数学文卷·2017届江西省临川学校高三第一次模拟考试（2017 10页

江西省临川实验学校2017届高三第一次模拟考试 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则集合中元素的个数为（ ）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎2.已知(其中为的共轭复数，为虚数单位)，则复数的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.若，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.已知双曲线的渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.某篮球运动员在最近5场比赛中所得分数分别为12，，8，15，23，其中,若该运动员在这5场比赛中得分的中位数为12,则得分的平均数不可能为（ ）‎ A． B． C． D．14‎ ‎6.函数的图象可能是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知为不同的平面，为不同的直线，则的一个充分条件是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎8.已知变量满足则的最大值是（ ）‎ A． B．3 C． D．‎ ‎9.如图给出的是计算的值的一个程序框图，则判断框内可以填入的条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.设函数，把的图象向左平移个单位后，得到的部分图象如图所示，则的值等于（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 设函数 (其中为自然对数的底数，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知两个单位向量互相垂直，且向量，则 ．‎ ‎14.我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理):“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积.意思是:如果两等高的几何体在同高处截得的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个不规则的封闭图形，图2是一个上底为1的梯形，且当实数取上的任意值时，直线被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为 ．‎ ‎15. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为 ．‎ ‎16.已知的内角的对边分别为，若，则的取值范围为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列，是其前项和，且满足.‎ ‎（1）求证:数列是等比数列；‎ ‎（2）设，且为数列的前项和，求数列的前项和.‎ ‎18.某市为评选“全国卫生城市”，从200名志愿者中随机抽取40名志愿者参加街道卫生监督活动，经过统计这些志愿者的年龄介于25岁和55岁之间，为方便安排任务，将所有志愿者按年龄从小到大分成六组，依次为，如图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第四组的人数为4人.‎ ‎（1）求第五组的频率并估计200名志愿者中年龄在40岁以上(含40岁）的人数；‎ ‎（2）若从年龄位于第四组和第六组的志愿者中随机抽取两名，记他们的年龄分别为，事件，求.‎ ‎19. 如图，三棱柱中，是正三角形，四边形是矩形，且.‎ ‎（1）求证:平面平面；‎ ‎（2）若点在线段上，且，当三棱锥的体积为时，求实数的值.‎ ‎20.已知抛物线，焦点为，点在抛物线上，且到的距离比到直线的距离小1.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若点为直线上的任意一点，过点作抛物线的切线与，切点分别为，求证:直线恒过某一定点.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；‎ ‎（2）若为自然数，则当取哪些值时，方程在上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，),‎ 在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.‎ ‎（1）求曲线的普通方程，并将的方程化为极坐标方程；‎ ‎（2）直线的极坐标方程为，若曲线与的公共点都在上，求的值.‎ ‎23.已知函数的最大值为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若,，求的最大值.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1.C 本题考査集合中元素的个数.由,得,故.‎ ‎2.B 本题考査复数的概念及运算.因为，所以，，的虚部为.‎ ‎3.A 本题考査三角恒等变换和诱导公式.若，则 ‎4.B 本题考査双曲线的方程.渐近线方程化简为,顶点坐标，顶点到渐近线的距离为，解得，根据渐近线方程的斜率，可得,所以双曲线的方程为.‎ ‎5.C 本题考査平均数和中位数.若中位数为12,则,平均分为,由选项知平均数不可能为.‎ ‎6.D 本题考査函数的图象.易知函数为偶函数,故排除A项,因为当时，，排除C项 ；由函数的单调性知在上是单调递减的，排除B项.故选D项.‎ ‎7.D 本题考査空间线面位置关系、充分条件的判断.A、B、C项错误，满足条件的和平面可能平行；D项正确，，结合知.‎ ‎8.A 本题考查线性规划.令，则表示可行域内的点与原点连线的斜率，由图形可知，联立方程可以求出，所以，故的最大值为.‎ ‎9.B 本题考査程序框图.程序运行过程中，各变量值如下.‎ 第一次循环:；第二次循环: ；第三次循环: ；依此类推，第1009次循环: ,满足题意，退出循环.故其中判断框内应填入的条件是: (或).‎ ‎10.A 本题考査三角函数的图象和性质.因为函数，然后将其图象向左平移个单位后得到，由平移后的图象知，平移后的图象在处取最小值，则,∴,又，‎ ‎∴，.‎ ‎11.D 本题考査空间几何体的表面积.几何体为一个三棱柱与一个半圆柱的组合，其中三棱柱的高为2,底为一个等腰直角三角形,腰长为2；半圆柱的高为1，底面是半径为1的半圆.所以表面积为.‎ ‎12.D 本题考査函数的零点存在性问题.‎ 令,则，‎ 设，令，，‎ ‎∴，发现函数在上都是单调递增，在上都是单调递减，‎ ‎∴函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，得，‎ ‎∴函数至少存在一个零点需满足，即.‎ 二、填空题 ‎13.5 本题考査向量垂直的性质及向量的模.因为两个单位向置互相垂直，且向量，所以，，.‎ ‎14. 本题考査类比推理(结合数学史).依题意，类比可知图1面积等于图2中梯形的面积,.‎ ‎15. 本题考查直线与椭圆相交问题.设椭圆的左、右焦点分别为,将代入椭圆方程可得，可设,由，可得，即有，即，可得，代入椭圆方程可得，由,即有，解得.‎ ‎16. 本题考査解三角形.‎ ‎.又，且，所以.‎ 设，令，则，故在上单调递增，所以.‎ 三、解答题 ‎17.解:本题考査数列的证明与求和.‎ ‎(l)∵，∴，‎ 当时，，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴数列是首项为2,公比为2的等比数列. ‎ ‎(2)由（1)知，，∴.‎ ‎∴，‎ 故数列的前项和.‎ ‎18.解:本题考査频率分布直方图和概率.‎ ‎（1）第四组的频率为，所以第五组的频率为，由直方图得后三组频率为 所以200名志愿者中年龄在40岁以上(含40岁）的人数约为人. ‎ ‎（2）第四组的人数为4人，设为；第六组的人数为2人，设为.则有 共15种情况，‎ 因事件发生当且仅当随机抽取的两名志愿者在同一组，所以事件包含的基本事件为共 7 种情况，故.‎ ‎19.解:本题考査空间面面垂直关系判定及点的位置判断.‎ ‎（1）依题意可得，∴,,又四边形是矩形，‎ ‎∴.‎ 又∵平面,平面,,‎ ‎∴平面,而平面,‎ ‎∴平面平面.‎ ‎（2）依题意可得,取中点,所以，且，又由（1)知平面平面，则平面.‎ 如图，过点作交于点，则平面,‎ 的面积为，‎ ‎.‎ 由得.‎ ‎20.解：本题考査抛物线的性质和定点问题.‎ ‎（1）因为到的距离与到直线的距离相等，由拋物线定义知，直线为抛物线的准线，所以，得,所以抛物线的方程为. ‎ ‎（2）设切点的坐标分别为，由(1)知，.‎ 则切线的斜率分别为,,‎ 故切线 的方程分别为,,‎ 联立以上两个方程，得故的坐标为.‎ 因为点在直线上，所以，即.‎ 设直线的方程为，代入抛物线方程，得，所以，即，所以.‎ 故的方程为,故直线恒过定点. ‎ ‎21.解:本题考查函数与导数综合.‎ ‎（1）因为，‎ 由或,由，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 欲使在上为单调函数，则. ‎ ‎（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，‎ 故当或时，方程在上不可能有三个不等实根，‎ 所以,且.‎ 当,且时，方程在上有三个不等实根，‎ 只需满足即可.‎ 因为，且，‎ 因而，‎ 所以，即，‎ 综上所述，当,且时，满足题意，此时实数的取值范围是. ‎ ‎22.解:本题考査参数方程和极坐标方程的应用.‎ ‎（1）消去参数得到的普通方程,将代入的普通方程，得到的极坐标方程,.‎ ‎（2）曲线与的公共点的极坐标满足方程组,若，‎ 由方程组得,由已知，可解得,‎ 根据,得到,当时，极点也为的公共点都在上，所以. ‎ ‎23.解:本题考査绝对值不等式的解法及基本不等式的应用.‎ ‎（1）由于由函数的图象可知.‎ ‎（2）由已知,有， ‎ 因为(当时取等号)，(当时取等号)，‎ 所以，即，‎ 故的最大值为2.‎