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- 2021-07-01 发布
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第1章 1.2
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.“|x|=|y|”是“x=y”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析: |x|=|y|⇒x=y或x=-y,但x=y⇒|x|=|y|.
故|x|=|y|是x=y的必要不充分条件.
答案: B
2.“x=2kπ+(k∈Z)”是“tan x=1”成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析: 当x=2kπ+时,tan x=1,而tan x=1得x=kπ+,
所以“x=2kπ+”是“tan x=1”成立的充分不必要条件.故选A.
答案: A
3.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析: ∵x≥2且y≥2,
∴x2+y2≥4,
∴x≥2且y≥2是x2+y2≥4的充分条件;
而x2+y2≥4不一定得出x≥2且y≥2,例如当x≤-2且y≤-2时,x2+y2≥4亦成立,故x≥2且y≥2不是x2+y2≥4的必要条件.
答案: A
4.设A是B的充分不必要条件,C是B的必要不充分条件,D是C的充要条件,则D是A的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
解析: 由题意得:
故D是A的必要不充分条件
答案: B
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.下列命题中是假命题的是________.(填序号)
(1)x>2且y>3是x+y>5的充要条件
(2)A∩B≠∅是AB的充分条件
(3)b2-4ac<0是ax2+bx+c<0的解集为R的充要条件
(4)三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形
解析: (1)因x>2且y>3⇒x+y>5,
x+y>5⇒/ x>2且y>3,
故x>2且y>3是x+y>5的充分不必要条件.
(2)因A∩B≠∅⇒/ AB, AB⇒A∩B≠∅.
故A∩B≠∅是AB的必要不充分条件.
(3)因b2-4ac<0⇒/ ax2+bx+c<0的解集为R,
ax2+bx+c<0的解集为R⇒a<0且b2-4ac<0,
故b2-4ac<0是ax2+bx+c<0的解集为R的既不必要也不充分条件.
(4)三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形.
答案: (1)(2)(3)
6.设集合A=,B={x|00对一切实数x都成立的充要条件.
证明: 充分性:∵00对一切实数x都成立.
而当a=0时,不等式ax2-ax+1-a>0可变成1>0.
显然当a=0时,不等式ax2-ax+1-a>0对一切实数x都成立.
必要性:∵ax2-ax+1-a>0对一切实数x都成立,
∴a=0或
解得0≤a<.
故0≤a<是不等式ax2-ax+1-a>0对一切实数x都成立的充要条件.
尖子生题库☆☆☆
9.(10分)已知条件p:A={x|2a≤x≤a2+1},条件q:B={x|x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0}.若p是q的充分条件,求实数a的取值范围.
解析: 先化简B,B={x|(x-2)[x-(3a+1)]≤0},
①当a≥时,B={x|2≤x≤3a+1};
②当a<时,B={x|3a+1≤x≤2}.
因为p是q的充分条件,
所以A⊆B,从而有,
解得1≤a≤3.
或,解得a=-1.
综上,所求a的取值范围是{a|1≤a≤3或a=-1}.