江西省赣州市石城县石城中学2020届高三下学期周考数学（文）试卷 12页

‎（文数）考试卷 一、 选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若，则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）‎ A．乙的数据分析素养优于甲 B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养 C．甲的六大素养整体水平优于乙 D．甲的六大素养中数据分析最差 ‎4．已知点，是抛物线：上的两点，且线段过抛物线的焦点，若的中点到轴的距离为2，则（ ）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎5．已知向量，满足，且，，则向量与的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．2021年广东新高考将实行模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假若他们都对后面三科没有偏好，则他们选课相同的概率( )‎ A． B． C． D．‎ ‎8．函数的图像大致为 A． B．‎ C． D．‎ ‎9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知是定义在上的函数，且，如果当时，，则（ ）‎ A．27 B．-27 C．9 D．-9‎ ‎11．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前55项和为( )‎ A．4072 B．2026 C．4096 D．2048‎ ‎12．设函数.若不等式对一切恒成立，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 一、 填空题：每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.‎ ‎13．已知直线与函数的图象相邻两个交点的横坐标分别为，，则__________．‎ ‎14．记命题为“点满足”，记命题为“满足”,若是的充分不必要条件，则实数的最大值为______．‎ ‎15.(错题重现）如图，在平面四边形中，，，，，‎ 则的最小值为____.‎ ‎16．已知函数，若函数在 上有两个不同的零点，则实数的取值范围是__________．‎ 三、解答题 :本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题至21题为必答题，,第22题第23题为选答题.‎ ‎(一)必答题（每题12分，共60分）‎ ‎17．已知等差数列的前项和为，且满足的解集为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，求数列的前项和.‎ ‎18．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：万元）对年销售量（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响．对近六年的年宣传费和年销售量（）的数据作了初步统计，得到如下数据：‎ 年份 年宣传费（万元）‎ 年销售量（吨）‎ 经电脑模拟，发现年宣传费（万元）与年销售量（吨）之间近似满足关系式（）．对上述数据作了初步处理，得到相关的值如表：‎ ‎（1）根据所给数据，求关于的回归方程；‎ ‎（2）已知这种产品的年利润与，的关系为若想在年达到年利润最大，请预测年的宣传费用是多少万元？‎ 附：对于一组数据，，…，，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为，‎ ‎19．如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，其中点在以为直径的圆上，，，，平面平面.‎ ‎（1）证明：平面.‎ ‎（2）设点是线段（不含端点）上一动点，当三棱锥的体积为1时，求异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎20．如图，已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切与圆外切．‎ 求动圆圆心的轨迹的方程；‎ 过直线上的点作圆的两条切线，设切点分别是，若直线与轨迹交于两点，求的最小值．‎ ‎21．已知函数，.‎ ‎（1）求使方程存在两个实数解时，的取值范围；‎ ‎（2）设，函数，.若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围.‎ （二） 选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）‎ ‎22．在直角坐标系中，圆经过伸缩变换后得到曲线．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程及直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点是上一动点，求点到直线的距离的最大值．‎ ‎．‎ ‎23．已知函数f（x）＝|ax﹣1|﹣|2x+a|的图象如图所示．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）设g（x）＝f（x）+f（x﹣1），g（x）的最大值为t，若正数m，n满足m+n＝t，证明：．‎ ‎（文数）答案 1- ‎-5：BDCCB 6--10：BBAAB 11-12;AD 13. ‎1 14. 15. 16. ‎ ‎17解：（1）因为的解集为 所以且，.......2分 ‎，‎ ‎，........6分 ‎（2）由（1）可得 ‎，.......8分 ‎........12分 ‎18（1）对，（，），两边取对数得，.....1分 令，，得，.......2分 由题目中的数据，计算，，......3分 且 ，‎ ‎；‎ 则 ，.......6分 ‎，.....7分 得出，‎ 所以关于的回归方程是；.......8分 ‎（2）由题意知这种产品的年利润z的预测值为 ‎ ，....9分 所以当，即时，取得最大值，....11分 即当2019年的年宣传费用是万元时，年利润有最大值.......12分 ‎19【详解】‎ ‎（1）连接，，因为点在以为直径的圆上，所以.‎ 因为，所以，.‎ 所以.......2分 因为为等腰梯形，，‎ 所以..........3分 又因为，，‎ 所以，从而得. .........4分 又因为平面平面，平面平面，‎ 所以平面............5分 ‎（2）由（1）得，.......6分 设，则，‎ 所以，解得，......8分 即点是线段的中点 取的中点为，连接，则由（1）及条件得，且，‎ 所以四边形为平行四边形，从而，且，‎ 所以为异面直线与所成角（或补角）......9分 因为，所以.‎ 因为，所以，‎ 所以，....10分 所以，‎ 即异面直线与所成角的余弦值为......12分 ‎20（Ⅰ）设动圆的半径为，∵动圆与圆内切，与圆外切，‎ ‎∴，且.于是，，.....2分 所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆.从而，，‎ 所以.故动圆圆心的轨迹的方程为．.......4分 ‎（Ⅱ）设直线上任意一点的坐标是，切点坐标分别是，‎ ‎；则经过点的切线斜率，方程是，‎ 经过点的切线方程是，.........6分 又两条切线，相交于 .‎ ‎ 则有，所以经过两点的直线的方程是，....7分 ‎①当时，有，，，，则；.......8分 ‎②当时，联立，整理得；‎ 设坐标分别为，，则，..........10分 所以，‎ 综上所述，当时，有最小值．.........12分 ‎21（1）.‎ 令，得；令，得，‎ 所以函数在区间上单调递增，在上单调递减，......2分 所以，又，，‎ 要使方程存在两个实数解，则，‎ 解得.......4分 ‎（2）由（1）知，设的值域为，因为对任意，总存在，使得，所以........6分 因为，所以，‎ 当时，在上恒成立，所以在上单调递减，‎ 又，不可能满足......7分 当时，由于，‎ 若，即，在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎，又，，要使，则必须有，化简得，解得，又，所以.‎ ‎................10分 若，即，在上单调递减，不可能满足...........11分 综上，实数的取值范围为.........12分 ‎22（Ⅰ）由经过伸缩变换，可得曲线的方程为，‎ 即，.........3分 由极坐标方程可得直线的直角坐标方程为．...5分 ‎（Ⅱ）因为椭圆的参数方程为 （为参数），所以可设点， ‎ 由点到直线的距离公式，点到直线的距离为（其中，），由三角函数性质知，当时，点到直线的距离有最大值．......10分 ‎23（1）解：由，得，即.‎ 由，得，所以........4分 ‎（2）证明：由（1）知，‎ 所以 ，‎ 显然的最大值为6，即......7分 因为，‎ 所以.‎ 因为（当且仅当，时取等号），‎ 所以......10分