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- 2021-07-01 发布
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2.3 二次函数与幂函数
挖命题
【考情探究】
考点
内容解读
5年考情
预测热度
考题示例
考向
关联考点
1.二次
函数
了解二次函数,理解二次函数图象,能结合图象分析二次函数对称轴与顶点坐标的关系
2017浙江,5,4分
二次函数的最值
分段函数
★★★
2015四川,9,5分
二次函数的单调性
基本不等式
2015陕西,12,5分
二次函数的图象与性质
函数极值
2.幂函数
了解幂函数的概念;结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x12的图象,了解它们的变化情况
2018上海,7,5分
幂函数的性质
函数的单调性及奇偶性
★☆☆
2014浙江,7,5分
幂函数的图象
对数函数图象
分析解读 1.会求二次函数在给定区间上的最值.2.掌握“三个二次”,即二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系,解决含参数不等式恒成立问题及一元二次方程根的分布问题.3.理解幂函数的图象与性质,会识图与作图.4.以二次函数、幂函数为载体,考查函数性质及应用是高考热点.5.高考对本节主要考查二次函数的单调区间、最值以及有关参数的范围等问题,对幂函数的考查是以幂函数的图象为载体,研究幂函数的性质,分值约为5分,属中低档题.
破考点
【考点集训】
考点一 二次函数
1.(2017河北武邑第三次调研,9)已知定义在R上的奇函数f(x)满足:当x≥0时, f(x)=x3,若不等式f(-4t)>f(2m+mt2)对任意实数t恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,-2) B.(-2,0)
C.(-∞,0)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
答案 A
2.(2018北京东城二十七中期中,13)已知函数f(x)=ax2+bx+1(a、b为实数,a≠0,x∈R),若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),则f(x)的表达式为 ,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,则实数k的取值范围是 .
答案 f(x)=x2+2x+1;(-∞,-2]∪[6,+∞)
考点二 幂函数
1.(2018福建模拟,3)已知a=0.40.3,b=0.30.4,c=0.3-0.2,则( )
A.b0,解得a≥-54,a>-2,a>1或a<-1,
即a>1或-54≤a<-1.
∴实数a的取值范围是-54,-1∪(1,+∞).
(2)∵方程x2+2(a+2)x+a2-1=0有一个正根和一个负根,
∴f(0)=a2-1<0,解得-10),g(x)=logax的图象可能是( )
答案 D
2.(2018上海,7,5分)已知α∈-2,-1,-12,12,1,2,3.若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α= .
答案 -1
教师专用题组
考点一 二次函数
1.(2015陕西,12,5分)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零整数··),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( )
A.-1是f(x)的零点 B.1是f(x)的极值点
C.3是f(x)的极值 D.点(2,8)在曲线y=f(x)上
答案 A
2.(2014大纲全国,16,5分)若函数f(x)=cos 2x+asin x在区间π6,π2是减函数,则a的取值范围是 .
答案 (-∞,2]
3.(2014辽宁,16,5分)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,3a
-4b+5c的最小值为 .
答案 -2
4.(2015浙江,18,15分)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值.
(1)证明:当|a|≥2时,M(a,b)≥2;
(2)当a,b满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值.
解析 (1)证明:由f(x)=x+a22+b-a24,得对称轴为直线x=-a2.
由|a|≥2,得-a2≥1,故f(x)在[-1,1]上单调,
所以M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|}.
当a≥2时,由f(1)-f(-1)=2a≥4,
得max{f(1),-f(-1)}≥2,
即M(a,b)≥2.
当a≤-2时,由f(-1)-f(1)=-2a≥4,
得max{f(-1),-f(1)}≥2,即M(a,b)≥2.
综上,当|a|≥2时,M(a,b)≥2.
(2)由M(a,b)≤2得|1+a+b|=|f(1)|≤2,|1-a+b|=|f(-1)|≤2,
故|a+b|≤3,|a-b|≤3,
由|a|+|b|=|a+b|,ab≥0,|a-b|,ab<0,得|a|+|b|≤3.
当a=2,b=-1时,|a|+|b|=3, |f(x)|=|x2+2x-1|,此时易知|f(x)|在[-1,1]上的最大值为2,即M(2,-1)=2.
所以|a|+|b|的最大值为3.
考点二 幂函数
(2014上海,9,4分)若f(x)=x23-x-12,则满足f(x)<0的x的取值范围是 .
答案 (0,1)
【三年模拟】
一、选择题(每小题5分,共45分)
1.(2019届辽宁部分重点高中联考,8)函数y=1-|x-x2|的图象大致是( )
答案 C
2.(2019届吉林长春外国语学校期中考试,5)函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是( )
A.(-∞,2] B.[0,2] C.[1,2] D.[1,+∞)
答案 C
3.(2019届吉林长春实验中学期中考试,5)函数f(x)=(m2-m-1)xm2+2m-5是幂函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0,若a,b∈R,且a+b>0,则f(a)+f(b)的值( )
A.恒大于0 B.恒小于0
C.等于0 D.无法判断
答案 A
4.(2018河北衡水金卷信息卷(二),8)已知函数f(x)=-10sin2x-10sin x-12,x∈-π2,m的值域为-12,2,则实数m的取值范围是( )
A.-π3,0 B.-π6,0 C.-π3,π6 D.-π6,π3
答案 B
5.(2018湖北武汉模拟,10)幂函数y=xα,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图),设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xa,y=xb的图象三等分,即有BM=MN=NA,那么a-1b=( )
A.0 B.1 C.12 D.2
答案 A
6.(2018山东德州期中,8)已知f(x)=ax2+(b-a)x+c-b(其中a>b>c且a≠0),若a+b+c=0,x1、x2为f(x)的两个零点,则|x1-x2|的取值范围为( )
A.32,23 B.(2,23)
C.(1,2) D.(1,23)
答案 A
7.(2017安徽滁州期末,10)已知函数f(x)=x2+(2a-1)x+1,若对区间(2,+∞)内的任意两个不等实数x1,x2都有f(x1-1)-f(x2-1)x1-x2>0,则实数a的取值范围是( )
A.-∞,-12 B.-52,+∞
C.-12,+∞ D.-∞,-52
答案 C
8.(2019届安徽定远重点中学第一次月考,12)已知函数f(x)=(m2-m-1)x4m9-m5-1是幂函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值( )
A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于 D.无法判断
答案 A
9.(2018河南开封模拟,12)已知不等式xy≤ax2+2y2对x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.[-1,+∞ ) B.(-∞,1] C.(0,2] D.[-1,2]
答案 A
二、填空题(每小题5分,共10分)
10.(2019届湖南邵阳10月大联考,15)若对任意的x∈[a,a+2],均有(3x+a)3≤8x3,则a
的取值范围是 .
答案 (-∞,-1]
11.(2017河北衡水中学第三次调研,16)已知函数f(x)=|lg(-x)|,x<0,x2-6x+4,x≥0,若关于x的方程f2(x)-bf(x)+1=0有8个不同的实数根,则实数b的取值范围是 .
答案 22x-9在[-1,1]上恒成立,
即x2-(m+1)x+m+2>0在[-1,1]上恒成立,
设f(x)=x2-(m+1)x+m+2,x∈[-1,1],则f(x)min>0,
当m+12≤-1,即m≤-3时, f(x)min=f(-1)=2m+4>0,
解得m>-2,无解;
当-10,此时1-220,此时m≥1.
综上,实数m的取值范围是m>1-22.
思路分析 (1)求出函数图象的对称轴,根据二次函数的单调性求出m的范围即可;
(2)问题转化为x2-(m+1)x+m+2>0对任意x∈[-1,1]恒成立,设f(x)=x2-(m+1)x+m+2,求出函数的对称轴方程,通过讨论对称轴的范围,求出m的范围即可.