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- 2021-07-01 发布
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2017-2018学年福建省莆田市第七中学高二上学期期末考试(数学理)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1.已知空间两点P(-1,2,-3),Q(3,-2,-1),则P、Q两点间的距离是( A )
A.6 B.2
C.36 D.2
[解析] 由空间两点间距离公式,
得|PQ|==6.
2.不论m为何值,直线(m-2)x-y+3m+2=0恒过定点( C )
A.(3,8) B.(8,3)
C.(-3,8) D.(-8,3)
[解析] 直线方程(m-2)x-y+3m+2=0可化为
m(x+3)-2x-y+2=0,
∴x=-3时,m∈R,y=8,故选C.
3.过两点(-1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距是( A )
A.- B.-
C. D.2
[解析] 由题意,得过两点(-1,1)和(3,9)的直线方程为y=2x+3. 令y=0,则x=-,
∴直线在x轴上的截距为-,故选A.
4.方程x2+y2+ax+2ay+a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是( D )
A.a<-2或a> B.-1 D.a<1
[解析] 由题意知,a2+(2a)2-4=-4a+4>0.
∴a<1. 故选D.
5.已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是( C )
A.1或3 B.1或5
C.3或5 D.1或2
[解析] 当k=3时,两直线显然平行;当k≠3时,由两直线平行,斜率相等,得-=. 解得k=5,故选C.
6.圆O1:x2+y2-4x-6y+12=0与圆O2:x2+y2-8x-6y+16=0的位置关系是( A )
A.内切 B.外离
C.内含 D.相交
[解析] 圆O1的圆心O1(2,3),半径r1=1,圆O2的圆心O2(4,3),半径r2=3. |O1O2|==2,r2-r1=2,∴|O1O2|=r2-r1,故两圆内切.
7.设α、β是两个不同的平面,l、m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β. ( A )
A.若l⊥β,则α⊥β B.若α⊥β,则l⊥m
C.若l∥β,则α∥β D.若α∥β,则l∥m
[解析] 选项A中,平面与平面垂直的判定,故正确;选项B中,当α⊥β时,l、m可以垂直,也可以平行;选项C中,l∥β时,α、β可以相交;选项D中,α∥β时,l、m也可以异面. 故选A.
8.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( C )
A.4 B.
C. D.2
9.如图,BC是Rt△ABC的斜边,PA⊥平面ABC,PD⊥BC,则图中直角三角形的个数是( A )
A.8 B.7
C.6 D.5
[解析] 易知PA⊥AC,PA⊥AD,PA⊥AB,BC⊥AD,BC⊥PD,AC⊥AB. 图中的直角三角形分别为△PAC,△PAD,△PAB,△ADC,△ADB,△PCD,△PDB,△ABC,共8个,故选A.
10.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( C )
A.20π B.24π
C.28π D.32π
[解析] 该几何体的表面积由圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面圆的面积组成. 其中,圆锥的底面半径为2,母线长为=4,圆柱的底面半径为2,高为4,故所求表面积S=π×2×4+2π×2×4+π×22=28π.
11.用平行于圆锥底面的平面截圆锥,所得截面面积与底面面积的比是1∶3,这截面把圆锥母线分为两段的比是( B )
A.1∶3 B.1∶(-1)
C.1∶9 D.∶2
[解析] 如图由题意可知,⊙O1与⊙O2面积之比为1∶3,
∴半径O1A1与OA之比为1∶,
∴=,∴=.
12.已知圆C方程为(x-2)2+(y-1)2=9,直线l的方程为3x-4y-12=0,在圆C上到直线l的距离为1的点有几个( B )
A.4 B.3
C.2 D.1
[解析] 圆心C(2,1),半径r=3,
圆心C到直线3x-4y-12=0的距离d==2,
即r-d=1.
∴在圆C上到直线l的距离为1的点有3个.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)
13.若点(2,k)到直线3x-4y+6=0的距离为4,则k的值等于__-2或8__.
[解析] 由题意,得=4,
∴k=-2或8.
14.两平行直线l1:3x+4y-2=0与l2:6x+8y-5=0之间的距离为____.
[解析] 直线l2的方程可化为3x+4y-=0,故两平行直线l1、l2之间的距离d==.
15.若直线x+y-a=0与圆x2+y2-2x=0相切,则a的值为__-1或3__. [解析] 圆心为(1,0),半径r=1,由题意,得=1,∴a=-1或3.
16.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为__π__.
三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本题满分10分)直线l经过直线x+y-2=0和直线x-y+4=0的交点,且与直线3x-2y+4=0平行,求直线l的方程.
[解析] 解法一:由,得.
即直线l过点(-1,3).
∵直线l的斜率为,∴直线l的方程为y-3=(x+1),即3x-2y+9=0.
解法二:由题意可设直线l的方程为x-y+4+λ(x+y-2)=0,
整理得(1+λ)x+(λ-1)y+4-2λ=0,
∵直线l与直线3x-2y+4=0平行,
∴-2(1+λ)=3(λ-1),∴λ=.
∴直线l的方程为x-y+=0,即3x-2y+9=0.
18.(本题满分12分)(2015·北京文,18)如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O、M分别为AB、VA的中点.
(1)求证:VB∥平面MOC;
(2)求证:平面MOC⊥平面VAB;
(3)求三棱锥V-ABC的体积.
[解析] (1)∵O、M分别为AB、VA的中点,
∴OM∥VB.
又∵VB⊄平面MOC,OM⊂平面MOC
∴VB∥平面MOC.
(2)∵AC=BC,O为AB的中点,
∴OC⊥AB.
又∵平面VAB⊥平面ABC,且OC⊂平面ABC,平面VAB∩平面ABC=AB
∴OC⊥平面VAB. 又∵OC⊂平面MOC
∴平面MOC⊥平面VAB.
(3)在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=,
∴AB=2,OC=1.
∴等边三角形VAB的面积S△VAB=.
又∵OC⊥平面VAB,
∴三棱锥C-VAB的体积等于×OC×S△VAB=.
又∵三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等,
∴三棱锥V-ABC的体积为.
19.(本题满分12分)在△ABC中,BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在的直线方程为y=0. 若B的坐标为(1,2),求△ABC三边所在直线方程及点C坐标.
[解析] BC边上高AD所在直线方程x-2y+1=0,
∴kBC=-2,
∴BC边所在直线方程为:y-2=-2(x-1)即2x+y-4=0.
由,得A(-1,0),
∴直线AB:x-y+1=0,点B(1,2)关于y=0的对称点B′(1,-2)在边AC上,
∴直线AC:x+y+1=0,
由,得点C(5,-6).
20.(本题满分12分)(2017·江苏,15)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.
求证:(1)EF∥平面ABC;
(2)AD⊥AC.
[解析] (1)在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD,所以EF∥AB.
又因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,
所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BC⊂平面BCD,BC⊥BD,
所以BC⊥平面ABD.
因为AD⊂平面ABD,所以BC⊥AD.
又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AD⊥平面ABC. 又因为AC⊂平面ABC,所以AD⊥AC.
21.(本题满分12分)已知圆C与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且经过点A(6,1),求圆C的方程.
[解析] ∵圆心在直线x-3y=0上,
∴设圆心坐标为(3a,a),
又圆C与y轴相切,∴半径r=3|a|,圆的标准方程为(x-3a)2+(y-a)2=9a2,
又∵过点A(6,1),
∴(6-3a)2+(1-a)2=9a2,即a2-38a+37=0,
∴a=1或a=37,
∴所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x-111)2+(y-37)2=12 321.
22.(本题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD.
(1)在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由;
(2)证明:平面PAB⊥平面PBD.
[解析] (1)取棱AD的中点M(M∈平面PAD),点M即为所求的一个点.
理由如下:
因为AD∥BC,BC=AD,所以BC∥AM,且BC=AM,
所以四边形AMCB是平行四边形,
从而CM∥AB.
又AB⊂平面PAB,CM⊄平面PAB,
所以CM∥平面PAB.
(说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)
(2)由已知,PA⊥AB,PA⊥CD,
因为AD∥BC,BC=AD,所以直线AB与CD相交.
所以PA⊥平面ABCD.
从而PA⊥BD.
连接BM,
因为AD∥BC,BC=AD,
所以BC∥MD,且BC=MD.
所以四边形BCDM是平行四边形.
所以BM=CD=AD,所以BD⊥AB.
又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.
又BD⊂平面PBD.
所以平面PAB⊥平面PBD.