数学理卷·2018届广西玉林市陆川中学高三上学期12月月考试题（解析版） 20页

广西陆川县中学2017年秋季期高三12月月考 理科数学试题 ‎ 第I卷(选择题，共60分）‎ 一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 已知集合，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以，故选D.‎ 点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错．‎ ‎2. 已知复数满足，则复数的虚部是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由条件知道 全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...‎ ‎，由虚部的概念得到 。‎ 故答案为C。‎ ‎3. 已知向量是互相垂直的单位向量，且，则（ ）‎ A. B. 1 C. 6 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】向量是互相垂直的单位向量，故,‎ 故答案为：D。‎ ‎4. 已知变量与变量之间具有相关关系，并测得如下一组数据 则变量与之间的线性回归方程可能为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据表中数据，得；‎ ‎，‎ ‎，‎ 且变量y随变量x的增大而减小，是负相关，排除A,D.‎ 验证时，,C成立；‎ ‎，不满足.‎ 即回归直线yˆ=−0.7x+10.3过样本中心点(,).‎ 故选：B.‎ 点睛：求解回归方程问题的三个易误点：‎ ‎① 易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．‎ ‎② 回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过点，可能所有的样本数据点都不在直线上．‎ ‎③ 利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．‎ ‎5. 设，其中都是非零实数，若，那么（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 0 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵函数f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，‎ f（2017）=﹣1，∴f（2017）=asin（2017π+α）+bcos（2017π+β）=-asinα-bcosβ=-1，‎ ‎∴f（2018）=asin（2018π+α）+bcos（2018π+β）=asinα+bcosβ=1．‎ 故答案为：A。‎ ‎6. 若，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】时，为减函数，且有,则有 ‎，A不正确；‎ 时，为减函数，且有，所以，B不正确；‎ 时，，C不正确；‎ 时，为减函数，，所以，D正确.‎ 故选D.‎ ‎7. 已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该截面的面积为（ ）‎ A. B. 4 C. 3 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AD的中点，‎ 则该几何体是正方体ABCD-A1B1C1D1截取三棱台AEF-A1B1D1后剩余的部分.‎ 则截面为FEB1D1.，为等腰梯形，上底FE=，下底B1D1=,腰为.‎ 得梯形的高为.‎ 则面积为：.‎ 故选A.‎ ‎8. 若函数在区间内恰有一个极值点，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意,，‎ 则，‎ 即，‎ 解得，‎ 另外,当时,在区间(−1,1)恰有一个极值点，‎ 当时,函数在区间(−1,1)没有一个极值点，‎ 实数的取值范围为.‎ 故选：B.‎ ‎9. 如图，将直角三角板和直角三角板拼在一起，其中直角三角板的斜边与直角三角板的角所对的直角边重合.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意得，若设 AD=DC=1，则 AC=，AB=2 ，BC=，由题意知， ‎ ‎△BCD中，由余弦定理得 DB2=DC2+CB2﹣2DC•CB•cos（45°+90°）=1+6+2×1×× =7+2，‎ ‎∵，∠ADC=90°，∴DB2=x2+y2，∴x2+y2=7+2 ①．‎ 如图，作 =x ，=y，则=+，CC′=x﹣1，C′B=y，‎ Rt△CC′B中，由勾股定理得 BC2=CC'2+C′B2，即 6=（x﹣1）2+y2，②‎ 由①②可得 x=1+，y=，‎ 故答案选B ‎10. 已知是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面，‎ ‎，则该球的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意画出几何体的图形如图，‎ 把扩展为三棱柱，‎ 上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，‎ ‎，是正三角形，‎ 所以.‎ ‎.‎ 所求球的体积为：‎ 故选A.‎ 点睛：关于球与柱体（椎体）的组合体的问题，是近年高考的常考内容，且常与几何体的体积、表面积等结合在一起考查。解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．‎ ‎11. 已知抛物线，直线，为抛物线的两条切线，切点分别为，则“点在上”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】设，由导数不难知道直线PA，PB的斜率分别为.进一步得.①‎ PB:.②，由联立①②可得点，‎ ‎(1)因为P在l上，所以=−1，所以，‎ 所以PA⊥PB；∴甲是乙的充分条件 ‎(2)若PA⊥PB，，‎ 即，从而点P在l上.∴甲是乙的必要条件，‎ 故选C.‎ 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎ ‎12. 已知函数（是自然对数的底数）.若，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由f（m）=2ln﹣f（n）得 f（m）+f（n）=1⇒ f（mn）=1﹣‎ ‎ =1﹣，‎ 又∵lnn+lnm+2=[（lnn+1）+（lnm+1）]（）=4+ ≥4+4=8，‎ ‎∴lnn+lnm≥6，f（mn）=1﹣≥，且m、n＞e，∴lnn+lnm＞0，f（mn）=1﹣＜1，∴≤f（mn）＜1，‎ 故选：C．‎ 点睛：这个题目考查了对数的运算法则和不等式在求范围和最值中的应用；一般解决二元问题，方法有：不等式的应用；二元化一元的应用；变量集中的应用；都是解决而原问题的常见方法。其中不等式只能求出一边的范围，求具体范围还是要转化为函数。 ‎ 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）‎ ‎13. 已知x，y满足则的最小值为________．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ 由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线轴上的截距最小，有最小值为，故答案为.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎14. 已知双曲线（）的一条渐近线被圆截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，一条渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，因为弦长为2，所以，所以．‎ ‎15. 设数列的前n项和为,若且则的通项公式_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】时，由 可得化为 是公差为 ，首项为的等差数列，，时， ，又因为 ，故答案为.‎ ‎16. 如图，设的内角所对的边分别为，，且.若点是外一点，，则当四边形面积最大值时，_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以由正弦定理可得 ， ， ，又因为，所以 ，由余弦定理可得，可得，四边形面积 ‎ ‎，‎ 时四边形面积最大， 此时，可得 ‎，故答案为.‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17. 已知数列的前项和.‎ ‎（1）证明：是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）见解析,（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由条件知道，两式子做差可得，移项得到。（2）根据第一问得到，由错位相减的方法求和即可.‎ ‎（1）证明：当时，，‎ 由得，‎ 即，‎ 所以，‎ 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，于是.‎ ‎（2）解：令，‎ 则，①‎ ‎①得，②‎ ‎①﹣②，得 ‎ 所以.‎ ‎18. 在中，角所对的边分别为，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，点在线段上，，,求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：由正弦定理转化为三角函数，再化简求出，向量等式两边平方结合余弦定理即可解出边长，再由面积公式求面积即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为 ，由正弦定理得：‎ 即,‎ 在中，，所以 ‎ ‎，两边平方得：‎ 由，，得 解得：‎ 所以的面积 点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.‎ ‎19. 为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.‎ 阶梯级别 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 月用电范围（度）‎ ‎（0,210]‎ ‎（210,400]‎ 某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：‎ 居民用电户编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 用电量（度）‎ ‎53‎ ‎86‎ ‎90‎ ‎124‎ ‎132‎ ‎200‎ ‎215‎ ‎225‎ ‎300‎ ‎410‎ ‎(1)若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算A居民用电户用电410度时应交电费多少元？‎ ‎(2)现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；‎ ‎(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到户用电量为第一阶梯的可能性最大，求的值.‎ ‎【答案】（1）227元（2）（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）10户共有3户为第二阶梯电量用户，所以可取0,1,2,3，分别求其概率，即可列出分布列，计算期望；（2）由题意抽到的户数符合二项分布，设抽到K户概率最大，解不等式组，再根据即可求出.‎ 试题解析：‎ ‎（1）元 ‎ 设取到第二阶梯电量的用户数为，可知第二阶梯电量的用户有3户，则可取0,1,2,3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以 ‎ 可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足，可知 ‎ ‎ ‎,解得，‎ 所以当时，概率最大，所以 ‎20. 已知函数 ‎(1)当时，求函数的单调区间；‎ ‎(2)求函数在上的最大值.‎ ‎【答案】（1）单调减区间是，增区间是（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）求函数的导函数，令，解不等式，即可；（2）分类讨论，分析函数在上的增减性，求函数最大值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）函数的定义域为，当时， ‎ 由得，或（舍去）。‎ 当时，，时，‎ 所以函数的单调减区间是，增区间是 ‎ ‎（2）因为，由由得，或 ‎①当时，即时，在上，，即在上递增，所以 ‎②当时，即时，在上，，在上，即在上递减，在递增；‎ 因为，‎ 所以当时，；当时，‎ ‎③当时，即时，在上，，即在上递减，所以 综上可得 ‎21. 已知函数.‎ ‎(1)当时，求证：；‎ ‎(2)设函数 ，且有两个不同的零点 ，‎ ‎①求实数的取值范围； ②求证：.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）①②见解析 ‎【解析】试题分析：（1）构造函数，利用函数增减性求证；（2）①只需函数的极小值小于0即可；②由①知，记，分析函数的增减性，可知单调递减，所以，转化为即可求证.‎ 试题解析：‎ ‎（1）记，则，在上，‎ 即在上递减，所以，即恒成立 记，则，在上，‎ 即在上递增，所以，即恒成立 ‎ ‎ ‎①，定义域：，则 易知在递增，而，所以在上，‎ 在递减，在递增，,‎ 要使函数有两个零点，则 故实数的取值范围是 ‎ ‎②由①知，记 当时，由①知：，则 再由得，‎ ‎，‎ 故恒成立，单调递减 ‎，即，而，‎ ‎，所以，由题知，，在递增，所以，即 点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.‎ 请考生在22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线的参数方程为（为参数），直线过点，且斜率为,射线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线和直线的极坐标方程；‎ ‎（2）已知射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长．‎ ‎【答案】（1）曲线的极坐标方程为，直线:(2) ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)将直角坐标方程化简极坐标方程可得曲线和直线的极坐标方程为，；‎ ‎(2)利用题意求得 ，故线段 的长为 .‎ 试题解析：‎ 解：(1) 曲线的普通方程为，将代入整理得，即曲线的极坐标方程为 .直线的方程为 ，所以极坐标方程为 .‎ ‎(2)当 时， ，故线段 的长为 .‎ ‎23. 选修4-5：不等式选讲 ‎（1）函数，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设，若，求的最小值．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）构造函数，去绝对值号的分段函数，画出图象，数形结合即可；（2）由柯西不等式即可求出不等式的最小值.‎ 试题解析：‎ 解：令，则，即 作出的图像，如图所示，易知其最小值为-5 ‎ 所以，实数的取值范围是 由柯西不等式：‎ 即，故 当且仅当时，即时等号成立，‎ 所以的最小值为.‎ ‎ ‎ ‎ ‎