数学卷·2018届山东省淄博市淄川中学高二下学期第一次月考数学试卷（文科）（解析版） 17页

‎2016-2017学年山东省淄博市淄川中学高二（下）第一次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．下列命题中，真命题是（　　）‎ A．命题“若|a|＞b，则a＞b”‎ B．命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆命题 C．命题“当x=2时，x2﹣5x+6=0”的否命题 D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”‎ ‎2．若函数f（x）=a2﹣cos x，则f′（x）等于（　　）‎ A．sin x B．cos x C．2a+sin x D．2a﹣sin x ‎3．过曲线y=上一点P的切线的斜率为﹣4，则点P的坐标为（　　）‎ A．（，2） B．（，2）或（﹣，﹣2） C．（﹣，2） D．（，2）‎ ‎4．若曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程x﹣y+1=0，则（　　）‎ A．a=1，b=1 B．a=﹣1，b=1 C．a=1，b=﹣1 D．a=﹣1，b=﹣1‎ ‎5．下列函数中，在（0，+∞）内为增函数的是（　　）‎ A．y=sin x B．y=xe2 C．y=x3﹣x D．y=ln x﹣x ‎6．在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则△ABC中最短边的边长等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．函数f（x）=lnx﹣x的单调递增区间是（　　）‎ A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（0，+∞） D．（1，+∞）‎ ‎8．已知函数y=f（x），其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）（　　）‎ A．在（﹣∞，0）上为减函数 B．在x=0处取极小值 C．在（4，+∞）上为减函数 D．在x=2处取极大值 ‎9．若函数f（x）=ax3﹣x2+x﹣5在（﹣∞，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（　　）‎ A．a＞ B．a＜ C．a≤ D．a≥‎ ‎10．函数f（x）=xe﹣x，x∈[0，4]的最大值是（　　）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎11．已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎12．若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[﹣，] D．[﹣1，﹣]‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题每小题4分，共16分）‎ ‎13．设复数z=，则复数z的实部是　　．‎ ‎14．设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的　　．‎ ‎15．当x∈[﹣1，2]时，x3﹣x2﹣x＜m恒成立，则实数m的取值范围是　　．‎ ‎16．如图为函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象，f′（x）为函数f（x）的导函数，则不等式xf′（x）＜0的解集为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．实数m分别取什么数值时，复数z=（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i ‎（1）与复数2﹣12i相等；‎ ‎（2）为纯虚数．‎ ‎18．有下列两个命题：‎ 命题p：对∀x∈R，ax2+ax+1＞0恒成立．‎ 命题q：函数f（x）=4x2﹣ax在[1，+∞）上单调递增．‎ 若“p∨q”为真命题，“￢p”也为真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎19．设f（x）=ln x，g（x）=f（x）+f′（x），求g（x）的单调区间和最小值．‎ ‎20．已知等差数列{an}满足a3=7，a5+a7=26，数列{an}的前n项和Sn．‎ ‎（Ⅰ）求an及Sn；‎ ‎（Ⅱ）令bn=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎21．设函数f（x）=+（a+1）x+1，其中a为实数．‎ ‎（1）已知函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；‎ ‎（2）已知不等式f′（x）＞x2﹣x﹣a+1对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值范围．‎ ‎22．已知点A（0，﹣2），椭圆E： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O是坐标原点．‎ ‎（1）求E的方程；‎ ‎（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山东省淄博市淄川中学高二（下）第一次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．下列命题中，真命题是（　　）‎ A．命题“若|a|＞b，则a＞b”‎ B．命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆命题 C．命题“当x=2时，x2﹣5x+6=0”的否命题 D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】举出反例，可判断A；写出原命题的逆命题，可判断B；写出原命题的否命题，可判断C；根据三角函数的定义，可判断D，‎ ‎【解答】解：a=b=3时，|a|＞b成立，但a＞b不成立，故命题“若|a|＞b，则a＞b”为假命题；‎ 命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆命题为命题“若|a|=|b|，则a=b”，为假命题；‎ 命题“当x=2时，x2﹣5x+6=0”的否命题为命题“当x≠2时，x2﹣5x+6≠0”，为假命题；‎ 命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”是真命题，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．若函数f（x）=a2﹣cos x，则f′（x）等于（　　）‎ A．sin x B．cos x C．2a+sin x D．2a﹣sin x ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】根据题意，直接对f（x）求导，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，f（x）=a2﹣cos x，‎ 则f′（x）=sinx；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．过曲线y=上一点P的切线的斜率为﹣4，则点P的坐标为（　　）‎ A．（，2） B．（，2）或（﹣，﹣2） C．（﹣，2） D．（，2）‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求出原函数的导函数，设出切点坐标，由切点处的导数等于﹣4求得答案．‎ ‎【解答】解：设切点为P（），由y=，得y′=﹣，‎ ‎∴，由，解得．‎ ‎∴点P的坐标为（，2）或（，﹣2）．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．若曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程x﹣y+1=0，则（　　）‎ A．a=1，b=1 B．a=﹣1，b=1 C．a=1，b=﹣1 D．a=﹣1，b=﹣1‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求出函数的导数，运用导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得切线的斜率，由切线方程可得a=1，b=1．‎ ‎【解答】解：y=x2+ax+b的导数为y′=2x+a，‎ 可得在点（0，b）处的切线斜率为a，‎ 由点（0，b）处的切线方程为x﹣y+1=0，‎ 可得a=1，b=1，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．下列函数中，在（0，+∞）内为增函数的是（　　）‎ A．y=sin x B．y=xe2 C．y=x3﹣x D．y=ln x﹣x ‎【考点】函数单调性的判断与证明．‎ ‎【分析】根据正弦函数、一次函数及函数单调性的定义便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．‎ ‎【解答】解：A．y=sinx在（0，+∞）内没有单调性，∴该选项错误；‎ B．e2＞0；‎ ‎∴一次函数y=xe2在（0，+∞）上为增函数，∴该选项正确；‎ C．x=时，y=；‎ x=时，y=；‎ ‎；‎ ‎∴y=x3﹣x在（0，+∞）上不是增函数；‎ D．x=1时，y=﹣1；‎ x=10时，y=﹣9；‎ ‎﹣1＞﹣9；‎ ‎∴y=lnx﹣x在（0，+∞）上不是增函数．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则△ABC中最短边的边长等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由B与C的度数求出A的度数，得到B为最小角，利用大角对大边得到b为最短边，进而有sinB，sinC及c的值，利用正弦定理即可求出b的值．‎ ‎【解答】解：∵B=45°，C=60°，c=1，‎ ‎∴由正弦定理=得：b===．‎ 故选D ‎　‎ ‎7．函数f（x）=lnx﹣x的单调递增区间是（　　）‎ A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（0，+∞） D．（1，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，在定义域下令导函数大于0得到函数的递增区间 ‎【解答】解：f′（x）=‎ 令f′（x）＞0得0＜x＜1‎ 所以函数f（x）=lnx﹣x的单调递增区间是（0，1）‎ 故答案为：B ‎　‎ ‎8．已知函数y=f（x），其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）（　　）‎ A．在（﹣∞，0）上为减函数 B．在x=0处取极小值 C．在（4，+∞）上为减函数 D．在x=2处取极大值 ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象．‎ ‎【分析】根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0，然后根据单调性与导数的关系以及极值的定义可进行判定即可．‎ ‎【解答】解：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0‎ 当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x2时，f′（x）＜0，f（x）递减；‎ 当2＜x＜4时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞4时，f′（x）＜0，f（x）递减．‎ 可知C正确，A错误．‎ 由极值的定义可知，f（x）在x=0处函数f（x）取到极大值，x=2处函数f（x）的极小值点，‎ 可知B、D错误．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．若函数f（x）=ax3﹣x2+x﹣5在（﹣∞，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（　　）‎ A．a＞ B．a＜ C．a≤ D．a≥‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】由题意知：函数f（x）=ax3﹣x2+x﹣5，函数f（x）在R上单调递增，则说明f'（x）在R上恒有f'（x）≥0，转换为一元二次函数问题．‎ ‎【解答】解：由题意知：函数f（x）=ax3﹣x2+x﹣5‎ 则f'（x）=3ax2﹣2x+1，‎ 函数f（x）在R上单调递增，则说明f'（x）在R上恒有f'（x）≥0；‎ 所以有，即：‎ 解得：a 故选：D ‎　‎ ‎10．函数f（x）=xe﹣x，x∈[0，4]的最大值是（　　）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】利用导数判断函数的单调性即可得出结论．‎ ‎【解答】解：f（x）=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x（1﹣x），‎ ‎∴当0≤x≤1时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，‎ 当1≤x≤4时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，‎ ‎∴当x=1时，f（x）max=f（1）=．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】利用双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程．‎ ‎【解答】解：∵双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，‎ ‎∴a2+b2=25， =1，‎ ‎∴b=，a=2‎ ‎∴双曲线的方程为．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[﹣，] D．[﹣1，﹣]‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0恒成立，设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，对t讨论，分t=0，0＜t≤1，﹣1≤t＜0，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=x﹣sin2x+asinx的导数为f′（x）=1﹣cos2x+acosx，‎ 由题意可得f′（x）≥0恒成立，‎ 即为1﹣cos2x+acosx≥0，‎ 即有﹣cos2x+acosx≥0，‎ 设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，‎ 当t=0时，不等式显然成立；‎ 当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，‎ 由4t﹣在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1，‎ 可得3a≥﹣1，即a≥﹣；‎ 当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣，‎ 由4t﹣在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1，‎ 可得3a≤1，即a≤．‎ 综上可得a的范围是[﹣，]．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题每小题4分，共16分）‎ ‎13．设复数z=，则复数z的实部是　　．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．‎ ‎【解答】解：z====﹣=﹣i，‎ 所以复数z的实部为．‎ 故答案为 ‎　‎ ‎14．设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的　必要不充分条件　．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．‎ ‎【解答】解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，‎ 但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，‎ 若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，‎ 故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，‎ 故答案为：必要不充分条件．‎ ‎　‎ ‎15．当x∈[﹣1，2]时，x3﹣x2﹣x＜m恒成立，则实数m的取值范围是　（2，+∞）　．‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】当x∈[﹣1，2]时，x3﹣x2﹣x＜m恒成立，即实数m大于左边函数的最大值，利用导数法可求．‎ ‎【解答】解：由题意，令f（x）=x3﹣x2﹣x，‎ ‎∴f′（x）=3x2﹣2x﹣1，‎ 令 f′（x）=3x2﹣2x﹣1=0，得x=1或x=﹣，‎ 当x∈（﹣1，﹣）∪（1，2）时 f′（x）＞0，当x∈（）时，f′（x）＜0．‎ ‎∴f（x）的增区间为（﹣1，﹣），（1，2）；减区间为（）．‎ ‎∵f（﹣）=，f（2）=2．‎ ‎∴f（x）=x3﹣x2﹣x在x∈[﹣1，2]上的最大值为2．‎ ‎∴实数m的取值范围是m＞2．‎ 故答案为：（2，+∞）．‎ ‎　‎ ‎16．如图为函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象，f′（x）为函数f（x）的导函数，则不等式xf′（x）＜0的解集为　（﹣∞，﹣）∪（0，）　．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】根据函数单调性和导数之间的关系即可得到不等式的解集．‎ ‎【解答】解：由函数的图象可知当x和（‎ ‎）时，函数单调递增，f'（x）＞0，‎ 当x∈（）时，函数单调递减，此时f'（x）＜0．‎ 则不等式xf′（x）＜0等价为：‎ 当x＞0时，f'（x）＜0，此时0，‎ 当x＜0时，f'（x）＞0，此时x，‎ 即不等式的解集为：（﹣∞，﹣）∪（0，），‎ 故答案为：（﹣∞，﹣）∪（0，）‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．实数m分别取什么数值时，复数z=（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i ‎（1）与复数2﹣12i相等；‎ ‎（2）为纯虚数．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】（1）直接由复数相等的条件列方程组求得m的值；．‎ ‎（2）根据复数的基本概念，当复数是一个纯虚数时，需要使得虚部不等于0，实部等于0，得到关于m的方程，得到结果．‎ ‎【解答】解：（1）根据复数相等的充要条件得解之，得m=﹣1．‎ ‎（2）根据纯虚数的定义得解之，得m=﹣2．‎ ‎　‎ ‎18．有下列两个命题：‎ 命题p：对∀x∈R，ax2+ax+1＞0恒成立．‎ 命题q：函数f（x）=4x2﹣ax在[1，+∞）上单调递增．‎ 若“p∨q”为真命题，“￢p”也为真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】分别求出命题p，q成立的等价条件，然后利用若“p∨‎ q”为真命题，“￢p”也为真命题，得到p假q真，根据条件确定范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）对∀x∈R，ax2+ax+1＞0恒成立，当a=0时显然成立；‎ 当a≠0时，必有，解得0＜a＜4，所以命题p：0＜a＜4．‎ 函数f（x）=4x2﹣ax在[1，+∞）上单调递增，则对称轴，解得a≤8，所以命题q：a≤8，‎ 若“p∨q”为真命题，“￢p”也为真命题，则p假q真，‎ 所以，‎ 解得a≤0或4≤a≤8．‎ 即实数a的取值范围是a≤0或4≤a≤8．‎ ‎　‎ ‎19．设f（x）=ln x，g（x）=f（x）+f′（x），求g（x）的单调区间和最小值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．‎ ‎【解答】解：由题意知f′（x）=，g（x）=ln x+，‎ ‎∴g′（x）=，‎ 令g′（x）=0，得x=1．‎ 当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，‎ 故（0，1）是g（x）的单调减区间．‎ 当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，‎ 故（1，+∞）是g（x）的单调增区间．‎ 因此，x=1是g（x）的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点．‎ 所以g（x）的最小值为g（1）=1．‎ ‎　‎ ‎20．已知等差数列{an}满足a3=7，a5+a7=26，数列{an}的前n项和Sn．‎ ‎（Ⅰ）求an及Sn；‎ ‎（Ⅱ）令bn=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】（I）设等差数列{an}的公差为d，由a3=7，a5+a7=26，可得，解出利用等差数列的前n项和公式即可得出；‎ ‎（Ⅱ）bn===，利用“裂项求和”即可得出．‎ ‎【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，‎ ‎∴，解得a1=3，d=2．‎ ‎∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．‎ ‎∴数列{an}的前n项和Sn==n2+2n．‎ ‎（Ⅱ）bn===，‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn=++…+==．‎ ‎　‎ ‎21．设函数f（x）=+（a+1）x+1，其中a为实数．‎ ‎（1）已知函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；‎ ‎（2）已知不等式f′（x）＞x2﹣x﹣a+1对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（1）求导f′（x）=ax2﹣3x+a+1，从而由f′（1）=a﹣3+a+1=0求a并验证；‎ ‎（2）不等式f′（x）＞x2﹣x﹣a+1可化为ax2﹣3x+a+1＞x2﹣x﹣a+1；故a＞‎ 对任意a∈（0，+∞）都成立；从而化为≤0；从而解得．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=+（a+1）x+1，‎ ‎∴f′（x）=ax2﹣3x+a+1；‎ 则由函数f（x）在x=1处取得极值知，‎ f′（1）=a﹣3+a+1=0；‎ 解得a=1；‎ 经验证，当a=1时，函数f（x）在x=1处取得极大值；‎ 故a=1；‎ ‎（2）不等式f′（x）＞x2﹣x﹣a+1可化为 ax2﹣3x+a+1＞x2﹣x﹣a+1；‎ 故a＞对任意a∈（0，+∞）都成立；‎ 故≤0；‎ 故﹣2≤x≤0；‎ 故实数x的取值范围为[﹣2，0]．‎ ‎　‎ ‎22．已知点A（0，﹣2），椭圆E： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O是坐标原点．‎ ‎（1）求E的方程；‎ ‎（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）设F（c，0），由已知得，求得c，再由离心率求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；‎ ‎（2）由题意可知，当l⊥x轴时，不合题意，设l：y=kx﹣2，联立直线方程与椭圆方程，求出P、Q的横坐标，代入弦长公式求得|PQ|，再由点到直线的距离公式求得O到PQ的距离，代入三角形面积公式，换元后利用基本不等式求最值，同时求得当△OPQ的面积最大时直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（1）设F（c，0），由条件知，得，又，‎ ‎∴a=2，b2=a2﹣c2=1，‎ 故E的方程为：；‎ ‎（2）当l⊥x轴时，不合题意，‎ 故设l：y=kx﹣2，p（x1，y1），Q（x2，y2），‎ 联立，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0．‎ 当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，‎ ‎，．‎ 从而．‎ 又点O到直线PQ的距离．‎ ‎∴△OPQ的面积为，‎ 设，‎ 则，当且仅当，即t=2时取“=”．‎ ‎∴，即时等号成立，且满足△＞0，‎ ‎∴当△OPQ的面积最大时，l的方程为或．‎