高中数学必修4同步练习：三角函数的诱导公式(二) 5页

必修四 1.3三角函数的诱导公式(二)‎ 一、选择题 ‎1、已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎2、已知cos＝，且|φ|＜，则tan φ等于(　　)‎ A．－ B. C．－ D. ‎3、若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(2π－α)的值为(　　)‎ A．－ B. C．－ D. ‎4、已知sin＝，则cos的值等于(　　)‎ A．－ B. C. D. ‎5、若sin(3π＋α)＝－，则cos 等于(　　)‎ A．－ B. C. D．－ ‎6、已知f(sin x)＝cos 3x，则f(cos 10°)的值为(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 二、填空题 ‎7、已知tan(3π＋α)＝2，则＝________.‎ ‎8、sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°＝________.‎ ‎9、代数式sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是______．‎ ‎10、若sin＝，则cos＝________.‎ 三、解答题 ‎11、是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式 同时成立．‎ 若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．‎ ‎12、化简：sin＋cos (k∈Z)．‎ ‎13、已知sin·cos＝，且<α<，求sin α与cos α的值．‎ ‎14、求证：＝－tan α.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、D　[sin(α－15°)＋cos(105°－α)‎ ‎＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]‎ ‎＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)‎ ‎＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)‎ ‎＝－2cos(75°＋α)＝－.]‎ ‎2、C　[由cos＝－sin φ＝，得sin φ＝－，‎ 又∵|φ|<，∴φ＝－，∴tan φ＝－.]‎ ‎3、C　[∵sin(π＋α)＋cos＝－sin α－sin α＝－m，‎ ‎∴sin α＝.cos＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－m.]‎ ‎4、A　[cos＝sin＝sin＝－sin＝－.]‎ ‎5、A　[∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝.‎ ‎∴cos＝cos＝－cos＝－sin α＝－.]‎ ‎6、A　[f(cos 10°)＝f(sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－.]‎ 二、填空题 ‎7、2‎ 解析　原式＝＝＝＝2.‎ ‎8、 解析　原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44＋ ‎＝.‎ ‎9、1‎ 解析　原式＝sin2(A＋45°)＋sin2(45°－A)＝sin2(A＋45°)＋cos2(A＋45°)＝1.‎ ‎10、－ 解析　cos＝cos＝－sin＝－.‎ 三、解答题 ‎11、解　由条件，得 ‎①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，③‎ 又因为sin2α＋sin2α＝1，④‎ 由③④得sin2α＝，即sin α＝±，‎ 因为α∈，所以α＝或α＝－.‎ 当α＝时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，‎ 所以β＝，代入①可知符合．‎ 当α＝－时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，‎ 所以β＝，代入①可知不符合．‎ 综上所述，存在α＝，β＝满足条件．‎ ‎12、解　原式＝sin＋cos.‎ 当k为奇数时，设k＝2n＋1 (n∈Z)，则 原式＝sin＋cos ‎＝sin＋cos ‎＝sin＋ ‎＝sin－cos ‎＝sin－sin＝0；‎ 当k为偶数时，设k＝2n (n∈Z)，则 原式＝sin＋cos ‎＝－sin＋cos ‎＝－sin＋cos ‎＝－sin＋sin＝0.‎ 综上所述，原式＝0.‎ ‎13、解　sin＝－cos α，‎ cos＝cos＝－sin α.‎ ‎∴sin α·cos α＝，即2sin α·cos α＝. ①‎ 又∵sin2α＋cos2α＝1， ②‎ ‎①＋②得(sin α＋cos α)2＝，‎ ‎②－①得(sin α－cos α)2＝，‎ 又∵α∈，∴sin α>cos α>0，‎ 即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，‎ ‎∴sin α＋cos α＝， ③‎ sin α－cos α＝， ④‎ ‎③＋④得sin α＝，③－④得cos α＝.‎ ‎14、证明　左边＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝－＝－tan α＝右边．‎ ‎∴原等式成立．‎