辽宁省本溪市2020届高三第六次月考数学（理）试卷 8页

理 科 数 学 ‎ 　　　　　‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1． ‎ A．1-i B．2-2i C．1+i D．2+2i ‎ ‎2．设集合,则的子集的个数是 A．8 B．4 C．2 D．0‎ ‎3.《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则第30天织布 A．7尺 B．14尺 C．21尺 D．28尺 ‎4．以下四个结论，正确的是 ‎①质检员从匀速传递的产品生产流水线上，每间隔15分钟抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；‎ ‎②在回归直线方程中，当变量x每增加一个单位时，变量增加0.13个单位；‎ ‎③在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和是1；‎ ‎④对于两个分类变量X与Y，求出其统计量的观测值k，观测值k越大，我们认为“X与Y有关系”的把握程度就越大.‎ A．②④ B．②③ C．①③ D．③④‎ ‎5．在的展开式中的系数是 A．－14 B．14 C．-28 D．28‎ ‎6．抛物线的焦点为,准线为,,是抛物线上的两个动点,且满足,设线段的中点在上的投影为,则的最大值是 A． B． C． D．‎ ‎7．设是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是 A． B．，则 C．，那么 D．‎ ‎8．已知双曲线的中心在原点,一个焦点为,点在双曲线上,且线段 的中点坐标为,则此双曲线的方程是 A． B． C． D． ‎ ‎9．已知向量与向量共线，其中是的内角，则角的大小为 A． B． C． D．‎ ‎10．已知在上是可导函数,则的图象如图所示，‎ 则不等式的解集为 A． B． C． D． ‎ ‎11．已知正四面体的棱长为，则其外接球的体积为 A． B． C． D． ‎ ‎12．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则双曲线的一条斜率为正的渐近线的斜率的取值范围为 A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，‎ 将他们的数学检测成绩（满分100分）分 成6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), ‎ ‎[80,90), [90,100]加以统计，得到如图所示 的频率分布直方图。已知高一年级共有学 生800名，据此估计，该数学检测成绩不少于60分的学生人数为_______人.‎ ‎14．在等比数列中，,则数列的前n项和为___________.‎ ‎15．在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有___________个.（用数字作答）‎ ‎16．设是数列的前n项和，且，，则________．‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题：共60分)‎ ‎17.（12分）‎ 设的内角的对边分别为，‎ 且 ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求的面积．‎ ‎18．（12分）‎ 如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，‎ 点M是BC的中点，△AMC1是以M为直角顶点的 等腰直角三角形.‎ ‎ （1）求点B到平面AMC1的距离；‎ ‎ （2）求二面角M—AC1—C的大小.‎ ‎19．(12分)‎ ‎（图1）‎ ‎2019年7月，超强台风登陆某地区．据统计，本次台风造成该地区直接经济损失119.52亿元．经过调查住在该地某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图（图1）：‎ ‎（图2）‎ ‎（1）根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失；‎ ‎（2）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，经过调查的50户居民捐款情况如下表，在图2表格空白处填写正确数字，并说明是否有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？‎ ‎（3）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由王师傅和张师傅两人进行维修，王师傅每天早上在7：00到8：00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7：30到8:30分之间的任意时刻来到小区，求王师傅比张师傅早到小区的概率．‎ 附：临界值表 参考公式：，．‎ ‎20.（12分）‎ 已知动圆M过定点F（0，-1），且与直线：y=1相切，椭圆C2的对称轴为坐标轴，O点为坐标原点，F是其一个焦点，又点A（0，2）在椭圆C2上． （1）求动圆圆心M的轨迹C1的标准方程和椭圆C2的标准方程；‎ ‎ （2）若过F的动直线m交椭圆C2于B，C点，交轨迹C1于D，E两点，设S1为△ABC的面积，S2为△ODE的面积，令Z=S1S2，试求Z的取值范围．‎ 21． ‎（12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）设实数（为自然对数的底数），求函数在上的最小值； ‎ ‎（2）若为正整数，且对任意恒成立，求的最大值．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，过点P（l,0）作倾斜角为的直线，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，将曲线C1上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线C2，直线与曲线C2交于不同的两点M，N.‎ ‎ （1）求直线的参数方程和曲线C2的普通方程；‎ ‎ （2）求的值。‎ ‎23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） ‎ ‎ 设函数。‎ ‎ （1）若a=l，解不等式;‎ ‎ （2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围.‎ 数学（理科）参考答案 一．选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A B C D C A B D C D B A 二、填空题：13.640 14. 15.192 16.‎ 三、解答题：‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得，-----------2分 整理得， ‎ 所以． -----------4分 ‎ 又，故． -----------6分 ‎（Ⅱ）由正弦定理可知，又，，，‎ 所以． ‎ 又，故或． -----------8分 若，则，于是； ----------10分 若，则，于是．-----------12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎（1）设点B到平面AMC1的距离为h.则……………2分 由（I）知 AM⊥C1M，AM⊥CB，‎ ‎∴AM⊥平面C1CBB1……………………………………………………2分 ‎∵AB=1，BM=‎ ‎……………………4分 ‎ ‎ 得 ……………………6分 ‎（2）过M作交于.‎ 以M为坐标原点，分别为轴，轴，轴方向，‎ 建立空间直角坐标系.………………………………7分 设面的一个法向量为 由得，取，则 ‎……………………………………8分 同理可求得面的一个法向量为 ……………………10分 设二面角的大小为，由图知为锐角 故……………………11分 故二面角的大小为…………………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）记每户居民的平均损失为元，则：‎ ‎ -----------------4分 ‎（Ⅱ）如图：‎ ‎，‎ 所以有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关． -----------------------------------8分 ‎（Ⅲ）设王师傅，张师傅到小区的时间分别为,，则可 以看成平面中的点．试验的全部结果所构成的区域为 ‎，则，事件A表示王师 傅比张师傅早到小区，所构成的区域为 ‎，‎ 即图中的阴影部分：-------------10分 面积为，所以，---------11分 ‎∴王师傅比张师傅早到小区的概率是。 -----------------------12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）依题意，由抛物线的定义易得动点Q的轨迹M的标准方程为：x2=-4y……2分 依题意可设椭圆N的标准方程为 显然有c＝1，a＝2∴b＝ ∴椭圆N的标准方程为； ……………4分 （Ⅱ）显然直线m的斜率存在， 不妨设直线m的直线方程为：y=kx-1① ‎ 联立椭圆C2的标准方程 有（3k2+4）x2-6kx-9=0， 设B（x1，y1），C（x2，y2）则.……………6分 则有|x1−x2|＝， ∴S1＝|AF|·|x1-x2|＝， ……………8分 再将①式联立抛物线方程x2=-4y 有x2+4kx-4=0， 设D（x3，y3），E（x4，y4）‎ 得| x3- x4|＝4， ∴S2＝|OF|·|x3-x4|=2， ……………10分 ‎∴Z＝S1S2＝＝12(1−)≥12(1−)＝9，‎ ‎∴当k=0时，Zmin=9, 又Z<12 ． ‎ ‎∴Z [9,12) ……………12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎（1）f(x)的定义域为，∵‎ 时，单调递减；‎ 当时，单调递增．……………2分 当 ……………4分 ‎ 。……………6分 ‎（2） 对任意恒成立，‎ 即对任意恒成立， 即对任意恒成立. …7分 令 令在上单调递增。…8分 ‎∵‎ ‎∴所以存在唯一零点，即。‎ 当时，；‎ 当时，；‎ ‎∴在时单调递减；在时，单调递增； ……………10分 ‎ ‎∴‎ 由题意，.‎ 又因为，所以k的最大值是3。……………12分 ‎ ‎（二）选考题(第22、23题, 共10分)‎ ‎22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）‎ ‎22.曲线C1的直角坐标方程式x2+y2=1, ‎ 曲线C2的方程为,即. ……………5分 ‎ ‎(2)直线的参数方程为，代入曲线C2的方程得 ‎ S设M,N对应额参数分别为t1,t2,则…7分10分 ‎ ‎23.[选修4—5：不等式选讲]（10分） ‎ ‎……3分 ‎ ‎(2) ‎