率分别为,,,问是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1) (2)见解析
【解析】
【分析】
(1)计算直线方程,得到坐标,直接利用椭圆定义得到轨迹方程.
(2)设出坐标和直线,联立椭圆方程,利用韦达定理得到坐标关系,代入斜率公式计算得到答案.
【详解】
解:(1),,
动点满足,轨迹为椭圆.
(2)设,,
恒成立.
,
【点睛】
本题考查了轨迹方程,直线与椭圆的位置关系,计算量大,综合性强,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
21.已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)在区间递增,在区间递减 (2)
【解析】
试题分析:(1)时,,
,时;时,
函数在区间递增,在区间递减.
(2)由已知得时,恒成立, 即时,恒成立。
设,,
时,,在区间递减,时,,故;
时,若,则,函数在区间递增,
若,即时,在递增,则,矛盾,故舍去;
若,即时,在递减,在递增,且时,,矛盾,故舍去.
综上,.
考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
点评:本题考查函数的单调性,考查导数知识的运用,考查分类讨论的数学思想,属于中档题.
22.在极坐标系中,曲线的方程为,点,以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.
(1)求直线的参数方程的标准式和曲线的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线交于、两点,求的值.
【答案】(1)(为参数),;(2).
【解析】
试题分析:(1)利用条件,求得直线的参数方程,把曲线的方程为化为直角坐标方程; (2)联立方程,借助韦达定理,表示目标,得到结果.
试题解析:(1)∵化为直角坐标可得,,
∴直线的参数方程为:
∵,
∴曲线的直角坐标方程:,得:,
∴,,
∴.
考点:极坐标和参数方程等有关知识的综合运用.
23.已知函数,不等式的解集为.
(1)求实数的值;
(2)若对一切实数恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
分析:(1)去掉绝对值,求出x的范围,根据不等式的解集,得到对应关系,求出a的值即可;
(2)根据绝对值的性质求出f(x)+f(x+5)的最小值,得到关于m的不等式,解出即可.
详解:
(1)由,得,∴,
又的解集为.解得:;
(2).
又对一切实数x恒成立,
点睛:本题考查了解绝对值不等式问题,考查绝对值三角不等式的性质,是一道中档题.