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  • 2021-07-01 发布

新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2020届高三第一次诊断性测试数学理试题

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‎2020年高三年级第一次诊断性测试 理科数学 ‎(卷面分值:150分 考试时间:120分钟)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ ‎1.设集合,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合A,直接进行交集运算即可.‎ ‎【详解】,‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查集合的交集运算,属于基础题.‎ ‎2.若复数z满足(其中i为虚数单位),则( )‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对复数进行化简,然后根据复数模长的计算公式,得到答案.‎ ‎【详解】‎ 所以.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查复数的计算,求复数的模长,属于简单题.‎ ‎3.已知是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题正确的是( )‎ A. 若,则 B. 若,则 C. 若,且,则 D. 若,且,则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间中直线和平面的位置关系分别去判断各个选项,均可举出反例;可证明得出.‎ ‎【详解】若,,则或与异面或与相交,故选项错误;‎ 若,,则与可能相交,故选项错误;‎ 若直线不相交,则平面不一定平行,故选项错误;‎ ‎, 或,又 ,故选项正确.‎ 本题正确选项:‎ ‎【点睛】本题考查空间中直线、平面之间位置关系有关命题的判断,考查学生的空间想象能力和对定理的掌握程度.‎ ‎4.设,则有( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 比较三个数与中间量0,1的大小即可求得大小关系.‎ ‎【详解】因为,所以 故选:A ‎【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较指数式、对数式的大小,属于基础题.‎ ‎5.已知向量满足,且与夹角为,则( )‎ A. -3 B. ‎-1 ‎C. 1 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的运算法则与数量积的运算求解即可.‎ 详解】.‎ 故选:B ‎【点睛】本题主要考查了向量的运算法则与数量积的运算,属于基础题型.‎ ‎6.已知双曲线的左、右焦点分别为,B为虚轴的一个端点,且,则双曲线的离心率为( )‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得,则即,又,即可解得.‎ ‎【详解】已知,因为,则在中,‎ 所以即,又,联立得,所以.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查双曲线的几何性质,属于基础题.‎ ‎7.执行如图所示的程序框图,则输出的( )‎ A. 3 B. ‎4 ‎C. 5 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出相应变量n的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.‎ ‎【详解】解:模拟程序的运行,可得 S=0,n=1 S=2,n=2 满足条件S<30,执行循环体,S=2+4=6,n=3 满足条件S<30,执行循环体,S=6+8=14,n=4 满足条件S<30,执行循环体,S=14+16=30,n=5 此时,不满足条件S<30,退出循环,输出n的值为5. ‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题.‎ ‎8.从这五个数字中随机选择两个不同的数字,则它们之和为偶数的概率为()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出基本事件总数n,再求出这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m,由此能求出这两个数字的和为偶数的概率 ‎【详解】从1、2、3、4、5、这五个数字中,随机抽取两个不同的数字,‎ 基本事件总数n,‎ 这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m4,‎ ‎∴这两个数字的和为偶数的概率为p.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公式的合理运用.‎ ‎9.等比数列的前项和为,且、、成等差数列,若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等比数列的公比为,根据题意得出关于的二次方程,求出的值,然后利用等比数列求和公式可求出的值.‎ ‎【详解】设等比数列的公比为,由于、、成等差数列,且,‎ ‎,即,即,解得,‎ 因此,.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列求和,解题的关键就是计算出等比数列的首项和公比,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎10.将奇函数的图象向右平移个单位,得到的图象,则的一个单调减区间为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两角差的正弦函数公式,函数的图象变换规律可求,利用余弦函数的单调性可求其单调递减区间,比较各个选项即可得解.‎ ‎【详解】解:由已知,‎ 因为为奇函数,‎ ‎,‎ 即,‎ ‎,‎ 时,,‎ ‎,‎ ‎,‎ 令,,‎ ‎,,‎ 当时,为的一个单调减区间,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了两角差的正弦函数公式,函数的图象变换规律,正弦函数的单调性,考查了转化思想和数形结合思想,属于基础题.‎ ‎11.已知抛物线C:的焦点F,点是抛物线上一点,以M为圆心的圆与直线交于A、B两点(A在B的上方),若,则抛物线C的方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的定义,表示出,再表示出,利用,得到和之间的关系,将点坐标,代入到抛物线中,从而解出的值,得到答案.‎ ‎【详解】抛物线C:,‎ 其焦点,准线方程,‎ 因为点是抛物线上一点,‎ 所以 所在直线,‎ 设于,则,‎ 因为,‎ 所以,即 整理得 所以 将点代入到抛物线方程,得,‎ 解得,‎ 所以抛物线方程为 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义,直线与圆的位置关系,求抛物线的标准方程,属于中档题.‎ ‎12.已知函数,若对任意,都有,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断出的单调性,然后将不等式转化为,根据 单调性,得到对任意恒成立,根据一次函数的单调性,得到最大值小于等于,从而得到关于的不等式,解得的范围.‎ ‎【详解】函数,‎ 当时,,在上单调递增,‎ 当时,,在上单调递增,‎ 所以在上单调递增,‎ 所以不等式转化为 因为在上单调递增,‎ 所以对任意恒成立,‎ 即 而单调递增,‎ 所以得到 解得 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的单调性解不等式,不等式恒成立问题,根据函数单调性求最值,属于中档题.‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分 ‎13.若,满足约束条件,则的最大值为_____________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题中所给的约束条件,画出相应的可行域,再将目标函数化成斜截式,之后在图中画出直线,在上下移动的过程中,结合的几何意义,可以发现直线过B点时取得最大值,联立方程组,求得点B的坐标代入目标函数解析式,求得最大值.‎ ‎【详解】根据题中所给的约束条件,画出其对应的可行域,如图所示:‎ 由,可得,‎ 画出直线,将其上下移动,‎ 结合的几何意义,可知当直线在y轴截距最大时,z取得最大值,‎ 由,解得,‎ 此时,故答案为6.‎ 点睛:该题考查的是有关线性规划的问题,在求解的过程中,首先需要正确画出约束条件对应的可行域,之后根据目标函数的形式,判断z 的几何意义,之后画出一条直线,上下平移,判断哪个点是最优解,从而联立方程组,求得最优解的坐标,代入求值,要明确目标函数的形式大体上有三种:斜率型、截距型、距离型;根据不同的形式,应用相应的方法求解.‎ ‎14.已知为锐角,则___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出,再利用两角和的正弦公式展开,带值计算即可.‎ ‎【详解】解:为锐角,‎ 则为钝角,则,‎ ‎,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查已知角的三角函数值求未知角的三角函数值,关键是要找到已知角和未知角之间的关系,将未知角用已知角表示出来,是基础题.‎ ‎15.已知数列满足:(),若,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:因,故当时,,,即时,,即,所以;当时,,,即时,可得,不成立,所以,应填.‎ 考点:分段数列的通项及运用.‎ ‎16.如图,已知在长方体中,,点为上的一个动点,平面与棱交于点,给出下列命题:‎ ‎①四棱锥的体积为;‎ ‎②存在唯一的点,使截面四边形的周长取得最小值;‎ ‎③当点不与,重合时,在棱上均存在点,使得平面 ‎④存在唯一一点,使得平面,且 其中正确的命题是_____________(填写所有正确的序号)‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①根据,再根据等体积转化,求出和,得到答案;②判断出截面四边形为平行四边形,将正方体侧面展开,面和面在同一平面内,得到最小为内的长度,从而得到截面四边形的周长的最小值;③取为中点时,在平面中,延长,交于,可得;④以点建立空间直角坐标系,根据线面垂直,得到点坐标,并求出.‎ ‎【详解】长方体中,‎ 命题①,‎ 易知平面 到平面的距离,等于到平面的距离,为,‎ 同理到平面的距离,等于到平面的距离,为 所以 ‎,故正确.‎ 命题②,易知平面平面,‎ 平面平面,平面平面 所以,同理,‎ 即四边形为平行四边形 将正方体侧面展开,面和面在同一平面内,‎ 可得在内,最小为的长度,‎ 此时点为与的交点,‎ 所以四边形的周长取得最小值,故正确.‎ 命题③,取为中点时,易知为中点 在平面中,延长,交于,‎ 通过,得到,‎ 所以,‎ 即此时平面,‎ 而此时点在延长线上,不在棱上,故错误.‎ 命题④,以点建立空间直角坐标系,设点 ‎,,‎ 所以,即,‎ 要使平面,‎ 则需,即 所以,得,即,故正确.‎ 故答案为:①②④‎ ‎【点睛】本题考查等体积转化求四棱锥的体积,棱柱展开图中最短距离问题,线面平行的判定,已知线面垂直利用空间向量求线段的长,属于中档题.‎ 三、解答题:第17~21题每题12分,解答应写出文字说明、证明过计算步骤 ‎17.的内角所对的边分别为,且.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若,求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将条件变形,利用余弦定理求;‎ ‎(2)根据条件,利用基本不等式求出的最大值,再根据三角形的面积公式代入的最大值求最值即可.‎ ‎【详解】解:(1)由题意得,‎ 即,‎ 所以,‎ 因为,‎ ‎;‎ ‎(2)由余弦定理得:,‎ 故,‎ 则,‎ 当时,的面积最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理的应用,三角形的面积公式以及基本不等式的应用,是基础题.‎ ‎18.如图,四棱锥中,底面,,为的中点 ‎(1)证明:平面 ‎(2)若是边长为2等边三角形,求二面角的余弦值 ‎【答案】(1)证明见解析 (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)取中点,得到,从而平面,可得到四边形是平行四边形,得到,从而平面,得到平面平面,从而证明平面;(2)建立空间直角坐标系,得到平面的法向量和平面 的法向量,利用向量夹角公式,得到二面角的余弦值.‎ ‎【详解】(1)如图取中点,连接和,‎ 为的中点,,‎ 平面,平面 平面,‎ ‎,‎ 又,‎ 四边形是平行四边形,,‎ 平面,平面 平面 又因为,平面,平面,‎ 平面平面,‎ 而平面 平面; ‎ ‎(2)根据题意,建立空间直角坐标系,‎ 为等边三角形,,不妨设,‎ 则,,‎ 设平面的法向量,‎ 由,得,‎ 令,得,‎ 平面PAB,‎ 平面的法向量 二面角A-PB-M的余弦值为 ‎【点睛】本题考查面面平行判定,面面平行的性质,利用空间向量求二面角的余弦值,属于中档题.‎ ‎19.“团购”已经渗透到我们每个人的生活,这离不开快递行业的发展,下表是2013-2017年全国快递业务量(x亿件:精确到0.1)及其增长速度(y%)的数据 ‎(1)试计算2012年的快递业务量;‎ ‎(2)分别将2013年,2014年,…,2017年记成年的序号t:1,2,3,4,5;现已知y与t具有线性相关关系,试建立y关于t的回归直线方程;‎ ‎(3)根据(2)问中所建立的回归直线方程,估算2019年的快递业务量 附:回归直线的斜率和截距地最小二乘法估计公式分别为:,‎ ‎【答案】(1)(亿件)(2)(3)2019年快递业务增长量为(亿件)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 设2012年的快递业务量为a,根据题意列出方程求解即可; (2)先求出,,代入即可求出,再代入 即可求出,从而得到回归直线方程;(3)首先利用(2)中求出的回归直线方程求出2018年快递业务增长量,再令,求出2019年快递业务增长量.‎ ‎【详解】(1)设2012年的快递业务量为a,则,解得;‎ ‎(2)‎ t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ y ‎61‎ ‎52‎ ‎48‎ ‎51‎ ‎28‎ ‎,‎ ‎(3)令,预测2018年比上半年增长,‎ ‎2018年快递业务增长量为(亿件)‎ 令,预测2019年比上半年增长,‎ ‎2019年快递业务增长量为(亿件).‎ ‎【点睛】本题考查折线统计图、柱状图,理解图中横轴、纵轴的含义是关键,考查线性回归方程,属于基础题.‎ ‎20.已知椭圆C:过点,左焦点 ‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)过点F作于x轴不重合的直线l,l与椭圆交于A,B两点,点A在直线上的投影N与点B的连线交x轴于D点,D点的横坐标是否为定值?若是,请求出定值;若不是,请说明理由 ‎【答案】(1) (2)D点的横坐标是定值-3;‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据左焦点,得到,根据点到左右焦点的距离和,得到,根据,得到,从而得到椭圆的标准方程;(2)设,代入椭圆方程,得到,,根据点写出BN的方程,令,得到的表达式,整理化简后,得到答案.‎ ‎【详解】(1)由题得,;‎ ‎,‎ ‎,即,‎ 椭圆的方程为 ‎ ‎(2)D点的横坐标为定值-3,理由如下: ‎ 已知直线斜率不为零,代入,‎ 得 整理,‎ 设,可知均不为零 ‎①,‎ ‎②,‎ 两式相除得③ ‎ ‎∴设BN的方程,‎ 令,‎ ‎④‎ 将③代入④‎ ‎∴点的横坐标为定值 ‎【点睛】本题考查椭圆的定义,求椭圆标准方程,直线与椭圆的位置关系,椭圆中的定值问题,属于中档题.‎ ‎21.已知函数 ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)若方程有两个不相等的实数根,求证:‎ ‎【答案】(1)时,在上是增函数,时,在和上是增函数,在上是减函数 ‎ ‎ (2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对求导,得到,根据的,对进行分类,分为,和;(2)令,先说明当时,不符合题意,再研究当时,利用导数得到最大值,根据有两个零点,得到,易得,再利用导数证明时,,从而确定范围为,再构造函数,利用导数得到在上单调递减,从而得以证明.‎ ‎【详解】(1)易知的定义域为,且,‎ 时,在上恒正,所以在上单调递增,‎ 时,对于,‎ ‎①当,即时,,在上增函数;‎ ‎②当,即时,有两个正根,‎ 所以,,单调递增,‎ ‎,,单调递减 综上,时,在上是增函数,时,在和上是增函数,在上是减函数 ‎ ‎(2)令,‎ 方程有两个不相等的实根函数有两个零点,‎ 由 定义域为且 ‎①当时,恒成立,在上单调递增,则至多有一个零点,不符合题意;‎ ‎②当时,得,‎ 在上单调递增,在上单调递减 要使有两个零点,则,由解得 ‎ 此时 ‎ 易知当时,‎ ‎,‎ 令,所以,‎ 时,在为增函数,‎ 在增函数,,‎ 所以,即 所以 函数在与各存在一个零点 综上所述,. ‎ ‎∴证明证明时,成立 设,则 易知在上递减,,在上单调递减 ‎,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性,利用导数求函数的极值、最值,函数与方程,零点存在定理,属于难题.‎ ‎22.在平面直角坐标系中,曲线,直线的参数方程为(t为参数),其中,以坐标原点O为极点,轴非负半轴为极轴,建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线的极坐标方程和直线的普通方程;‎ ‎(2)设,的极坐标方程,A,B分别为直线与曲线异于原点的公共点,当时,求直线的斜率;‎ ‎【答案】(1)曲线的极坐标方程为,直线l的普通方程为(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用将的普通方程转化为极坐标方程,消去参数t将直线l的参数方程转化为普通方程; (2)根据题意求出及,又点M在曲线上,则,由列出方程即可得解.‎ ‎【详解】(1)将代入曲线的普通方程得极坐标方程为,‎ 直线l的普通方程为;‎ ‎(2)由已知可得,则,‎ 因为点M在曲线上且,所以 在直角三角形中,则 所以,得直线l的斜率 ‎【点睛】本题考查普通方程与极坐标方程的互化,参数方程化成普通方程,直线与圆的位置关系,直径所对的圆周角是直角,属于中档题.‎ ‎23.函数 ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)若的最小值为,且实数满足,求证:‎ ‎【答案】(1)(2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)分类去绝对值符号后解不等式,最后取并集;(2)求出函数的最小值k,根据基本不等式得出结论.‎ ‎【详解】(1)①当时,不等式即为,解得 ‎②当时,不等式即为,‎ ‎③当时,不等式即为,‎ 综上,的解集为 ‎(2)由 当时,取最小值4,即,即 当且仅当时等号成立 ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法,不等式的证明与基本不等式的应用,属于中档题.‎