数学理卷·2018届江西省九江市高二上学期期末考试（2017-01） 12页

九江市2016-2017学年度上学期期末考试 高二数学（理科）试题卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.在等差数列中，已知，公差，则（ ）‎ A．10 B．12 C．14 D．16‎ ‎2.“”是“”的（ ）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3.双曲线渐近线的斜率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.函数有（ ）‎ A．最小值4 B．最大值4 C.最小值 D．最大值 ‎5.命题，，命题，，则下列命题正确的是（ ）‎ A．为真 B．为真 C.为假 D．为真 ‎6.（重点中学做）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（ ）‎ A．升 B．升 C.升 D．升 ‎（普通中学做）《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）‎ A.尺布 B.尺布 C.尺布 D.尺布 ‎7.（重点中学做）已知变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）‎ A．1 B．2 C.3 D．4‎ ‎（普通中学做）已知变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）‎ A.5 B.3 C.1 D.0‎ ‎8.在正四棱锥中，，二面角的大小为，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.过抛物线的焦点且斜率为1的直线与相交于两点，若，则抛物线的方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.如图所示，为内一点，且满足，，，，则（ ）‎ A．7 B． C. D．‎ ‎11.已知函数，，若，或恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.（重点中学做）已知椭圆与双曲线 有相同的焦点，，点是两曲线的一个公共点，且，分别是两曲线，的离心率，则的最小值是（ ）‎ A．4 B．6 C.8 D．16‎ ‎（普通中学做）已知双曲线，以的右焦点为圆心，以为半径的圆与的一条渐近线交于两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.函数的定义域为 ．‎ ‎14.若是两个正数，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于 ．‎ ‎15.如图所示，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为2，且，为的中点，为的中点，则的长为 ．‎ ‎16.（重点中学做）如图所示，已知平面四边形为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且，，，，则平面四边形面积的最大值为 ．‎ ‎（普通中学做）在中，已知三边的长分别是（），则外接圆的面积为 .‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 在中，内角的对边分别是，且.‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）若，且的面积为，求边的长.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，且满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 某工厂要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，这些产品要在、、、四种不同的设备上加工，按工艺规定，在一天内，产品Ⅰ每件在、、、设备上需要加工时间分别是2、2、3、0小时，产品Ⅱ每件在、、、设备上需要加工时间分别是4、1、0、3小时，、、、设备最长使用时间分别是16、8、9、9小时.设计划每天生产产品Ⅰ的数量为（件），产品Ⅱ的数量为（件）.‎ ‎（1）用列出满足设备限制使用要求的关系式，并画出相应的平面区域；‎ ‎（2）已知产品Ⅰ每件利润2（万元），产品Ⅱ每件利润3（万元），在满足设备限制使用要求的情况下，问该工厂在每天内产品Ⅰ，产品Ⅱ各生产多少件会使利润最大，并求出最大值.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，，，，分别为的中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值. ‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ ‎（重点中学做）如图所示，已知椭圆过点，直线与椭圆交于、两点，过点作轴，垂足为点，直线交椭圆与另一点，当时，椭圆的右焦点到直线的距离为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）试问是否为定值？若为定值，求出其值；若不为定值，说明理由.‎ ‎（普通中学做）如图所示，已知椭圆过点，直线与椭圆交于两点，当时，椭圆的右焦点到直线的距离为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设点关于轴的对称点为，试问：直线是否恒过轴上的一个定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）‎ 已知命题：方程所表示的曲线为焦点在轴上的椭圆；命题：实数满足不等式.‎ ‎（1）若命题为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎23. （本小题满分10分）‎ 已知命题：；命题：方程表示焦点在轴上的双曲线.‎ ‎（1）若命题为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题“”为真，““为假，求实数的取值范围.‎ 九江市2016-2017学年度上学期期末考试 高二 数学（理科）‎ 参考答案及评分标准 一、选择题 ‎1-5:BACDB 6-10:6普C，6重D，7普C，7重D；BBC 11、12：A；12普A，12重C 二、填空题 ‎13. 14.10 15. 16.（重点中学做）；（普通中学做）‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由及正弦定理得：‎ ‎.………………1分 ‎∴.…………2分 ‎∴.……3分 ‎∴………………4分 又∵为三角形内角，可得，‎ ‎∴.…………5分 ‎∵，‎ ‎∴.……6分 ‎（2）∵面积为，∴，即，.…………9分 由余弦定理得，，‎ ‎∴.…………12分 ‎18.解：（1）当时，，∴.…………2分 当时，由及，得，‎ 即，.………………4分 ‎∴数列为首项为1，公比为的等比数列.…………5分 ‎∴.………………6分 ‎（2）由（1）得，.……8分 ‎，‎ 两式相减得.…………11分 ‎∴.…………12分 ‎19.解：（1）所满足的关系式为，即.………………3分 画出不等式组所表示的平面区域，即可行域，‎ ‎（图中实心点）（注：可行域画成阴影区域及未标注扣1分）…………6分 ‎（2）设最大利润为（万元），则目标函数.……8分 将变形，这是斜率为，随变化的一组平行直线，是直线在轴上的截距，‎ 当取得最大值时，的值最大，又因为所满足的约束条件，联立方程组，得点坐标为.‎ 又∵，当直线经过可行域上的点时，截距最大.……10分 此时，.‎ 所以，每天安排生产2件产品Ⅰ，3件产品Ⅱ，会使利润最大为13（万元）.……12分 ‎20.解：（1）取中点，连接，，‎ ‎∵分别为中点，底面为正方形，‎ ‎∴，……1分 ‎∵，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又，，平面，‎ ‎∴平面.…………3分 又平面，‎ ‎∴，‎ ‎∵，分别为，中点，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又，，平面，‎ ‎∴平面，……5分 又平面，‎ ‎∴.………………6分 ‎（2）由（1）知可建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，‎ ‎∴.………………8分 设平面的法向量，，，则 ‎，即，∴.……10分 设直线与平面所成角为，则.……12分 ‎21.（重点中学做）解：（1）∵椭圆过点，‎ ‎∴.……1分 ‎∵椭圆的右焦点到直线的距离为，‎ ‎∴，∴.…………3分 又，解得，，故椭圆的方程为.…………4分 ‎（2），证明如下：‎ 设，则，，，‎ 直线的斜率.……8分 可得直线的方程：，设点，‎ 联立，消去得，‎ 则，解得，‎ ‎∴，点.…………10分 ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴.……12分 ‎ ‎（普通中学做）解：（1）∵椭圆过点，∴.……2分 ‎∵椭圆的右焦点到直线的距离为，‎ ‎∴，∴.……4分 又，解得，故椭圆的方程为.……6分 ‎（2）设，，则有，‎ 将代入椭圆方程，得.……8分 ‎∴，.……10分 直线的方程为，‎ 令，得，‎ 故恒过轴上的一个定点.……12分 ‎22.解：（1）∵方程所表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，‎ ‎∴.………………3分 解得.…………5分 ‎（2）∵“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件，‎ ‎∴是不等式的解集的真子集.……7分 令，‎ ‎∴.……9分 解得，故实数的取值范围为.………………10分 ‎23.解：（1）当命题为真时，由已知得.………………3分 解得，∴当命题为真时，实数的取值范围是.……5分 ‎（2）当命题为真时，由解得.……6分 由题意得命题、中有一真命题、有一假命题.……7分 当命题为真、命题为假时，则，解得.……8分 当命题为假、命题为真时，则，.…………9分 ‎∴实数的取值范围是.……10分