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- 2021-07-01 发布
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1、如果方程cos2x－sinx＋a＝0在(0，]上有解，求a的取值范围．
因此f(t)＝0在(0,1]上有解等价于
即所以－10)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
(1)若＝6，求k的值；
(2)求四边形AEBF面积的最大值．
解 (1)依题意得椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k>0)．如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x10)，即当k＝时，上式取等号．
所以S的最大值为2.
即四边形AEBF面积的最大值为2.
5．设a，b∈R且b≠0，若复数(a＋bi)3是实数，则a、b满足的关系式为________．
【答案】b2＝3a2
【解析】(a＋bi)3＝(a＋bi)2(a＋bi)
＝a3＋3a2bi－3ab2－b3i
＝(a3－3ab2)＋(3a2b－b3)i，
因(a＋bi)3是实数且b≠0，
所以3a2b－b3＝0⇒b2＝3a2.
6．满足条件AB＝2，AC＝BC的三角形ABC的面积的最大值是________．
【答案】2
【解析】可设BC＝x，则AC＝x，
根据面积公式得S△ABC＝x，
由余弦定理计算得cosB＝，
代入上式得S△ABC＝x
＝.
由得2－21，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a,2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax＋logay＝c，这时，a的取值的集合为________．
【答案】{2}
8．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a
的取值范围为________．
【答案】[1，＋∞)
【解析】以AB为直径的圆的方程为x2＋(y－a)2＝a，
由
得y2＋(1－2a)y＋a2－a＝0.
即(y－a)[y－(a－1)]＝0，
则由题意得解得a≥1.
9．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．
【答案】{x|－70，∵x≥0时，f(x)＝x2－4x，∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x，又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴x<0时，f(x)＝x2＋4x，故有f(x)＝再求f(x)<5的解，由得0≤x＜5；由得－5b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
解 (1)由题意得解得b＝.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则x1＋x2＝，
x1x2＝.
所以MN＝
＝
＝.
又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离
d＝，
所以△AMN的面积为
S＝MN·d＝.
由＝，解得k＝±1.
所以，k的值为1或－1.
13．设关于θ的方程cosθ＋sinθ＋a＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.
(1)求实数a的取值范围；
(2)求α＋β的值．
14．设有函数f(x)＝a＋和g(x)＝x＋1，已知x∈[－4,0]时恒有f(x)≤g(x)，求实数a的取值范围．
15. 已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
解 (1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，
当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，
∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；
当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－或x>，
由f′(x)<0，解得－0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调减区间为(－，)．
(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，
16.已知实数x，y满足则的最大值为________．
【答案】2
【解析】画出不等式组
对应的平面区域Ω为图中的四边形ABCD，＝表示的平面区域Ω上的点P(x，y)与原点的连线的斜率，显然OA的斜率最大．
17.已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值．
解
18．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m,0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系．
解 (1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，
由题意得4＋＝5，所以p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2)由题意知，圆M的圆心为点(0,2)，半径为2.
当m＝4时，直线AK的方程为x＝4，
此时，直线AK与圆M相离；
当m≠4时，由(1)知A(4,4)，
则直线AK的方程为y＝(x－m)，
即4x－(4－m)y－4m＝0，
圆心M(0,2)到直线AK的距离
d＝，
令d>2，解得m>1.
所以，当m>1时，直线AK与圆M相离；
当m＝1时，直线AK与圆M相切；
当m<1时，直线AK与圆M相交．
19．设关于x的函数y＝2cos2x－2acosx－(2a＋1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)＝的a的值，并求此时函数的最大值．
20．已知a是实数，函数f(x)＝(x－a)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设g(a)为f(x)在区间[0,2]上的最小值．
①写出g(a)的表达式；
②求a的取值范围，使得－6≤g(a)≤－2.
解 (1)函数的定义域为[0，＋∞)，
f′(x)＝＋＝(x>0)．
21.已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(4－an)qn－1 (q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.
解 (1)设数列{an}的公差为d，
由已知，得解得
故an＝3－(n－1)＝4－n.
(2)由(1)可得bn＝n·qn－1，
于是Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1.
若q≠1，将上式两边同时乘以q，得
qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn.
两式相减，得(q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－…－qn－1
＝nqn－＝.
于是，Sn＝.
若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.
综上，Sn＝
22.设F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且PF1＞PF2，求的值．
23.已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]上有最大值2，求a的值．
解 函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a
＝－(x－a)2＋a2－a＋1，
对称轴方程为x＝a.
(1)当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，
∴1－a＝2，∴a＝－1.
(2)当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，
∴a2－a＋1＝2，∴a2－a－1＝0，
∴a＝(舍)．
(3)当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2.
综上可知，a＝－1或a＝2.
24.设集合A＝{x∈R|x2＋4x＝0}，B＝{x∈R|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B⊆A，求实数a的值．
解 ∵A＝{0，－4}，B⊆A，于是可分为以下几种情况．
(1)当A＝B时，B＝{0，－4}，
∴由根与系数的关系，得解得a＝1.
(2)当BA时，又可分为两种情况．
①当B≠∅时，即B＝{0}或B＝{－4}，
当x＝0时，有a＝±1；
当x＝－4时，有a＝7或a＝1.
又由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，
解得a＝－1，此时B＝{0}满足条件；
②当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，
解得a<－1.
综合(1)(2)知，所求实数a的取值为a≤－1或a＝1.
25．f(x)＝x3－x，x1，x2∈[－1,1]时，求证：|f(x1)－f(x2)|≤.
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