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- 2021-07-01 发布
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一、回扣教材,纠错例析
3.三角函数、解三角形、平面向量
[要点回扣]
1.终边相同的角
α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α=θ+2kπ(k∈ ),注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P的位置无关.
[对点专练1] 已知角α的终边经过点P(3,-4),则sinα+cosα的值为________.
[答案] -
2.诱导公式
简记为“奇变偶不变,符号看象限”.
[对点专练2] cos+tan+sin21π的值为________.
[答案] -
3.函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间
(1)不注意ω的符号,把单调性弄反,或把区间左右的值弄反;
(2)忘掉写+2kπ,或+kπ等,忘掉写k∈ ;
(3)书写单调区间时,错把弧度和角度混在一起.如[0,90°]应写为
.
[对点专练3] 函数y=sin的递减区间是________.
[答案] (k∈ )
4.三角的恒等变形中常见的拆角、拼角技巧
α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β),
α=[(α+β)+(α-β)].
α+=(α+β)-,α=-.
[对点专练4] 已知α,β∈,sin(α+β)=-,
sin=,则cos=________.
[答案] -
5.解三角形
已知三角形两边及一对角,求解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解,要结合具体情况进行取舍.在△ABC中A>B⇔sinA>sinB.
[对点专练5] 在△ABC中,a=,b=,A=60°,则B=________.
[答案] 45°
6.向量的平行与垂直
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b≠0,则a∥b⇔b=λa⇔x1y2-x2y1=0;a⊥b(a≠0)⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.
[对点专练6] 下列四个命题:①若|a|=0,则a=0;②若|a|=|b|,则a=b或a=-b;③若a∥b,则|a|=|b|;④若a=0,则-a=0.其中正确命题是________.
[答案] ④
7.投影
a在b上的投影=|a|cosa,b==.
投影是一个实数,可以是正数、负数或零.
注意:a,b为锐角⇔a·b>0且a、b不同向;
a,b为直角⇔a·b=0且a、b≠0;
a,b为钝角⇔a·b<0且a、b不反向.
[对点专练7] 已知|a|=3,|b|=5,且a·b=12,则向量a在向量b上的投影为________.
[答案]
8.数量积的运算
当a·b=0时,不一定得到a⊥b;当a⊥b时,a·b=0;a·b=c·b,不能得到a=c,消去律不成立;(a·b)c与a(b·c)不一定相等,(a·b)c与c平行,而a(b·c)与a平行.
[对点专练8] 下列各命题:①若a·b=0,则a、b中至少有一个为0;②若a≠0,a·b=a·c,则b=c;③对任意向量a、b、c,有(a·b)c≠a(b·c);④对任一向量a,有a2=|a|2.其中正确命题是________.
[答案] ④
[易错盘点]
易错点1 忽视角的范围致误
【例1】 已知sinα=,sinβ=,且α,β为锐角,则α+β=________.
[错解] ∵α、β为锐角,
∴cosα==,
cosβ==.
∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
=×+×=.
又0<α+β<π.
∴α+β=或α+β=π.
[错因分析] 错解中没有注意到sinα=,sinβ=本身对角的范围的限制,造成错解.
[正解] 因为α,β为锐角,
所以cosα==,
cosβ==.
所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
=×-×=,
又因为0<α+β<π,所以α+β=.
对三角函数的求值问题,不仅要看已知条件中角的范围,还要挖掘隐含条件,根据三角函数值缩小角的范围;本题中(0,π)中的角和余弦值一一对应,最好在求角时选择计算cos(α+β)来避免增解.
[对点专练1]
(1)已知sinθ+cosθ=,则sinθ-cosθ的值为( )
A. B.- C. D.-
(2)设α为锐角,若sin=,则sin的值为________.
[解析] (1)∵sinθ+cosθ=,∴(sinθ+cosθ)2=1+sin2θ=,∴sin2θ=,又0<θ<,∴sinθ0)这个变化的实质是x→x±,所以平移的距离并不是φ.
[对点专练2]
(1)把函数y=sin图象上各点的横坐标缩小到原来的(纵坐标不变),再将图象向右平移个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为( )
A.x=- B.x=-
C.x= D.x=
(2)对于函数f(x)=sin,
①函数图象关于直线x=-对称;
②函数图象关于点对称;
③函数图象可看作是把y=sin2x的图象向左平移个单位而得到;
④函数图象可看作是把y=sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到.
以上叙述所有正确的是________(填写序号).
[解析] (1)把函数y=sin图象上各点的横坐标缩小到原来的(纵坐标不变)所得函数图象的解析式为y=sin,再将图象向右平移
个单位所得函数图象的解析式为y=sin=sin=-cos2x,即y=-cos2x,令2x=kπ,k∈ ,则x=,k∈ ,即对称轴方程为x=,k∈ ,故选A.
(2)函数f(x)=sin的对称轴为2x+=kπ+,k∈ ,解得x=+,k∈ .而当x=-时,k无解,故①错误;函数f(x)=sin图象的中心对称点的横坐标为2x+=kπ,解得x=-,k∈ ,当k=1时,x=,所以函数图象关于点对称,故②正确;将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到的函数图象为y=sin2=sin,故③错误;利用三角函数伸缩性易得④正确,所以正确的有②④.
[答案] (1)A (2)②④
易错点3 三角形解的个数不清致误
【例3】 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c且a=1,c=.
(1)若C=,求A;
(2)若A=,求b,C.
[错解] (1)在△ABC中,=,
∴sinA==,∴A=或.
(2)由=得sinC==,
∴C=,由C=知B=,
∴b==2.
[错因分析] 在用正弦定理解三角形时,易出现漏解或多解的错误,如第(1)问中没有考虑c边比a边大,在求得sinA==后,得出角A=或;在第(2)问中又因为没有考虑角C有两解,由sinC==,只得出角C=,所以角B=,解得b=2.这样就出现漏解的错误.
[正解] (1)由正弦定理得=,
即sinA==.
又aAC,∴C>B.∴C=60°或120°.
∴A=90°或30°.
由△ABC的面积S=AB·AC·sinA,
得S=2或.
[答案] (1)C (2)2或
易错点4 忽视向量共线致误
【例4】 已知a=(2,1),b=(λ,1),λ∈R,a与b的夹角为θ.若θ为锐角,则λ的取值范围是________.
[错解] ∵cosθ== .
因为θ为锐角,有cosθ>0,
∴>0⇒2λ+1>0,
得λ>-,λ的取值范围是.
[错因分析] 当向量a,b同向时,θ=0,cosθ=1满足cosθ>0,但不是锐角.
[正解] ∵θ为锐角,∴00且a,b不同向;②θ为直角⇔a·b=0;③θ为钝角⇔a·b<0且a,b不反向.
[对点专练4]
(1)已知向量a,b不共线,若=λ1a+b,=a+λ2b,则“A,B,
C三点共线”是“λ1λ2=1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)设两个向量e1,e2,满足|e1|=2,|e2|=1,e1与e2的夹角为.若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,则实数t的范围为________.
[解析] (1)依题意,由A,B,C三点共线,可设=m(m≠0),则有λ1a+b=ma+mλ2b,又a,b不共线,因此得λ1λ2=1.反过来,由λ1λ2=1显然能得出A,B,C三点共线.综上所述,“A,B,C三点共线”是“λ1λ2=1”的充分必要条件,故选C.
(2)(2te1+7e2)·(e1+te2)
=2t|e1|2+(2t2+7)e1·e2+7t|e2|2
=2t×4+2t2+7+7t
=2t2+15t+7
∵向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,
∴2t2+15t+7<0,得-7