2018届二轮复习立体几何文教案（全国通用）(1) 13页

专题四 立体几何教书用书 文 高考定位　高考对本内容的考查主要有：(1)空间概念，空间想象能力，点线面位置关系判断，表面积与体积计算等，A级要求；(2)线线、线面、面面平行与垂直的证明，B级要求.‎ 真 题 感 悟 ‎1.(2015·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.‎ 解析　设新的底面半径为r，由题意得πr2·4＋πr2·8＝π×52×4＋π×22×8，解得r＝.‎ 答案　 ‎2.(2016·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.‎ 求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；‎ ‎(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.‎ 证明　(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC.‎ 在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，‎ 所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.‎ 又DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，‎ 所以直线DE∥平面A1C1F.‎ ‎(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.‎ 因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.‎ 又A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.‎ 因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.‎ 又B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，‎ A1C1∩A1F＝A1.所以B1D⊥平面A1C1F，‎ 因为直线B1D⊂平面B1DE，‎ 所以平面B1DE⊥平面A1C1F.‎ 考 点 整 合 ‎1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系.‎ ‎2.空间几何体的两组常用公式 ‎(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：‎ ‎①S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)；‎ ‎②S锥侧＝ch′(c为底面周长，h′为斜高)；‎ ‎③S台侧＝(c＋c′)h′(c′，c分别为上下底面的周长，h′为斜高)；‎ ‎④S球表＝4πR2(R为球的半径).‎ ‎(2)柱体、锥体和球的体积公式：‎ ‎①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；‎ ‎②V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)；‎ ‎③V球＝πR3.‎ ‎3.直线、平面平行的判定及其性质 ‎(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.‎ ‎(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.‎ ‎(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.‎ ‎(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.‎ ‎4.直线、平面垂直的判定及其性质 ‎(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.‎ ‎(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.‎ ‎(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.‎ ‎(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.‎ 热点一　空间几何体的有关计算问题 ‎【例1】 (1)(2016·连云港调研)如图，在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，连接EF，‎ FB，DE，BD则几何体EFC1－DBC的体积为________.‎ ‎(2)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C 上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________.‎ ‎(3)(2016·南京、盐城模拟)设一个正方体与底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为________.‎ 解析　(1)如图，连接DF，DC1，那么几何体EFC1－DBC被分割成三棱锥D－EFC1及四棱锥D－CBFC1，那么几何体EFC1－BDC的体积为 V＝××3×4×6＋××(3＋6)×6×6＝12＋54＝66.‎ 故所求几何体EFC1－DBC的体积为66.‎ ‎(2)VD1－EDF＝VF－DD1E＝S△D1DE·AB＝××1×1×1＝.‎ 另解(特殊点法)：让E点和A点重合，点F与点C重合，‎ 则VD1－EDF＝×S△ACD×D1D＝××1×1×1＝.‎ ‎(3)由题意可得正四棱锥的高为2，体积为×(2)2×2＝8，则正方体的体积为8，所以棱长为2.‎ 答案　(1)66　(2)　(3)2‎ 探究提高　(1)涉及柱、锥及其简单组合体的计算问题，要在正确理解概念的基础上，画出符合题意的图形或辅助线(面)，再分析几何体的结构特征，从而进行解题.‎ ‎(2)求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.‎ ‎(3)若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法求解.‎ ‎【训练1】 (1)(2014·江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________.‎ ‎(2)(2012·江苏卷)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A BB1D1D的体积为________cm3.‎ ‎(3)(2016·苏州调研)将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r1，r2，r3，则r1＋r2＋r3＝________.‎ 解析　(1)设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由＝，得＝，则＝.‎ 由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，则＝，所以＝＝.‎ ‎(2)关键是求出四棱锥A BB1D1D的高，‎ 连接AC交BD于O，在长方体中，‎ ‎∵AB＝AD＝3，∴BD＝3且AC⊥BD.‎ 又∵BB1⊥底面ABCD，∴BB1⊥AC.‎ 又DB∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D1D，‎ ‎∴AO为四棱锥A BB1D1D的高且AO＝BD＝.‎ ‎∵S矩形BB1D1D＝BD×BB1＝3×2＝6， ‎ ‎∴VA BB1D1D＝S矩形BB1D1D·AO＝×6×＝6(cm3).‎ ‎(3)由题意可得三个扇形的弧长分别为，，5π，分别等于三个圆锥底面圆的周长，则r1＝，r2＝，r3＝，所以r1＋r2＋r3＝＋＋＝5.‎ 答案　(1)　(2)6　(3)5‎ 热点二　空间中的平行和垂直的判断与证明问题 ‎[微题型1]　空间线面位置关系的判断 ‎【例2－1】 (1)已知平面α、β，直线m，n，给出下列命题：‎ ‎①若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；‎ ‎②若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n；‎ ‎③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；‎ ‎④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n.‎ 其中是真命题的是________(填写所有真命题的序号).‎ ‎(2)(2016·全国Ⅱ卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.‎ ‎②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.‎ ‎③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.‎ ‎④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.‎ 其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号)‎ 解析　(1)若m∥α，n∥β，m∥n，则α，β可能平行或相交，①是假命题；若α∥β，m∥α，n∥β，则m，n可能是平行、相交、异面中的任何一种位置关系，②是假命题；由线面垂直的性质和面面垂直的判定可知③④是真命题，故真命题序号是③④.‎ ‎(2)当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，‎ 经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.‎ 答案　(1)③④　(2)②③④‎ 探究提高　长方体(或正方体)是一类特殊的几何体，其中蕴含着丰富的空间位置关系.因此，对于某些研究空间直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直关系问题，常构造长方体(或正方体)，把点、线、面的位置关系转移到长方体(或正方体)中，对各条件进行检验或推理，根据条件在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，判断条件的真伪，可使此类问题迅速获解.‎ ‎[微题型2]　平行、垂直关系的证明 ‎【例2－2】 (2015·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.‎ 求证：(1)DE∥平面AA1C1C；‎ ‎(2)BC1⊥AB1.‎ 证明　(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.‎ 又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，‎ 所以DE∥平面AA1C1C.‎ ‎(2)因为棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，‎ 所以CC1⊥平面ABC.‎ 因为AC⊂平面ABC，‎ 所以AC⊥CC1.‎ 又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，‎ 所以AC⊥平面BCC1B1.‎ 又因为BC1⊂平面BCC1B1，‎ 所以BC1⊥AC.‎ 因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，‎ 因此BC1⊥B1C.‎ 因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，‎ 所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，‎ 所以BC1⊥AB1.‎ ‎【例2－3】 (2016·昆明统考)如图，在侧棱与底面垂直的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥BC，且AA1＝AB＝BC＝1，CD＝2.‎ ‎(1)求证：AB1⊥平面A1BC；‎ ‎(2)在线段CD上是否存在点N，使得D1N∥平面A1BC?‎ 若存在，求出三棱锥N－AA1C的体积；若不存在，请说明理由.‎ ‎(1)证明　因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧棱垂直底面，‎ 所以A1A⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，‎ 所以BC⊥AA1，‎ 因为BC⊥AB，AB∩AA1＝A，AB⊂平面AA1B1B，‎ AA1⊂平面AA1B1B，所以BC⊥平面AA1B1B.‎ 又AB1⊂平面AA1B1B，所以AB1⊥BC，‎ 因为A1A⊥AB，A1A＝AB＝1，所以四边形AA1B1B为正方形，‎ 所以AB1⊥A1B，‎ 因为A1B∩BC＝B，A1B，BC⊂平面A1BC，‎ 所以AB1⊥平面A1BC.‎ ‎(2)解　法一　在线段CD上存在点N，且当N为CD的中点时，D1N∥平面A1BC.‎ 证明如下：‎ 连接BN、D1N，因为AB∥CD，AB＝1，CD＝2，‎ 所以AB∥DN且AB＝DN，所以四边形ABND为平行四边形，‎ 所以BN∥AD且BN＝AD.‎ 在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥AD且A1D1＝AD，‎ 所以A1D1∥BN且A1D1＝BN，‎ 所以四边形A1BND1为平行四边形，所以D1N∥A1B.‎ 又D1N⊄平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，‎ 所以D1N∥平面A1BC.‎ 连接A1N、AN、AC，所以S△ACN＝S△BCN＝×1×1＝，‎ 又A1A⊥平面ABCD，且A1A＝1，‎ 所以VN－AA1C＝VA1－ACN＝S△ACN×A1A＝××1＝，‎ 即三棱锥N－AA1C的体积为.‎ 法二　在线段CD上存在点N，且当N为CD的中点时，D1N∥平面A1BC，‎ 证明如下：‎ 取C1D1的中点M，连接AN、A1M、D1N、MC，‎ 因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AB＝1，CD＝2，所以A1B1∥C1D1，A1B1＝1，C1D1＝2，‎ 所以A1B1∥MC1且A1B1＝MC1，所以四边形A1B1C1M为平行四边形，‎ 所以A1M∥B1C1且A1M＝B1C1.‎ 又BC∥B1C1且BC＝B1C1，所以A1M∥BC且A1M＝BC，‎ 所以四边形A1BCM为平行四边形，所以A1B∥CM，‎ 又D1M＝NC＝1且D1M∥NC，‎ 所以四边形D1MCN为平行四边形，‎ 所以CM∥D1N，所以D1N∥A1B.‎ 又D1N⊄平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，‎ 所以D1N∥平面A1BC.‎ 连接A1N、AC，所以S△ACN＝×1×1＝， ‎ 又A1A⊥平面ABCD，且A1A＝1，‎ 所以VN－AA1C＝VA1－ACN＝S△ACN×A1A＝××1＝，‎ 即三棱锥N－AA1C的体积为.‎ 探究提高　垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.‎ ‎【训练2】 (2016·苏北四市模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点.‎ 求证：(1)CE∥平面PAD；‎ ‎(2)平面EFG⊥平面EMN.‎ 证明　(1)法一　如图1，取PA的中点H，连接EH，DH.‎ 又因为E为PB的中点，‎ 所以EH∥AB，且EH＝AB.‎ 图1‎ 又AB∥CD，CD＝AB，‎ 所以EH∥CD，且EH＝CD.‎ 所以四边形DCEH是平行四边形.‎ 所以CE∥DH.‎ 又DH⊂平面PAD，‎ CE⊄平面PAD，‎ 因此，CE∥平面PAD.‎ 图2‎ 法二　如图2，连接CF.因为F为AB的中点，所以AF＝AB.‎ 又CD＝AB，‎ 所以AF＝CD，又AF∥CD，‎ 所以四边形AFCD为平行四边形.因此CF∥AD.‎ 又CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，‎ 所以CF∥平面PAD.‎ 因为E，F分别为PB，AB的中点，‎ 所以EF∥PA.‎ 又EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，‎ 所以EF∥平面PAD.‎ 因为CF∩EF＝F，‎ 故平面CEF∥平面PAD.‎ 又CE⊂平面CEF，‎ 所以CE∥平面PAD.‎ ‎(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，‎ 所以EF∥PA.‎ 又AB⊥PA，所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.‎ 又EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，‎ 因此AB⊥平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，‎ 所以MN∥DC，又AB∥DC，‎ 所以MN∥AB，‎ 所以MN⊥平面EFG.又MN⊂平面EMN，‎ 所以平面EFG⊥平面EMN.‎ ‎1.求解几何体的表面积或体积 ‎(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算.‎ ‎(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解.‎ ‎(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用.‎ ‎(4)求解几何体的表面积时要注意S表＝S侧＋S底.‎ ‎2.锥体体积公式为V＝Sh，在求解锥体体积中，不能漏掉.‎ ‎3.空间中点、线、面的位置关系的判定 ‎(1)可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例.‎ ‎(2)可以借助长方体，在理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义.‎ ‎4.垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：‎ ‎(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换：三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.‎ ‎(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l⊥α，a⊂α⇒l⊥a.‎ 一、填空题 ‎1.(2016·浙江卷改编)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，且直线m，n满足m∥α，n⊥β，给出下列结论：‎ ‎①m∥l；②m∥n；③n⊥l；④m⊥n.‎ 则上述结论正确的是________(填序号).‎ 解析　由已知，α∩β＝l，∴l⊂β，又∵n⊥β，∴n⊥l，③正确.‎ 答案　③‎ ‎2.已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为________.‎ 解析　利用圆柱的侧面积公式求解，该圆柱的侧面积为2π×1×2＝4π，一个底面圆的面积是π，所以该圆柱的表面积为4π＋2π＝6π.‎ 答案　6π ‎3.(2016·徐州、宿迁、连云港模拟)已知圆锥的母线长为10 cm，侧面积为60π cm2，则此圆锥的体积为________cm3.‎ 解析　设圆锥底面圆的半径为r，母线为l，则侧面积πrl＝10πr＝60π，解得r＝6，则高h＝＝8，则此圆锥的体积为πr2h＝π×36×8＝96π.‎ 答案　96π ‎4.如图所示，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AC，PC的中点，PA＝2，AB＝1，求三棱锥C－PED的体积为________.‎ 解析　∵PA⊥平面ABCD，∴PA是三棱锥P－CED的高，PA＝2.‎ ‎∵ABCD是正方形，E是AC的中点，‎ ‎∴△CED是等腰直角三角形.‎ AB＝1，故CE＝ED＝，‎ S△CED＝CE·ED＝··＝.‎ 故VCPED＝VPCED＝·S△CED·PA＝··2＝.‎ 答案　 ‎5.如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________.‎ 解析　∵EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，‎ 平面ABCD∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，‎ 又∵E是AD的中点，‎ ‎∴F是CD的中点，即EF是△ACD的中位线，‎ ‎∴EF＝AC＝×2＝.‎ 答案　 ‎6.(2016·镇江高三期末)设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题：‎ ‎①若b⊂α，c∥α，则b∥c；‎ ‎②若b⊂α，b∥c，则c∥α；‎ ‎③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；‎ ‎④若c∥α，c⊥β，则α⊥β.‎ 其中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号).‎ 解析　①中直线b，c平行或异面，则①错误；②中c∥α或c⊂α，则②错误；‎ ‎③中c，β的位置关系可能平行、相交或者直线在平面上，则③错误；由线面平行的性质、线面垂直的性质、面面垂直的判定定理可知④正确，故正确命题是④.‎ 答案　④‎ ‎7.(2016·苏、锡、常、镇调研)设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若＝，则的值为________.‎ 解析　棱长为a的正方体的体积V1＝a3，表面积S1＝6a2，底面半径和高均为r的圆锥的体积V2＝πr3，侧面积S2＝πr2，则＝＝，则a＝r，所以＝＝.‎ 答案　 ‎8.(2016·无锡高三期末)如图，在圆锥VO中，O为底面圆心，半径OA⊥OB，且OA＝VO＝1，则O到平面VAB的距离为________.‎ 解析　由题意可得三棱锥V－AOB的体积为V三棱锥V－AOB＝S△AOB·VO＝.‎ ‎△VAB是边长为的等边三角形，其面积为×()2＝，设点O到平面VAB的距离为h，则V三棱锥O－VAB＝‎ S△VAB·h＝×h＝V三棱锥V－AOB＝，‎ 解得h＝，‎ 即点O到平面VAB的距离是.‎ 答案　 二、解答题 ‎9.(2014·江苏卷)如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.‎ 求证：(1)直线PA∥平面DEF；‎ ‎(2)平面BDE⊥平面ABC.‎ 证明　(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.‎ 又因为PA⊄平面DEF，‎ DE⊂平面DEF，‎ 所以直线PA∥平面DEF.‎ ‎(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.‎ 又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，‎ 所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.‎ 又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.‎ 因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，‎ 所以DE⊥平面ABC.又DE⊂平面BDE，‎ 所以平面BDE⊥平面ABC.‎ ‎10.如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，AB⊥BC，E，F分别是A1B，AC1的中点.‎ ‎(1)求证：EF∥平面ABC；‎ ‎(2)求证：平面AEF⊥平面AA1B1B；‎ ‎(3)若A1A＝2AB＝2BC＝2a，求三棱锥FABC的体积.‎ ‎(1)证明　如图连接A1C.‎ ‎∵直三棱柱A1B1C1ABC中，AA1C1C是矩形.‎ ‎∴点F在A1C上，且为A1C的中点.‎ 在△A1BC中，∵E，F分别是A1B，A1C的中点，∴EF∥BC.‎ 又∵BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，‎ 所以EF∥平面ABC.‎ ‎(2)证明　∵直三棱柱A1B1C1ABC中，B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥BC.‎ 又∵EF∥BC，AB⊥BC，‎ ‎∴AB⊥EF，B1B⊥EF.‎ ‎∵B1B∩AB＝B，∴EF⊥平面ABB1A1.‎ ‎∵EF⊂平面AEF，‎ ‎∴平面AEF⊥平面ABB1A1.‎ ‎(3)解　VFABC＝VA1ABC＝××S△ABC×AA1‎ ‎＝××a2×2a＝.‎ ‎11.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点.求证：‎ ‎(1)PA⊥底面ABCD；‎ ‎(2)BE∥平面PAD；‎ ‎(3)平面BEF⊥平面PCD.‎ 证明　(1)因为平面PAD∩平面ABCD＝AD.‎ 又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD.‎ 所以PA⊥底面ABCD.‎ ‎(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，‎ 所以AB∥DE，且AB＝DE.‎ 所以ABED为平行四边形.‎ 所以BE∥AD.‎ 又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，‎ 所以BE∥平面PAD.‎ ‎(3)因为AB⊥AD，‎ 且四边形ABED为平行四边形.‎ 所以BE⊥CD，AD⊥CD.‎ 由(1)知PA⊥底面ABCD，‎ 所以PA⊥CD.又因为PA∩AD＝A，‎ 所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD，‎ 且CD⊂平面PCD，‎ 又E，F分别是CD和CP的中点，‎ 所以EF∥PD，故CD⊥EF.‎ 由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，‎ 所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，‎ 所以平面BEF⊥平面PCD.‎