2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二上学期期末考试数学（文）试题 解析版 22页

绝密★启用前 黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．复数（是虚数单位）的模等于（ ）‎ A． B．10 C． D．5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意：，‎ 该复数的模为.‎ 本题选择A选项.‎ ‎2．已知命题：，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ ‎ 因为全称命题的否定是特称命题，全称命题命题“”的否定为特称命题“”，故选C.‎ ‎3．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题:‎ ‎①若，则； ②若，，则；‎ ‎③若，则； ④若，则；‎ 则真命题为（ ）‎ A．①② B．③④ C．② D．②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由 或异面判断①不正确，排除；利用长方体的一个角判断④不正确，排除选项，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 对于① ， ，则 或异面，故①不正确，排除；‎ 对于④，设平面是位于长方体经过同一个顶点的三个面， 则有，且 ，但是，推不出，故④不正确，排除选项，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等.‎ ‎4．某校共有名教职工，其中一般教师名，行政人员名，后勤人员名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，用分层抽样抽取一个容量为的样本，则应抽取的后勤人员人数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用分层抽样的定义求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为160人抽取20人,所以抽取的比例为 ,‎ 因为后勤人数为,所以应抽取，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分层抽样的应用，属于简单题. 分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.‎ ‎5．已知为虚数单位，为实数，复数在复平面内对应的点为，则“”是“点第四象限”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数乘法运算法则化简复数，得到复平面内对应点的坐标是，由横标大于零,纵标小子零，即可得到的取值范围，根据充分条件与必要条件的定义可得结果.‎ ‎【详解】‎ 复数，‎ ‎.在复平面内对应的点的坐标是，‎ 若点在第四象限则，‎ ‎，‎ ‎“”是“点在第四象限”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充分条件问题，考査复数的乘法运算法则及其几何意义，考查各个象限的点的坐标特点，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，是中档题.‎ ‎6．哈六中数学兴趣小组的同学们为了计算六中数学组二维码中黑色部分的面积，在如图一个边长为的正方形区域内随机投掷个点，其中落入黑色部分的有个点，据此可估计黑色部分的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设黑色部分的面积为，利用几何概型概率计算公式列出方程能估计黑色部分的面积.‎ ‎【详解】‎ 设黑色部分的面积为，‎ 正方形二维码边长为4, 在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，‎ ‎，解得，‎ 据此可估计黑色部分的面积为9，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用模拟实验，列出未知面积与已知面积之间的方程求解.‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（ ）‎ A． B． C． D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量y的值，模拟程序的运行，不难得到输出结果．‎ ‎【详解】‎ 模拟程序的运行，可得 x=8，y=3 不满足条件|y-x|＜3，执行循环体，x=3，y=， 满足条件|y-x|＜3，退出循环，输出y的值为． 故选B.．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据框图计算，属基础题．‎ ‎8．根据给出的数塔猜测（ ）‎ ‎…‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数塔，归纳可知，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的加数相同，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎，，‎ 归纳可得，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的加数相同，‎ ‎，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查归纳推理的应用，属于中档题. 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想） .‎ ‎9．在下列命题中，下列选项正确的是（ ）‎ A．在回归直线中，变量时，变量的值一定是15.‎ B．两个变量相关性越强，则相关系数就越接近于1.‎ C．在残差图中，残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适，与带状区域的宽度无关.‎ D．若是两个相等的非零实数，则是纯虚数.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据回归方程的定义判断；根据相关系数的定义判断；根据残差图的性质判断；根据纯虚数的定义判断.‎ ‎【详解】‎ 在回归直线中，变量时，得到15只是变量的一个预测值，故不正确；‎ 两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1，故不正确；‎ 在残差图中，残差点比较均匀落在水平的带状区域中，带状区域的宽度越小，拟合效果越好，故不正确；‎ 若是两个相等的非零实数，则,且，符合纯虚数的定义，正确,故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查回归方程的定义、相关系数的定义、残差图的性质、纯虚数的定义，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，做这类题目要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，‎ 要注意从简单的、自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.‎ ‎10．2018年暑假期间哈六中在第5届全国模拟联合国大会中获得最佳组织奖，其中甲、乙、丙、丁中有一人获个人杰出代表奖，记者采访时，甲说：我不是杰出个人；乙说：丁是杰出个人；丙说：乙获得了杰出个人；丁说：我不是杰出个人，若他们中只有一人说了假话，则获得杰出个人称号的是（ ）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别假设甲、乙、丙、丁获得冠军，看是否满足“只有一人说了假话，”，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 若甲获个人杰出代表奖，则甲、乙、丙三人同时回答错误，丁回答正确，不满足题意； 若乙获个人杰出代表奖，则甲、丙，丁回答正确，只有乙回答错误，满足题意； 若丙获个人杰出代表奖，则乙、丙回答错误，甲、丁回答正确，不满足题意； 若丁获个人杰出代表奖，则甲、乙回答正确，丙、丁回答错误，不满足题意， 综上，获得杰出代表奖的是乙，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查推理案例，属于难题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.‎ ‎11．已知图中的网格是由边长为1的小正方形组成的，一个几何体的三视图如图中的粗实线和粗虚线所示，则这个几何体的体积为 A．64 B． C． D．128‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题先由三视图可以得出几何体为三棱锥，再通过小正方形数出三棱锥高和底面的底和高的长度，最后通过三棱锥体积公式计算得出结果。‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知，几何体是一个三棱锥，高为，底面面积为 几何体体积即为故选B。‎ ‎【点睛】‎ 三棱锥体积计算公式：。‎ ‎12．如图，在正方体中，若是线段上的动点，则下列结论不正确的是（ ） ‎ A．三棱锥的正视图面积是定值 B．异面直线所成的角可为 C．三棱锥的体积大小与点在线段的位置有关 D．直线与平面所成的角可为 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正视图三角形的底与高都是定值判断；利用空间向量夹角余弦公式判断；根据底面积确定高不确定判断，结合排除法可得结果.‎ ‎【详解】‎ 对于，正视图三角形的底边为的长，高为正方体的高，故棱锥正视图的面积不变，故正确，排除；‎ 对于，分别以为坐标轴，以为原点建立空间直角坐标系，‎ 设正方体边长为1，，‎ ‎，‎ ‎，解得，‎ 异面直线所成的角可为，故正确，排除；‎ 对于，三棱锥的底面积一定，高大小与点在线段的位置有关，所以体积的大小与点在线段的位置有关，故正确，排除，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题综合考查三视图、棱锥的体积、异面直线所成的角，属于难题. 求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．两名同学在5次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，若两人的平均成绩分别是，观察茎叶图，则___________（用“”填空）．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平均数公式分别算出两人的平均成绩，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 根据茎叶图中的数据，由平均数公式可得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查茎叶图的应用，以及平均数公式的应用，属于简单题. 计算几个数的平均值，需要利用平均数公式.‎ ‎14．若从甲、乙、丙、丁位同学中选出位同学参加某个活动，则甲被选中的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列举出从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议的基本事件，以及甲被选中的基本事件，即可求出甲被选中的概率.‎ ‎【详解】‎ 从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，共有甲乙、甲丁、甲丙、乙丙、乙丁、丙丁6种方法，甲被选中，共有甲乙、甲丁、甲丙3种方法，‎ 甲被选中的概率是，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于简单题. 在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.‎ ‎15．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，且平面，则球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由余弦定理可得，由正弦定理可得，由勾股定理可得，从而能求出球的表面积.‎ ‎【详解】‎ 如图，三棱锥的所有顶点都在球的球面上，‎ 平面，，‎ 由余弦定理可得，‎ 设截球所得的圆的半径，‎ 由正弦定理可得，‎ 设球的半径，‎ 由勾股定理可得，‎ 球的表面积，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.‎ ‎16．某大学进行自主招生时,需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如下图所示:‎ ‎ ‎ 得出下面四个结论:‎ ‎①甲同学的逻辑排名比乙同学的逻辑排名更靠前 ‎②乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 ‎③甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前 ‎④甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前 则所有正确结论的序号是_________.‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过对两图形的阅读和理解，分别比较甲、乙、丙的纵横坐标，可以分析出来甲、乙、丙的类比情况，从而可得结论.‎ ‎【详解】‎ 对于①,由左图可知甲同学的逻辑排名比乙同学的逻辑排名更靠前，故①正确；‎ 对于②，乙同学的总排名比较靠前，但是他的逻辑思维排名比较靠后，说明他的阅读表达排名比逻辑排名成绩更靠前，故②错误；‎ 对于③，比较两个图形中甲乙丙的横坐标，可知甲乙丙三位同学的逻辑思维排名顺序是甲、丙、乙，甲同学是靠前，故③正确；‎ 对于④，甲同学的逻辑思维能力比较靠前，但是总成绩比较靠后，说明阅读表达能力排名比逻辑思维能力更靠后，故④错误，故答案为①③.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查阅读理解能力、逻辑思维能力以及数形结合思想的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．如图，边长为的等边三角形所在的平面垂直于矩形所在的平面，‎ ‎，为的中点．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（1）证明祥见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）取的中点，连接、、根据面面垂直的性质可知平面，从而，由勾股定理可求得，又P，满足线面垂直的判定定理则平面，根据线面垂直的性质可知；‎ ‎（2）设点到平面的距离为，连结，则根据等体积得，建立关于d的等式解之即可得到点到平面的距离．‎ 试题解析：（1）取的中点，连结、、‎ ‎∵为正三角形 ‎∴，‎ ‎∵平面平面，∴平面 ‎∵四边形是矩形 ‎∴、、均为直角三角形 由勾股定理可求得，，‎ ‎∴，∴‎ 即，又，∴平面 ‎∴‎ ‎（2）设点到平面的距离为，连结，则 ‎∴‎ 在中，由勾股定理可求得 ‎，即点到平面的距离为 考点：1、平面与平面垂直的性质；2、点、线、面间的距离计算．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了线面垂直的判定与性质，以及二面角的度量和点到平面的距离的求解，同时考查了空间想象能力和计算能力，转化与划归的思想，属于中档题．线面垂直的证明，主要是转化为线线垂直来证明，而线线的垂直的证明，又往往通过线面垂直，由线面垂直的性质来完成，而线面垂直有时也需转化为面面垂直，利用面面垂直的性质来完成．‎ ‎18．已知某校5个学生期末考试数学成绩和总分年级排名如下表：‎ 学生的编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 数学 ‎115‎ ‎112‎ ‎93‎ ‎125‎ ‎145‎ 年级排名 ‎250‎ ‎300‎ ‎450‎ ‎70‎ ‎10‎ ‎（1）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和总分年级排名具有很强的线性相关关系，在上述表格是正确的前提下，用表示数学成绩，用表示年级排名，求与的回归方程；（其中都取整数）‎ ‎（2）若在本次考试中，预计数学分数为120分的学生年级排名大概是多少？‎ 参考数据和公式：，其中，，其中 ‎【答案】（1）；（2）198‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据所给的数据，做出变量的平均数，求出最小二乘法所需要的数据，可得线性回归方程的系数,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出的值，写出线性回归方程； (2) 将，代入上一问做出的线性回归方程，可预计数学分数120分的学生在年级大概排名，这是一个预报值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由表格中的数据可得，‎ ‎，‎ 可得 ，‎ 所以，‎ 所以 ，‎ 故回归方程为；‎ ‎（2）将，代入，‎ 可得，即预计数学分数为120分的学生年级排名大概名.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.‎ ‎19．在某单位的职工食堂中，食堂每天以元/个的价格从面包店购进面包，然后以元/个的价格出售．如果当天卖不完，剩下的面包以元/个的价格全部卖给饲料加工厂．根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如下图所示．食堂某天购进了个面包，以（单位：个，）表示面包的需求量，（单位：元）表示利润．‎ ‎（1）求关于的函数解析式；‎ ‎（2）根据直方图估计利润不少于元的概率.‎ ‎【答案】（1）；（2）0.875‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，利润，当时，利润，从而可得结果；（2）由（1）知，利润不少于100元时，即，即，根据直方图的性质，利用对立事件的概率公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，当时，利润， 当时，利润，‎ 即关于的函数解析式. ‎ ‎（2）由题意，设利润不少于100元为事件，‎ 由（1）知，利润不少于100元时，即，‎ ‎，即，‎ 由直方图可知，当时，‎ 所求概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数的解析式以及频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.‎ ‎20．目前，学案导学模式已经成为教学中不可或缺的一部分，为了了解学案的合理使用是否对学生的期末复习有着重要的影响，我校随机抽取100名学生，对学习成绩和学案使用程度进行了调查，统计数据如表所示：‎ 已知随机抽查这100名学生中的一名学生，抽到善于使用学案的学生概率是0.6．‎ 参考公式：，其中 ．‎ ‎（1）请将上表补充完整（不用写计算过程）；‎ ‎（2）试运用独立性检验的思想方法分析：有多大的把握认为学生的学习成绩与对待学案的使用态度有关?‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用题设中所给数据结合表格中数据可完善列联表；（2）‎ 由列联表中数据，利用公式求得 ，与邻界值比较，即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）列联表如图：‎ ‎（2）由表，‎ 故有的把握认为学生的学习成绩与对待学案的使用态度有关.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查独立性检验的应用，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.‎ ‎21．如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直, 是线段的中点。‎ ‎（1）证明：∥平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成的角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接交于点，连接,由平行四边形的性质，可得，由线面平行的判定定理可得结果；(2)由矩形和矩形所在的平面互相垂直，可得平面，从而可得平面，角是直线与平面所成的角，利用直角三角形的性质，结合同角三角函数的关系可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）连接交于点，连接, 在矩形中，,‎ 为平行四边形，‎ ‎，‎ 平面，‎ 平面,‎ 平面.‎ ‎(2)因为矩形和矩形所在的平面互相垂直，‎ 平面， ，是线段的中点.‎ ‎，解得，‎ ‎ 平面，， ‎ 角是直线与平面所成的角，‎ ‎，‎ 可得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线面平行的判定定理、面面垂直的性质，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.‎ ‎22．如图，四棱锥的底面为菱形 且，底面，‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）在线段上是否存在一点，使平面成立．如果存在，求出的长；如果不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）存在点，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由菱形的性质可得，由线面垂直的性质可得，由线面垂直的判定定理可得，平面，再由面面垂直的判定定理可得结论；（2）假设在线段上是否存在一点使平面成立，利用，结合勾股定理可得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）四棱锥的底面为菱形，，‎ 又底面，平面，，‎ ‎，平面，‎ 又在平面内，平面平面.‎ ‎（2）假设在线段上是否存在一点，使平面成立，‎ 设，则，‎ 易知，‎ 四棱锥的底面为菱形，且，‎ ‎，‎ ‎，.‎ 即存在一点，使平面成立，.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.‎