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- 2021-07-01 发布
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压轴题高分策略之解三角形中的不等问题
【知识梳理】
1、正弦定理:,其中为外接圆的半径
正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边,或是角的正弦值是否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边,否则不可行
例如:(1)
(2)(恒等式)
(3)
2、余弦定理:
变式: 此公式在已知的情况下,配合均值不等式可得到和的最值
3、三角形面积公式:
(1) (为三角形的底,为对应的高)
(2)
(3)(其中为外接圆半径)
4、三角形内角和:,从而可得到:
(1)正余弦关系式:
(2)在已知一角的情况下,可用另一个角表示第三个角,达到消元的目的
5、两角和差的正余弦公式:
6、辅助角公式:,其中
7、三角形中的不等关系
(1)任意两边之和大于第三边:在判定是否构成三角形时,只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可。由于不存在等号成立的条件,在求最值时使用较少
(2)在三角形中,边角以及角的三角函数值存在等价关系:
其中由利用的是余弦函数单调性,而仅在一个三角形内有效。
8、解三角形中处理不等关系的几种方法
(1)转变为一个变量的函数:通过边角互化和代入消元,将多变量表达式转变为函数,从而将问题转化为求函数的值域
(2)利用均值不等式求得最值
【典例1】【2015,新课标I】在平行四边形中,,,则的取值范围是_______
【答案】
【解析】
延长交于点,则在中,
设,则由正弦定理可得设,则由正弦定理:可得:,整理后可得:,所以 ,由可知,所以
【典例2】【2016江苏高三第一次联考】在中,是的中点,边(含端点)上存在点,使得,则的取值范围是_______
【答案】
【解析】
【方法二】(向量法)
以为原点,直线为轴建系,则,设,
由和可得
【典例3】【2014,新课标全国卷I】已知分别为三个内角的对边,且,则面积的最大值为_______
【答案】
【解析】由正弦定理可得:
且
即
【典例4】【2014,重庆】已知的内角满足,面积满足,记分别是所对的边,则下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
【审题指导】本题需判断的式子比较多,先从条件出发向所求靠拢。化简已知条件可得,即,联想到面积公式及可得:,从而可用进行表示求出范围,另一方面可由,利用不等式的传递性即可求出的范围
【答案】A
【解析】
即
由正弦定理可得:
所以由可得:
,所以均不正确
正确
同理 ,不正确
【变式训练】
1. 设的内角所对的边为,若成等比数列,则的取值范围是
______________
【答案】
【解析】由成等比数列可得:,也可视为 ,所求表达式也可视为。如果从角入手,则无法与联系。所以考虑从边入手。由可得:,在中,若 ,则,所以,即,同理,若,则,解得:。综上
2. 若的内角满足,则的最小值是
【答案】
2. 在中,角所对的边分别为,已知
(1)求的大小
(2)若,求的取值范围
【解析】
(1)由条件可考虑使用正弦定理,将分子进行“边化角”
(2)思路:考虑在中,已经已知,从而可求出外接圆半径,进而与也可进行边角互化。若从边的角度考虑,则能够使用的不等关系只有“两边之和大于第三边”,但不易利用 这个条件,考虑利用角来解决
解:
【一题多解】
在锐角中,角所对的边分别为,且
(1)求角
(2)求的取值范围
【解析】
(1)
【方法一】使用余弦定理
由余弦定理得:
【方法二】观察等式齐次,考虑使用正弦定理
【思路点拨】要注意对锐角三角形条件的运用:三个角均为锐角,而用代换,所以满足锐角的条件也由来承担,这也是在利用等式消元时所要注意的一点:若被消去的元带有范围,则这个范围由主元承担。