2017-2018学年辽宁省瓦房店市高级中学高二上学期12月月考数学（文）试题 7页

2017-2018 学年辽宁省瓦房店市高级中学高 二上学期 12 月月考数学（文科）试题 时间：120 分钟 满分：150 分 命题人： 一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知 ，则下列命题正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 2. 已知集合 ，则 等于（ ） A ． B ． C ． D． 3. 命题“若 都是奇数，则 是偶数”的逆否命题是( ) A.若 不是偶数，则 都不是奇数 B.若 不是偶数，则 不都是奇数 C.若 是偶数，则 都是奇数 D.若 是偶数，则 不都是奇数 4. 双曲线 的焦点到其渐近线的距离为（ ） A． B． C． D． 5. 已知 ,则 的最小值是( ) A. 5 B. 4 C. D.9 6. 若实数 满足 ，则 的最小值是（ ） A．3 B．1 C． D．6 7. 明代程大位《算法统宗》卷 10 中有题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增， 2z x y= − , ,a b c∈R a b> a c b c− > − a b> a b c c > ac bc> a b> a b> 2 2ac bc> }1|3||{},032|{ 2 <−=≤−−= xxBxxxA BA  }41|{ ≤≤− xx }41|{ <≤− xx }32|{ <≤ xx }32|{ ≤< xx ,a b a b+ a b+ ,a b a b+ ,a b a b+ ,a b a b+ ,a b 2 2 =14 12 x y− 2 3 3 4 2 0, 0, 2a b a b> > + = 1 4y a b = + 9 2 yx,    ≥++ ≥+− ≤−− 033 035 01 yx yx yx 6− 共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”你的答案是( ) A． 盏 B． 盏 C． 盏 D． 盏 8. 已知直线 和直线 ，抛物线 上一动点 到直线 和直线 的距离之和的最小值是（　　） A． B． C． D. 9. 设 点 是 椭 圆 上 一 点 ， 分 别 是 两 圆 和 上的点，则 的最大值为 ( ) A．8 B．9 C．11 D．12 10. 已知 分别为双曲线 的左右焦点， 为双曲线右支 上的任意一点，若 的最小值等于 ，则双曲线的离心率 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 11. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必 要条件 12. 下列命题中正确的个数是（ ） ①命题“ ”的否定是“ ” ②“函数 的最小正周期为 ”是“ ”的必要不充分条 件 ③“平面向量 与 的夹角是锐角”的充要条件是“ ” ④在 中，角 所对的边分别是 ，则“ ”是“ ”的充要 条件 A．4 B．3 C．2 D．1 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13. 若抛物线 上一点 到 轴的距离为 3，则点 到抛物线的焦点 的距 离为_____. 2 4y x= P 1l 2l 37 16 2 3 4 7 1 : 4 3 6 0l x y− + = 2 : 2l x = − 2 3 11 5 P 1925 22 =+ yx NM , 1)4( 22 =++ yx 1)4( 22 =+− yx |||| PNPM + 1 2,F F 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > P 2 1 2 | | | | PF PF 8a e (1,3] (1, 3] [ 3,3] [3, )+∞ Rba ∈, ba > |||| bbaa > 0 2 00 31, xxRx >+∈∃ xxRx 31, 2 ≤+∈∀ axaxxf 22 sincos)( −= π 1=a a b 0>⋅ba ABC∆ CBA ,, cba ,, ba > BA > xy 42 = P y P F 14. 设 为等差数列 的前 项和,若 ,则 ________. 15. 已知椭圆 ： 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆 于 两点，若 的中点坐标为 ，则椭圆 的方程为 ． 16. 已知 是双曲线 的左焦点, 是双曲线右支上的动点,则 的最小值为________. 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 10 分） 已知 ，命题 ：对 ，不等式 恒成立；命题 ： ，使得 成立． （1）若 为真命题，求 的取值范围； （2）当 时，若 为假， 为真，求 的取值范围． 18.（本小题满分 12 分） 经过抛物线 焦点的直线 交该抛物线于 两点． （1）若直线 的斜率是 ，求 的值； （2）若 是坐标原点，求 的值． 19.（本小题满分 12 分） 已知关于 的不等式 . （1）当 时，解该不等式; （2）当 时，解该不等式. 20.（本小题满分 12 分） nS { }na n 3 63 24S S= =， 9a = C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > )0,3(F F BA, AB )1,1( − C F 2 2 14 12 x y− = (1,4),A P PF PA+ m R∈ p [0,1]x∀ ∈ 22 2 3x m m− ≥ − q [ 1,1]x∃ ∈ − m ax≤ p m 1a = p q∧ p q∨ m 2 8y x= l ,A B l 2 2 | |AB O OA OB⋅  x ( 1) 3 11 a x x + − <− 1a = 0a > 已知一焦点在 轴上，中心在原点的双曲线的实轴长等于虚轴长，且经过点 . (1)求该双曲线的方程； (2)若直线 与该双曲线有且只有一个公共点，求实数 的值. 21.（本小题满分 12 分） 数列 的前 项和记为 ,已知 （1）证明：数列 是等比数列； （2）求数列 的前 项和 . 22.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 的离心率为 ，短轴一个端点到右焦点的距 离为 ． （1）求椭圆 的方程； （2）设直线 与椭圆 交于 两点，坐标原点 到直线 的距离为 ，求 面积的最大值． 6 3 C l C O l 3 2 AOB△ x (2, 3) 1+=kxy k { }na n nS 1 1 22, ( 1,2,3, ).n n na a S nn+ += = =  nS n     { }nS n nT 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 3 ,A B 高二 12 月月考数学（文科）参考答案 一、选择题 二、填空题 13、 4 14、 15 15、 16、9 三、解答题 17. 解：（1）对任意 ，不等式 恒成立，∴ ， 解得 ．………………………4 分 （2） 时，存在 ，使得 成立．∴ ．…………6 分 ∵ 且 为假， 或 为真， ∴ 与 必然一真一假， ∴ 或 ，解得 或 ． ∴ 的取值范围是 ．………………………10 分 18. 解：（1）抛物的焦点是 ，直线 方程是 ，与 联立得 ，解得 ， ．所以 ． …………6 分 （2）当 垂直于 轴时， ， ．…8 分 当 不 垂 直 于 轴 时 ， 设 ， 代 入 得 ， 所 以 ，从而 ．故 ． 综上 ． …………12 分 19. 解：原不等式可化为 ，即 , 等价于 . …………………2 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D B A C C B B D A C B 2 2 118 9 x y+ = [0,1]x∈ 22 2 3x m m− ≥ − 22 3m m− ≥ − 1 2m≤ ≤ 1a = [ 1,1]x∈ − m ax≤ 1m ≤ p q p q p q 1 2 1 m m ≤ ≤  > 1 2 1 m m m < >  ≤ 或 1 2m< ≤ 1m < m ( ,1) (1,2]−∞  (2,0) l 2 2( 2)y x= − 2 8y x= 2 5 4 0x x− + = 1 1x = 2 4x = 1 2| | 4 9AB x x= + + = l x (2,4), (2, 4)A B − 2 2 4 ( 4) 12OA OB⋅ = × + × − = −  l x : ( 2)l y k x= − 2 8 yx = 2 2 08 k y y k− − = 1 2 2 16 8 ky y k −= = − 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 48 8 64 y y y yx x = ⋅ = = 1 2 1 2 12OA OB x x y y⋅ = + = −  12OA OB⋅ = −  ( 1) 3 1 01 a x x + − − <− 2 01 ax x − <− ( 2)( 1) 0ax x− − < （1）当 时，不等式等价于 , ∴ . ∴原不等式的解集为 . ………………4 分 （2）∵原不等式等价于 , 又 , ∴ . ……………………………6 分 当 ，即 时，解集为 ; ……………8 分 当 ，即 时，解集为 ;……………10 分 当 ，即 时，解集为 . …………12 分 20. 解(1)∵ ,∴所求圆锥曲线为等轴双曲线. ∴设双曲线方程为 ∵双曲线经过点 ,∴ ∴ ……………………2 分 ∴所求双曲线方程为 ……………………4 分 (2) ……………………6 分 ① ……………………8 分 ② 　 …………10 分 直线与双曲线有且只有一个公共点.……………12 分 21. （1）证明：因为 , 又 数列 是等比数列,首项为 ，公比为 的等比数列. ……………6 分 （2）由（1）可知 1a = ( 1)( 2) 0x x− − < 1 2x< < { |1 2}x x< < ( 2)( 1) 0ax x− − < 0a > 2( )( 1) 0x xa − − < 2 1a > 0 2a< < 2{ |1 }x x a < < 2 1a = 2a = Φ 2 1a < 2a > 2{ | 1}x xa < < a b= 2 2 2 2 1( 0)x y a a a − = > (2, 3) 2 2 2 2 2 ( 3) 1 a a − = 1a = 2 2 1x y− = 2 2 2 2 1 ( 1) 2 2 0 1 y kx k x kx x y = + ⇒ − + + = − = 2 1 1,k k= = ±当 时， 直线与双曲线的渐近线平行， ∴直线与双曲线有一个交点. 2 2 2 21 4 8( 1) 0 2 2,k k k k k≠ ∆ = − − = ⇒ = ⇒ = ±当 时， 1 2 ,k k∴ = ± = ±或 时 1 1 2 n n n n na S S Sn+ + += − = 1 2 ,1 n nS S n n +∴ =+ 1 2,a = 1 1 12 0 21 , n n S S n S n + +∴ = ≠ ∴ = ∴ nS n     2 2 2 , 2n nn n S S nn = ∴ = ⋅ Tn=2+2·22+3·23+…(n-1)·2n-1 +n·2n, 2Tn=22+2·23+3·24+…+(n-1)2n+n·2n+1, 所以 Tn-2Tn=-Tn=2+22+23+24+…+2n-n·2n+1 =(1-n)2n+1-2, 所以 Tn=(n-1)2n+1+2. ……………12 分 22. 解：（1）设椭圆的半焦距为 ，依题意 ，……………………2 分 所求椭圆方程为 ．……………………3 分 (2)设 ， ． ①当 轴时， ．……………………4 分 ②当 与 轴不垂直时， 设直线 的方程为 ． 由已知 ，得 ．……………………5 分 把 代入椭圆方程，整理得 ， ， ．……………………6 分 ……………………8 分 ． 当且仅当 ，即 时等号成立． 当 时， ，综上所述 ．……11 分 当 最大时， 面积取最大值 ．… 12 分 c 6 3 3 c a a  =  = ， ， 1b∴ = ∴ 2 2 13 x y+ = 1 1( )A x y， 2 2( )B x y， AB x⊥ 3AB = AB x AB y kx m= + 2 3 21 m k = + 2 23 ( 1)4m k= + y kx m= + 2 2 2(3 1) 6 3 3 0k x kmx m+ + + − = 1 2 2 6 3 1 kmx x k −∴ + = + 2 1 2 2 3( 1) 3 1 mx x k −= + 2 2 2 2 1(1 )( )AB k x x∴ = + − 2 2 2 2 2 2 2 36 12( 1)(1 ) (3 1) 3 1 k m mk k k  −= + − + +  2 2 2 2 2 2 2 2 2 12( 1)(3 1 ) 3( 1)(9 1) (3 1) (3 1) k k m k k k k + + − + += =+ + 2 4 2 2 2 12 12 123 3 ( 0) 3 419 6 1 2 3 69 6 k kk k k k = + = + ≠ + =+ + × ++ + ≤ 2 2 19k k = 3 3k = ± 0k = 3AB = max 2AB = ∴ AB max 1 3 3 2 2 2S AB= × × =AOB∆