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- 2021-07-01 发布
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专题16+任意角和弧度制及任意角的三角函数
1.已知角α的终边与单位圆交于点,则tan α=( )
A.- B.- C.- D.-
解析:根据三角函数的定义,tan α===-.
答案:D
2.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,则这个圆心角所对的弧长是( )
A.2 B.sin 2 C. D.2sin 1
答案:C
3.已知点P(tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:∵点P(tan α,cos α)在第三象限,
∴tan α<0,且cos α<0,
由tan α<0,知α的终边在第二或第四象限,
由cos α<0,知α的终边在第二或第三象限,或x轴的非正半轴上,因此角α的终边在第二象限.
答案:B
4.已知点P在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为( )
A. B. C. D.
解析:因点P在第四象限,根据三角函数的定义可知tan θ==-,则θ=π.
答案:C
5.已知P(6,8),将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量,则点Q的坐标是( )
A.(8,-6) B.(-8,-6)
C.(-6,8) D.(-6,-8)
答案:A
6.如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象大致为( )
解析:利用单位圆及三角函数的定义,求出f(x)的解析式.
如右图所示,当x∈时,则P(cos x,sin x),M(cos x,0),作MM′⊥OP,M′为垂足,则=sin x,∴=sin x,∴f(x)=sin xcos x=sin 2x,
则当x=时,f(x)max=;当x∈时,有=sin(π-x),f(x)=-sin xcos x=-sin 2x,当x=时,f(x)max=.只有B选项的图象符合.
答案:B
7.若角α的终边过点(1,2),则sin(π+α)的值为________.
答案:-
8.已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-,则y=________.
解析:因为sin θ==-,
所以y<0,且y2=64,所以y=-8.
答案:-8
9.函数y=的定义域为________.
解析:∵2cos x-1≥0,∴cos x≥.
由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示).
∴x∈(k∈Z).
答案:(k∈Z)
10.已知角α的终边上有一点的坐标是P(3a,4a),其中a≠0,求sin α,cos α,tan α.
11.已知半径为10的圆O中,弦AB的长为10,
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小;
(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.
解:(1)在△AOB中,AB=OA=OB=10,∴△AOB为等边三角形.因此弦AB所对的圆心角α=.
(2)由扇形的弧长与扇形面积公式,得
l=α·R=×10=,
S扇形=R·l=α·R2=.
又S△AOB=·OA·OB·sin=25.
∴弓形的面积S=S扇形-S△AOB=50.
12.已知角α的终边在直线3x+4y=0上,求sin α,cos α,tan α的值.
当t<0时,r=-5t,sin α===,
cos α===-,tan α===-.
综上可知,sin α=-,cos α=,tan α=-或sin α=,cos α=-,
tan α=-.
13.一个扇形OAB的面积是1 cm2,它的周长是4 cm,求圆心角的弧度数和弦长AB.
解 设圆的半径为r cm,弧长为l cm,
则解得
∴圆心角α==2弧度.
如图,过O作OH⊥AB于H,则∠AOH=1弧度.
∴AH=1·sin 1=sin 1 (cm),∴AB=2sin 1 (cm).
14.如图所示,动点P,Q从点A(4,0)出发沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转弧度,求点P,点Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P,Q点各自走过的弧长.