数学卷·2018届广西钦州市高新区高二上学期期末考试理科数学试卷（解析版）x 13页

广西钦州市高新区 2016—2017 学年度上学期高二理科数学期末考试试题解 析版 第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为 m，其实际概率的大小为 n，则 (　　) A．m＞n　　　　　　　 B．m＜n C．m＝n D．m 是 n 的近似值 解析：随机模拟法求其概率，只是对概率的估计． 答案：D 2．“李晓同学一次掷出 3 枚骰子，3 枚全是 6 点”的事件是(　　) A．不可能事件 B．必然事件 C．可能性较大的随机事件 D．可能性较小的随机事件 解析：掷出的 3 枚骰子全是 6 点，可能发生，但发生的可能性较小． 答案：D 3．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取 3 次，则8 9是下列哪个事件的概率？(　　) A．颜色全同 B．颜色不全同 C．颜色全不同 D．无红球 解析：有放回地取球 3 次，共 27 种可能结果，其中颜色全相同的结果有 3 种，其概率为 3 27＝1 9；颜色不全相同的结果有 24 种，其概率为24 27＝8 9；颜色全不 同的结果有 6 种，其概率为 6 27＝2 9；无红球的情况有 8 种，其概率为 8 27，故选 B. 答案：B 4．在 1,3,5,8 路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆公共 汽车)，有一位乘客等候 1 路或 3 路公共汽车，假定当时各路公共汽车首先到站 的可能性相等，则首先到站的正好是这位乘客所要乘的公共汽车的概率是 ________． 解析：∵4 种公共汽车先到站有 4 个结果，且每种结果出现的可能性相等， “首先到站的车正好是所乘车”的结果有 2 个， ∴P＝2 4＝1 2. 答案：1 2 5．在区间[－2,3]上随机选取一个数 X，则 X≤1 的概率为(　　) A.4 5 B.3 5 C.2 5 D.1 5 解析：区间[－2,3]的长度为 3－(－2)＝5，[－2，1]的长度为 1－(－2)＝ 3，故满足条件的概率 p＝3 5. 答案：B 6．若下图程序输出 y 的值为 3，则输入的 x 为(　　) A．2 B．－2 C．2 或－2 D．8 解析：当 x≥0 时，由 x2－1＝3，得 x＝2； 当 x<0 时，由 2x2－5＝3，得 x＝－2. 综上可知输入的 x 为 2 或－2. 答案：C 7．已知回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归 直线方程为(　　) A. y^ ＝1.23x＋0.08 B. y^ ＝1.23x＋5 C. y^ ＝1.23x＋4 D. y^ ＝0.08x＋1.23 解析：设回归直线方程为 y^ ＝ b^ x＋ a^ ，则 b^ ＝1.23，因为回归直线必过样 本中心点，代入点(4,5)得 a^ ＝0.08.所以回归方程为 y^ ＝1.23x＋0.08.故选 A. 答案：A 8．如图是某公司 10 个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则 数据落在区间[22,30)内的频率为(　　) A．0.2　　B．0.4　　C．0.5　　 D．0.6 解析：由茎叶图可知数据落在区间[22,30)内的频数为 4，所以数据落在区 间[22,30)内的频率为 4÷10＝0.4.故选 B. 答案：B 9．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示，为了解该 地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查，则 样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(　　) 图 1　　　　　　　　　　图 2 A．100,10 B．200,10 C．100,20 D．200,20 解析：易知(3 500＋4 500＋2 000)×2%＝200，即为样本容量；抽取的高中 生人数为 2 000×2%＝40，由于其近视率为 50%，所以近视的人数为 40×50%＝ 20. 答案：D 10．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是(　　) A．34 B．55 C．78 D．89 解析：执行该程序框图(算法流程图)可得 x＝1，y＝1，z＝2；x＝1，y＝2，z ＝3；x＝2，y＝3，z＝5；x＝3，y＝5，z＝8；x＝5，y＝8，z＝13；x＝8，y＝ 13，z＝21；x＝13，y＝21，z＝34；x＝21，y＝34，z＝55.跳出循环． 答案：B 11．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a，从{1,2,3}中随机选取一个数为 b，则 ab＝54＝625，∴k＝ 5. 答案：5 三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17．某校夏令营有 3 名男同学 A，B，C 和 3 名女同学 X，Y，Z，其年级情况 如下表： 一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z 现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相 同)． (1)用表中字母列举出所有可能的结果； (2)设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学”， 求事件 M 发生的概率． 解：(1)从 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}， {A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}， {C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共 15 种． (2)选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学的所有可能结 果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共 6 种． 因此，事件 M 发生的概率 P(M)＝ 6 15＝2 5. 18．(本小题满分 14 分)如图，已知 AB 是半圆 O 的直径，AB＝8，M，N，P 是将半圆圆周四等分的三个分点． (1)从 A，B，M，N，P 这 5 个点中任取 3 个点，求这 3 个点组成直角三角形 的概率； (2)在半圆内任取一点 S，求△SAB 的面积大于 8 2的概率． 解：(1)从A，B，M，N，P 这 5 个点中任取 3 个点，一共可以组成 10 个三角 形：△ABM，△ABN，△ABP，△AMN，△AMP，△ANP，△BMN，△BMP，△BNP，△ MNP，其中是直角三角形的只有△ABM，△ABN，△ABP,3 个，所以组成直角三角 形的概率为 3 10. (2)连接 MP，取线段 MP 的中点 D，则 OD⊥MP， 易求得 OD＝2 2， 当 S 点在线段 MP 上时，S△ABS＝1 2×2 2×8＝8 2， 所以只有当 S 点落在阴影部分时，△SAB 的面积才能大于 8 2. 而 S 阴影＝S 扇形 MOP－S△OMP＝1 2×π 2 ×42－1 2×42＝4π－8， 所以由几何概型的概率公式得△SAB 的面积大于 8 2的概率为4π－8 8π ＝ π－2 2π . 19．下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据(单位：千克/亩)： 施化肥量 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 320 330 360 410 460 470 480 (1)将上述数据制成散点图． (2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量 会一直随施化肥量的增加而增长吗？ 解：(1)散点图如图： (2)从图中可以发现数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水 稻产量近似成线性相关关系．当施化肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大， 但水稻产量不会一直随化肥施用量的增加而增长． 20．为了了解工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从 A， B，C 三个区中抽取 7 工厂进行调查，已知 A，B，C 区中分别有 18,27,18 个工 厂． (1)求从 A，B，C 区中分别抽取的工厂个数． (2)若从抽取的 7 个工厂中随机抽取 2 个进行调查结果的对比，用列举法计 算这 2 个工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率． 解：(1)工厂总数为 18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数的比为 7 63 ＝1 9，所以从 A，B，C 三个区中应分别抽取的工厂个数为 2,3,2. (2)设 A1，A2 为在 A 区中抽得的 2 个工厂，B1，B2，B3 为在 B 区中抽得的 3 个工厂，C1，C2 为在 C 区中抽得的 2 个工厂，从这 7 个工厂中随机抽取 2 个，全 部的可能结果有 21 种，随机抽取的 2 个工厂至少有一个来自 A 区的结果有(A1， A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)， (A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，共 11 种，所以所求的概率为11 21. 21．20 名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下： (1)求频率分布直方图中 a 的值； (2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数； (3)从成绩在[50,70)的学生中任选 2 人，求此 2 人的成绩都在[60,70)中的 概率． 解：(1)据直方图知组距为 10， 由(2a＋3a＋6a＋7a＋2a)×10＝1，解得 a＝ 1 200＝0.005. (2)成绩落在[50,60)中的学生人数为 2×0.005×10×20＝2. 成绩落在[60,70)中的学生人数为 3×0.005×10×20＝3. (3)记成绩落在[50,60)中的 2 人为 A1，A2，成绩落在[60,70)中的 3 人为 B1， B2，B3，则从成绩在[50,70)的学生中任选 2 人的基本事件共有 10 个：(A1，A2)， (A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1， B3)，(B2，B3)，其中 2 人的成绩都在[60,70)中的基本事件有 3 个：(B1，B2)， (B1，B3)，(B2，B3)， 故所求概率为 P＝ 3 10. 22 ． 某 日 用 品 按 行 业 质 量 标 准 分 成 五 个 等 级 ， 等 级 系 数 X 依 次 为 1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取 20 件，对其等级系数进行统计分析， 得到频率分布表如下： X 1 2 3 4 5 f a 0.2 0.45 b c (1)若所抽取的 20 件日用品中，等级系数为 4 的恰有 3 件，等级系数为 5 的 恰有 2 件，求 a，b，c 的值． (2)在(1)的条件下，将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1，x2，x3，等级系 数为 5 的 2 件日用品记为 y1，y2，现从 x1，x2，x3，y1，y2 这 5 件日用品中任取 两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件 日用品的等级系数恰好相等的概率． 解：(1)由频率分布表得 a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，即 a＋b＋c＝0.35. 因为抽取的 20 件日用品中，等级系数为 4 的恰有 3 件，所以 b＝ 3 20＝0.15. 等级系数为 5 的恰有 2 件， 所以 c＝ 2 20＝0.1. 从而 a＝0.35－b－c＝0.1. 所以 a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1. (2)从日用品 x1，x2，x3，y1，y2 中任取两件，所有可能情况为：{x1，x2}， {x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3， y2}，{y1，y2}． 设事件 A 表示“从日用品 x1，x2，x3，y1，y2 中任取两件，其等级系数相等”， 则 A 包含的基本事件为{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}共 4 个． 又基本事件的总数为 10，故所求的概率 P(A)＝ 4 10＝0.4.