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  • 2021-07-01 发布

浙江专版2020届高考数学一轮复习单元检测五三角函数解三角形

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单元检测五 三角函数、解三角形 ‎(时间:120分钟 满分:150分)‎ 第Ⅰ卷(选择题 共40分)‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.下列命题中正确的是(  )‎ A.终边在x轴正半轴上的角是零角 B.三角形的内角必是第一、二象限内的角 C.不相等的角的终边一定不相同 D.若β=α+k·360°(k∈Z),则角α与β的终边相同 答案 D 解析 对于A,因为终边在x轴正半轴上的角可以表示为α=2kπ(k∈Z),A错误;对于B,直角也可为三角形的内角,但不在第一、二象限内,B错误;对于C,例如30°≠-330°,但其终边相同,C错误,故选D.‎ ‎2.已知角θ的终边经过点,则sin2的值为(  )‎ A.B.C.D. 答案 C 解析 因为点在角θ的终边上,‎ 所以cosθ=-,则sin2==,故选C.‎ ‎3.已知sin=,则sin等于(  )‎ A.B.-C.±D.- 答案 B 解析 ∵sin=cos=cos=,‎ ‎∴sin=cos ‎=cos=2cos2-1‎ ‎=2×-1=-.‎ ‎4.设a=tan35°,b=cos55°,c=sin23°,则(  )‎ A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b 答案 A 解析 由题可知b=cos55°=sin35°,因为sin35°>sin23°,所以b>c,利用三角函数线比较tan35°和sin35°,易知tan35°>sin35°,所以a>b.综上,a>b>c,故选A.‎ ‎5.若函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)是偶函数,则θ的最小正实数值是(  )‎ A.B.C.D. 答案 B 解析 f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2·sin.因为f(x)为偶函数,所以当x=0时,2x+θ+=θ+=kπ+(k∈Z),解得θ=kπ+(k∈Z).当k=0时,θ取得最小正实数值,故选B.‎ ‎6.若函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)等于(  )‎ A.sin B.sin C.sin D.sin 答案 C 解析 由题图知,函数f(x)的最小正周期T=2=8π,A=,所以ω==,‎ f(x)=sin,由点在函数f(x)的图象上,可知sin=0,又0<|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=sin.‎ ‎7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2bsinB=(2a+c)sinA+(2c+a)sinC.则角B的大小为(  )‎ A.B.C.D. 答案 C 解析 由正弦定理得2b2=(2a+c)a+(2c+a)c,化简得a2+c2-b2+ac=0,所以cosB===-,又B∈(0,π),解得B=,故选C.‎ ‎8.已知函数f(x)=sin2x-2cos2x,将f(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把所得图象向上平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,若g(x1)·g(x2)=-4,则|x1-x2|的值可能为(  )‎ A.B.C.D.π 答案 C 解析 由题意得f(x)=sin2x-cos2x-1‎ ‎=2sin-1,则g(x)=2sin,故函数g(x)的最小正周期T==.由g(x1)·g(x2)=-4,知g(x1)与g(x2)的值一个为2,另一个为-2,故|x1-x2|==(k∈Z).当k=1时,|x1-x2|=,故选C.‎ ‎9.在△ABC中,角A,B,C,所对的边分别为a,b,c,c2sinAcosA+a2sinCcosC=4sinB,cosB=,已知D是AC上一点,且S△BCD=,则等于(  )‎ A.B.C.D. 答案 A 解析 设===k,‎ 则由c2sinA·cosA+a2sinCcosC=4sinB,‎ 得k2sinAsinC(sinC·cosA+sinAcosC)=4sinB,‎ 即k2sinAsinCsin(C+A)=4sinB,‎ 所以k2sinAsinC=4,即ac=4.‎ 又cosB=,所以sinB=,‎ 所以S△ABC=acsinB=,‎ 所以==1-=,故选A.‎ ‎10.已知f(x)=2sinωxcos2-sin2ωx(ω>0)在区间上是增函数,且在区间[0,π]上恰好取得一次最大值,则ω的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 f(x)=sinωx(1+sinωx)-sin2ωx=sinωx,所以是含原点的单调递增区间,‎ 因为函数f(x)在区间上是增函数,所以⊆,所以解得ω≤.又ω>0,所以0<ω≤.因为函数f(x)在区间[0,π]上恰好取得一次最大值,所以≤π<,解得≤ω<.综上ω的取值范围为,故选B.‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共110分)‎ 二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.把答案填在题中横线上)‎ ‎11.工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.高一某班级想用布料制作一面如图所示的扇面,参加元旦晚会.已知此扇面的中心角为,外圆半径为60cm,内圆半径为30cm,则制作这样一面扇面需要的布料为________cm2.‎ 答案 450π 解析 由扇形的面积公式,知制作这样一面扇面需要的布料为××60×60-××30×30=450π(cm2).‎ ‎12.(2018·浙江省名校协作体考试)已知tan=3,则tanα=________,cos2α=________.‎ 答案   解析 由tan==3,‎ 解得tanα=,‎ 所以cos2α===.‎ ‎13.(2019·衢州模拟)设函数f(x)=2sin,则函数f(x)的最小正周期为__________,单调递增区间为________________________.‎ 答案 π ,k∈Z 解析 函数f(x)的最小正周期为=π,‎ 由2x+∈,k∈Z得 x∈,k∈Z,‎ 即单调递增区间为,k∈Z.‎ ‎14.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若2cosA(bcosC+ccosB)=a=,△ABC的面积为3,则A=________,b+c=________.‎ 答案  7‎ 解析 方法一 由正弦定理得,‎ ‎2cosA(sinBcosC+sinCcosB)=sinA,‎ 所以2cosAsin(B+C)=sinA,‎ 在△ABC中,B+C=π-A,‎ 所以sin(B+C)=sinA>0,所以cosA=,‎ 又A∈(0,π),所以A=.‎ 因为S△ABC=bcsinA=bc=3,所以bc=12,‎ 由a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,‎ 所以13=(b+c)2-36,即(b+c)2=49,故b+c=7.‎ 方法二 过A作AD⊥BC于D,‎ 在Rt△ADB中,BD=ccosB,‎ 在Rt△ADC中,DC=bcosC,‎ 所以BD+DC=ccosB+bcosC=a,‎ 代入2cosA(bcosC+ccosB)=a,化简得cosA=,‎ 又A∈(0,π),所以A=.‎ 因为S△ABC=bcsinA=bc=3,所以bc=12,‎ 由a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,‎ 所以13=(b+c)2-36,‎ 即(b+c)2=49,故b+c=7.‎ ‎15.我国古代数学家秦九韶在《数学九章》系统地总结和发展了高次方程数值解法和一次同余组解法,提出了相当完备的“正负开方术”和“大衍求一术”,代表了当时世界数学的最高水平.其中他还创造使用了“三斜求积术”(给出了三角形三边求三角形面积公式S=),这种方法对现在还具有很大的意义和作用.在△ABC中,AB=13,BC=14,AC=15,D在AC上,且BD平分∠ABC,则△ABC面积是________;BD=________.‎ 答案 84  解析 方法一 将已知数据代入公式,得S△ABC=84.‎ ‎∵BD平分∠ABC,∴==,‎ =+=+=+(-)‎ ‎=+,cos∠ABC==,‎ ‎∴2=2=+=,‎ ‎∴BD=.‎ 方法二 ∵cos∠ABC==,‎ cos∠BAC==,‎ cos∠ABD=cos==,‎ ‎∴sin∠ABC=,sin∠BAC=,sin∠ABD=,‎ ‎∴S△ABC=AB·BCsin∠ABC=84,‎ BD== ‎= ‎==.‎ ‎16.函数y=sin(πx+φ)(φ>0)的部分图象如图所示,设P是图象的最高点,A,B是图象与x轴的交点,记∠APB=θ,则sin2θ=________.‎ 答案  解析 由题意知函数y=sin(πx+φ)的最小正周期为T==2,过点P作PQ垂直x轴于点Q(图略),‎ 则tan∠APQ==,tan∠BPQ==,‎ tanθ=tan(∠APQ+∠BPQ)=8,‎ 故sin2θ=2sinθcosθ===.‎ ‎17.已知函数f(x)=sin-cos,若存在x1,x2,…,xn满足0≤x10),且f(x)的图象上两相邻的最高点之间的距离为π,求f(A)的取值范围.‎ 解 (1)因为a2+b2=6abcosC,‎ 由余弦定理知a2+b2=c2+2abcosC,‎ 所以cosC=.‎ 又sin2C=2sinAsinB,由正弦定理得c2=2ab,‎ 所以cosC===,‎ 又C∈(0,π),所以C=.‎ ‎(2)f(x)=sin+cosωx=sin,‎ 则最小正周期T==π,解得ω=2,‎ 所以f(x)=sin.‎ 因为C=,B=-A,‎ 则解得