2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题19 数列中的最值问题（测）（解析版） 9页

专题19 数列中的最值问题 ‎【满分：100分 时间：90分钟】‎ ‎(一)选择题(12*5=60分)‎ ‎1. 设等差数列的前项和为，且满足，，则取最大值时的值为( )‎ A．7 B．8 C. 9 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题设可得,即,也即,故应选C.‎ ‎2. 等差数列的公差为d，前n项和为，若，则当取得最大值时，n＝( )‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，等差数列中，， 则， 又由为等差数列，则， 又由，则， 则当时，取得最大值； 故选：C．‎ ‎3、已知等差数列的公差若则该数列的前项和的最大值为 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由 得，‎ 故，‎ 当n=9或n=10时，的最大值为或,.‎ ‎4.【2020届贵州省贵阳市第一中学高三月考】已知数列的前项和为,,且,则的最小值和最大值分别为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，得，化为， ，，当时，最小值为；当时，最大值为，故选D.‎ ‎5.数列是等差数列，若，且它的前n项和有最大值，那么当取得最小正值时，n等于( )‎ A．17 B．16 C．15 D．14‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵数列的前n项和有最大值，∴数列为递减数列，又， 且，又，故当时，取得最小正值，故选C．‎ ‎6.设等差数列满足，；则数列的前项和中使得取的最大值的序号为( )‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得数列的公差，则数列的通项公式令，故等差数列的前5项为正数，从第6项开始为负数，则使得最大的序号．故选B ‎7.【湖南省邵东县创新实验学校2020届高三月考】 已知数列的前项和为,且,在等差数列中, ,且公差.使得成立的最小正整数为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为,所以,两式相减,得,即,又,所以,因为在等差数列中, ,且公差,所以,当时, (排除A),当时, (排除B),当时, ;故选C.‎ ‎8.【甘肃省静宁县第一中学2020届高三模拟】已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，若对一切，恒有，则能取到的最大整数是( )‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【答案】B ‎【解析】设数列{an}的公差为d，由题意得，，解得，∴an=n，且，‎ ‎∴Sn=1+，令Tn=S2n﹣Sn=，则，‎ 即＞=0∴Tn+1＞Tn，则Tn随着n的增大而增大，即Tn在n=1处取最小值，∴T1=S2﹣S1=，∵对一切n∈N*，恒有成立，∴即可，解得m＜8，故m能取到的最大正整数是7．‎ ‎98.【江西省新余四中、上高二中2020届高三联考】已知数列满足，且，其前n项之和为，则满足不等式的最小整数n是( )‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】对3an+1+an=4 变形得：3(an+1﹣1)=﹣(an﹣1)，即：，故可以分析得到数列bn=an﹣1为首项为8公比为的等比数列．所以bn=an﹣1=8× ，an=8×+1，所以 |Sn﹣n﹣6|= 解得最小的正整数n=7，故选：C．‎ ‎10. 已知数列中满足，，则的最小值为( )‎ A．7 B． C．9 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意知，，，，将以上个式子相加，得，所以，‎ ‎，令，，当时，，‎ 当，，，，故最小最值，故答案为D．‎ ‎11.在数列中，，，若数列满足，则数列的最大项为　　‎ A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 ‎【答案】B ‎【解析】数列中，，，得到：，‎ ‎，，，上边个式子相加得：‎ ‎，解得：．当时，首项符合通项．故．‎ 数列满足，则，由于，‎ 故：，解得：，由于是正整数，故．‎ ‎12.【2020届河北省定州市定州中学高三期末】若正项递增等比数列满足，则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设等比数列的公比为q(q＞1)，1+(a2-a4)+λ(a3-a5)=0，可得λ=则a8+λa9=a8+令，(t＞0)，q2=t+1，则设f(t)=当t＞时，f(t)递增；当0＜t＜‎ 时，f(t)递减．可得t=处，此时q=，f(t)取得最小值，且为，则a8+λa9的最小值为.‎ 二、 填空题(4*5=20分)‎ ‎13.【2020届山东省曲阜市高三期中】若等差数列满足，则当__________时， 的前项和最大．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】由等差数列的性质，，，又因为，所以 所以，所以，，故数列的前8项最大.‎ ‎14．设，其中成公比为的等比数列，成公差为1的等差数列，则的最小值是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，则，由于，‎ 所以，故的最小值是．‎ ‎15.【四川省德阳市2019届高三“一诊”】已知正数、的等差中项为1，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题得x+y=2, .当且仅当时取等.故答案为：9‎ ‎15.【2020届甘肃省肃南裕固族自治县第一中学高三月考】等差数列中， ，公差，则使前项和取得最大值的自然数是__________．‎ ‎【答案】5或6‎ ‎【解析】∵d＜0，|a3|=|a9|，∴a3=-a9，∴a1+2d=-a1-8d，∴a1+5d=0，∴a6=0，∴an＞0(1≤n≤5)， ∴Sn取得最大值时的自然数n是5或6．故答案为5或6.‎ ‎16.【2020届四川省广元市高三适应性统考】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n 项和，则使得成立的n的最小值为________．‎ ‎【答案】27‎ ‎【解析】设，则 ‎，由得，所以只需研究是否有满足条件的解，此时 ，，为等差数列项数，且.由，得满足条件的最小值为.‎ 三、解答题(6*12=72分)‎ ‎17、【云南省昆明市2020届高三月考】已知数列是等比数列，公比，前项和为，若，.‎ ‎(1)求的通项公式； (2)设，若恒成立，求的最小值.‎ ‎【答案】(1)；(2)8.‎ ‎【解析】(1)由，得，解得，或，(舍).‎ 所以.‎ ‎(2)由(1)可知：.‎ 因为，所以单调递增所以，恒成立时，，又因为，故的最小值为8.‎ ‎18.【福建省晋江市(安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学四校)2020届高三期中】已知数列的前n项和为，且．‎ Ⅰ求数列的通项公式；‎ Ⅱ若数列的前n项和为，求以及的最小值．‎ ‎【答案】(1)(2)，的最小值为1．‎ ‎【解析】Ⅰ当时，．当时，，‎ 所以：，整理得：常数，‎ 所以：数列是首项为2，公比为2的等比数列，故．‎ Ⅱ令，所以：，‎ ‎，得，所以：，又令，则，‎ 所以，数列是单调递减数列，所以：．的最小值为1．‎ ‎19.已知数列是公比为的等比数列，且是和的等差中项．‎ ‎(I)求的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)设数列的前项之积为，求的最大值．‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】(Ⅰ)因为 是和的等差中项，所以 ． 因为数列是公比为的等比数列，所以 ， 解得 ． 所以 ． ‎ ‎(Ⅱ)令，即，得， 故正项数列的前项大于1，第项等于1，以后各项均小于1． 所以 当，或时， 取得最大值， 的最大值为 ．‎ ‎20.【2020届江西省莲塘一中、临川二中高三联考】各项均为正数的数列的前项和为，满足 ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)令，若数列的前项和为，求的最小值.‎ ‎【答案】(1) ;(2) 最小值为.‎ ‎【解析】(1)，所以或(舍去)‎ 当时， ， ，所以.‎ ‎(2)，故，‎ 因为是递增的，所以，令，则，故在上是增函数，所以是递增的，则有，所以的最小值为.‎ ‎21.【2020届四川省广安、眉山毕业班诊断】已知数列的前项和为，且.‎ ‎(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，求满足不等式的最小正整数.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】(1)由，有，又，‎ 所以时， .‎ 当时，也满足，所以数列的通项公式为.‎ ‎(2)由(1)知，‎ 所以 令，解得，所以满足不等式的最小正整数为.‎ ‎22. 【河南省部分省示范性高中2020届高三联考】已知等差数列的公差，其中是方程的两根，数列的前项和为，且满足.‎ ‎(1)求数列， 的通项公式；‎ ‎(2)设数列的前项和为，且，若不等式对任意都成立，求整数的最小值.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】(1)易得方程的两根为-1和7，因为，所以，.‎ 所以，所以.当时，由，得；‎ 当时，可得，两式相减得，即.‎ 所以.‎ ‎(2)由(1)得，，所以，，‎ 两式相减得，，，‎ 所以.当时，；当时，；当时，因为，所以.‎ 所以的最大值为，从而，得，所以整数的最小值为-4. ‎ ‎ ‎