数学文卷·2017届江西省赣州市高三第二次模拟考试（2017 12页

赣州市2017年高三年级适应性考试 文科数学 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数满足，则在复平面内复数对应的点为（ ）‎ A． 　　B． 　　C． 　　 D．‎ ‎2.已知集合，，，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.设曲线在处的切线与直线垂直，则的值为（ ）‎ A．2 B．-2 C. D．‎ ‎5.如图，是以为圆心、半径为2的圆的内接正方形，是正方形的内接正方形，且分别为的中点．将一枚针随机掷到圆内，用表示事件“针落在正方形内”，表示事件“针落在正方形内”，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.函数（其中是自然对数的底数）的大致图像为（ ）‎ A．B．C. D．‎ ‎7.已知双曲线的离心率为，则抛物线的焦点到双曲线的距离是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.如图，已知，，，，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.正方体的棱长为1，点分别是棱的中点，过作一平面，使得平面平面，则平面截正方体的表面所得平面图形为（ ）‎ A．三角形 B．四边形 C.五边形 D．六边形 ‎10.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（ ）‎ A．4 B．5 C. 6 D．7‎ ‎11.已知动点在直线上，动点在圆上，若，则的最大值为（ ）‎ A．2 B．4 C.5 D．6‎ ‎12.已知函数向左平移半个周期得的图像，若在上的值域为，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13.已知函数（且），若，则 ．‎ ‎14.连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则为锐角的概率是 ．‎ ‎15.某多面体的三视图如图所示，则该多面体外接球的表面积为 ．‎ ‎16.如图所示，为了测量处岛屿的距离，小明在处观测，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶40海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则两处岛屿的距离为 海里． ‎ 三、解答题 :解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ‎ ‎17.已知等差数列的公差不为0，前项和为成等比数列．‎ ‎（1）求与；‎ ‎（2）设，求证：．‎ ‎18.某经销商从外地一水殖厂购进一批小龙虾，并随机抽取40只进行统计，按重量分类统计结果如下图：‎ ‎（1）记事件为：“从这批小龙虾中任取一只，重量不超过35的小龙虾”，求的估计值；‎ ‎（2）试估计这批小龙虾的平均重量；‎ ‎（3）为适应市场需求，制定促销策略．该经销商又将这批小龙虾分成三个等级，并制定出销售单价，如下表：‎ 等级 一等品 二等品 三等品 重量（）‎ 单价（元/只）‎ ‎1.2‎ ‎1.5‎ ‎1.8‎ 试估算该经销商以每千克至多花多少元（取整数）收购这批小龙虾，才能获得利润？‎ ‎19.如图，五面体中，四边形是菱形，是边长为2的正三角形，，．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若在平面内的正投影为，求点到平面的距离．‎ ‎20.如图，椭圆的离心率为，顶点为，且．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点．设的斜率为，的斜率为，试问是否为定值？并说明理由．‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）设当时，，求实数的取值范围．‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上把所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分．‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线（为参数，）与圆相交于点，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求直线与圆的极坐标方程；‎ ‎（2）求的最大值．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数，且的解集为．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若正实数，满足．‎ 求的最小值．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: ACBAC 6-10:DBDDB 11、12：C、D ‎12.提示：‎ 由，在上的值域为．‎ 即最小值为，最大值为，则，得．‎ 综上的取值范围是．‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.（1）设等差数列的公差为， ‎ 则由可得，得……①‎ 又成等比数列，且 所以，整理得，‎ 因为，所以……②‎ 联立①②，解得 所以 ‎（2）由（1）得 所以 ‎18.解：（1）由于只小龙虾中重量不超过的小龙虾有（只）‎ 所以 ‎（2）从统计图中可以估计这批小龙虾的平均重量为 ‎（克）‎ ‎（3）设该经销商收购这批小龙虾每千克至多元.根据样本，由（2）知，这只小龙虾中一等品、二等品、三等品各有只、只、只，约有 所以，而 故可以估计该经销商收购这批小龙虾每千克至多元 ‎19.解：（1）证明：如图，取的中点，连 因为是边长为的正三角形，所以 又四边形是菱形，，所以是正三角形 所以 而，所以平面 所以 ‎（2）取的中点，连结 由（1）知，所以 平面，所以平面⊥平面 而平面⊥平面，平面与平面的交线为，‎ 所以平面，即点是在平面内的正投影 设点到平面的距离为，则点到平面距离为 因为在中，，得 在中，，得 所以由得 即 解得，所以到平面的距离 ‎20.解：（1）因为，所以，‎ 由题意及图可得，‎ 所以 又，所以，所以 所以 所以椭圆的方程为：‎ ‎（2）证明：由题意可知，，，‎ 因为的斜率为，所以直线的方程为 ‎ 由得 其中，所以，所以 则直线的方程为（）‎ 令，则，即 直线的方程为，‎ 由解得，所以]‎ 所以的斜率 所以（定值）‎ ‎21.解：（1）‎ 当时，，，所以 ‎ 当时，，，所以 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增 ‎（2）设 则 设， ‎ 则 ‎①当时，即时，对一切，‎ 所以在区间上单调递增，所以，即，‎ 所以在区间上单调递增，所以，符合题意 ‎②当时，即时，存在，使得，[]‎ 当时， ‎ 所以在区间上单调递减，所以当时，，‎ 即，所以在区间上单调递减 故当时，有，与题意矛盾，舍去 综上可知，实数的取值范围为 ‎ ‎22.解：（1）直线的极坐标方程为 圆的极坐标方程为 ‎（2），代入，‎ 得 ‎ 显然 所以的最大值为 ‎ ‎23.解：（1）因为 所以由得 由有解，得，且其解集为 又不等式解集为，故 ‎（2）由(1)知，又是正实数，‎ 由柯西不等式得 当且仅当时取等号 故的最小值为9 ‎