高中数学第四章 1_1 定积分的背景——面积和路程问题 课件 17页

第四章 定积分 1.1 定积分的背景 —— 面积 和路程问题 我们学过正方形、长方形、三角形和梯形等平面 “直边图形”的面积；物理中，我们知道匀速直线运动 的时间、速度与路程的关系等等。在数学和物理中， 我们还经常会遇到计算平面曲线所围成的平面 “曲边 图形 ” 的面积、变速直线运到物体位移、变力做功的 问题。如何解决这些问题呢？现有知识无法解决，为 此我们需要另寻方法。 接下来我们要学习的定积分，就可以帮助我们解 决这些问题。 引入 x o y 图中阴影部分是由曲线段和直线段围成的，这样的平面图形称为 曲边梯形 ，如何求这个面积呢？ a b 曲边梯形定义： 我们把由直线 x = a ， x = b ( a ≠ b ) ， y = 0 和曲 线 y = f ( x ) 所围成的图形叫作曲边梯形 。 （ 1 ）曲边梯形是由曲线段和直线段所围成的平面 图形； （ 2 ）曲边梯形与“直边图形”主要区别在于前者有 一边是曲线段而“直边图形”的所有边都是直线段。 对曲边梯形概念的理解： 我们曾经用正多边形逼近圆的方法 ( 即“以直带曲” 的思想 ) 求出了圆的面积，能否也能用直边形 ( 如矩形 ) 来逼近曲边梯形的方法求阴影部分面积呢？ 将区间 [0 ， 1] 平均分成许多小区间，把曲边梯形拆 分成一些小曲边梯形。对每个小曲边梯形“以直代曲”， 即用矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个 小曲边梯形的面积，对这些近似值求和，就得到曲边 梯形面积的近似值。 可以想象，区间拆分的越细，近似程度就越好，亦即：用化归为计算矩形面积和逼近思想来求曲边梯形 的面积。可通过以下几个步骤具体实施： （ 1 ）分割； （ 2 ）近似代替 ( 过剩和不足估计值 ) ； （ 3 ）逼近。 问题 1 图中阴影部分由抛物线 ，直线 及 x 轴 围成的平面图形，试估计这个曲边梯形的 面积 S 。 x o y 1 x o y 1 (1) 将 区间 [0 ， 1] 平均分成 5 份，如图所示。 图 (1) 中，所有小矩形面积之和 显然大于所 求曲边梯形的面积，我们称 为 S 的 过剩估计值 ， 则有 x o y 1 (2) 图 (2) 中，所有小矩形面积之和 显然小于所 求曲边梯形的面积，我们称 为 S 的 不足估计值 ， 则有 x o y 1 (3) 我们可以用 或 近似表示 S ，但是都存在 误差，二者之差为 ，但是无论是用 还 是 来表示曲边梯形的面积， 误差都不会超过 0.2 ， 如图 (3) 所示。 x o y 1 (4) 为减小误差，我们将区间 [0 ， 1] 10 等分，则 所求面积的过剩估计值为 不足估计值为 二者的差值为 ，此时，无 论用 还是 来 表示 S ，误差都不超过 0.1 。 区间分的越细，误差越小。当所 分隔的区间长度 趋于 0 ，过剩估计值 和不足估计值都趋于曲边梯形面积。 问题 2 司机猛踩刹车，汽车滑行 5 s 后停下，此过 程中汽车的速度 v 是时间 t 的函数： 请估计汽车在刹车过程中滑行的 距离 s 。 分析： 此时误差不超过： 将 滑行的 5 s 平分成 5 份 。用 ， ， ， 近似代替汽车在 0~1 、 1~2 、 2~3 、 3~4 、 4~5 s 内的平均速度，则滑行距离的 过剩估计值 为 ： 用 ， ， ， ， 近似代替汽车在 0~1 、 1~2 、 2~3 、 3~4 、 4~5 s 内的平均速度，则滑行距离的 不足估计值 为 ： 滑行时间等分的越细，误差越小。当所分隔的小时间段长度 趋于 0 ，则过剩估计值和不足估计值都趋于汽车滑行路程。 若将 5 秒平分成 10 份，则得到 过剩估计值 为 ： 不足估计值 为 ： 此时，误差都不超过 概括 前面，我们通过“以直代曲”的逼近方法解决了求 曲边梯形的面积的问题，它们的步骤： 分割区间 过剩估计值 不足估计值 逼近所求面积 所分区间长度 → 0 估计值→所求值 动手做一做 求直线 x=0,x=2,y=0 与曲线 y=x 2 所围成的曲边梯形的面积。 ＊ 曲边梯形的定义： 分割区间 过剩估计值 不足估计值 逼近所求面积 ＊ 求曲边梯形面积的步骤： 我们把由 直线 x = a ， x = b ( a ≠ b ) ， y = 0 和曲 线 y = f ( x ) 所围成的图形叫作 曲边梯形 。 小结