数学卷·2018届湖南省衡阳市衡阳四中高二上学期期中数学试卷（理科）（解析版） 17页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳四中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．下列命题正确的是（　　）‎ A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞﹣b，则﹣a＞b C．若ac＞bc，则a＞b D．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c ‎2．不等式﹣x2+3x+4＜0的解集为（　　）‎ A．{x|﹣1＜x＜4} B．{x|x＞4或x＜﹣1} C．{x|x＞1或x＜﹣4} D．{x|﹣4＜x＜1}‎ ‎3．在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b等于（　　）‎ A．4 B． C．4 D．‎ ‎4．在等差数列{an}中，已知a5=21，则a4+a5+a6等于（　　）‎ A．15 B．33 C．51 D．63‎ ‎5．已知点（3，1）和（4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（　　）‎ A．a＞0 B．a＜﹣7 C．﹣7＜a＜0 D．a＞0或a＜﹣7‎ ‎6．等比数列an中，a1=2，q=2，Sn=126，则n=（　　）‎ A．9 B．8 C．7 D．6‎ ‎7．若a＞1，则的最小值是（　　）‎ A．2 B．a C．3 D．‎ ‎8．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2﹣c2+b2=ab，则角C等于（　　）‎ A． B．或 C． D．‎ ‎9．设x，y满足，则z=x+y（　　）‎ A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值 C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值 ‎10．设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（　　）‎ A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 ‎11．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：‎ ‎（1）对任意a∈R，a*0=a；‎ ‎（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．‎ 则函数f（x）=（ex）*的最小值为（　　）‎ A．2 B．3 C．6 D．8‎ ‎12．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（　　）‎ A．90° B．120° C．135° D．150°‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13．在△ABC中，已知c=2，∠A=120°，a=2，则∠B=　　．‎ ‎14．某人玩投石子游戏，第一次走1米放2颗石子，第二次走2米放4颗石子，…，第n次走n米放2n颗石子，当此人一共走了36米时，他投放石子的总数是　　．‎ ‎15．函数f（x）=log2（x2﹣x+a）在[2，+∞）上恒为正，则a的取值范围是 　　．‎ ‎16．已知x＞0，y＞0，x+y=1，则+的最小值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）（1）Sn为等差数列{an}的前n项和，S2=S6，a4=1，求a5．‎ ‎（2）在等比数列{an}中，若a4﹣a2=24，a2+a3=6，求首项a1和公比q．‎ ‎18．（12分）解关于x的不等式：（x﹣1）（x+a）＞0．‎ ‎19．（12分）在△ABC中，cosA=﹣，cosB=，‎ ‎（1）求sinA，sinB，sinC的值 ‎ ‎（2）设BC=5，求△ABC的面积．‎ ‎20．（12分）已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a10=15，且a3、a4、a7成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎21．（12分）某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．‎ ‎（Ⅰ）求底面积并用含x的表达式表示池壁面积；‎ ‎（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？‎ ‎22．（12分）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C．另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳四中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．下列命题正确的是（　　）‎ A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞﹣b，则﹣a＞b C．若ac＞bc，则a＞b D．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据不等式式的性质，令c=0，可以判断A的真假；由不等式的性质3，可以判断B，C的真假；由不等式的性质1，可以判断D的真假，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：当c=0时，若a＞b，则ac2=bc2，故A错误；‎ 若a＞﹣b，则﹣a＜b，故B错误；‎ 若ac＞bc，当c＞0时，则a＞b；当c＜0时，则a＜b，故C错误；‎ 若a＞b，则a﹣c＞b﹣c，故D正确 故选D ‎【点评】本题考查的知识点是不等式的性质，及命题的真假判断与应用，其中熟练掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．不等式﹣x2+3x+4＜0的解集为（　　）‎ A．{x|﹣1＜x＜4} B．{x|x＞4或x＜﹣1} C．{x|x＞1或x＜﹣4} D．{x|﹣4＜x＜1}‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】把不等式的左边分解因式后，根据两数相乘的取符号法则：同号得正，异号得负，转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集．‎ ‎【解答】解：不等式﹣x2+3x+4＜0，‎ 因式分解得：（x﹣4）（x+1）＞0，‎ 可化为：或，‎ 解得：x＞4或x＜﹣1，‎ 则原不等式的解集为{x|x＞4或x＜﹣1}．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了转化的数学思想，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎3．在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b等于（　　）‎ A．4 B． C．4 D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】先求得A，进而利用正弦定理求得b的值．‎ ‎【解答】解：A=180°﹣B﹣C=45°，‎ 由正弦定理知=，‎ ‎∴b===4，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理的运用．考查了学生对基础公式的熟练应用．‎ ‎　‎ ‎4．在等差数列{an}中，已知a5=21，则a4+a5+a6等于（　　）‎ A．15 B．33 C．51 D．63‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】由等差数列的性质可得a4+a5+a6=3a5，代入化简可得．‎ ‎【解答】解：由等差数列的性质可得a4+a6=2a5，‎ ‎∴a4+a5+a6=3a5=3×21=63‎ 故选D ‎【点评】本题考查等差数列的性质，划归为a5是解决问题的关键，属基础题．‎ ‎　‎ ‎5．已知点（3，1）和（4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（　　）‎ A．a＞0 B．a＜﹣7 C．﹣7＜a＜0 D．a＞0或a＜﹣7‎ ‎【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．‎ ‎【分析】根据二元一次不等式组表示平面区域，以及（3，1）和（4，6）在直线两侧，建立不等式即可求解．‎ ‎【解答】解：∵点（3，1）和（4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，‎ ‎∴两点对应坐标对应式子3x﹣2y+a的符号相反，‎ 即（9﹣2+a）（12﹣12+a）＜0，‎ 即a（a+7）＜0，‎ ‎∴﹣7＜a＜0，‎ 即实数a的取值范围是﹣7＜a＜0，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，利用点在直线的两侧得对应式子符号相反是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．等比数列an中，a1=2，q=2，Sn=126，则n=（　　）‎ A．9 B．8 C．7 D．6‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】由首项和公比的值，根据等比数列的前n项和公式表示出Sn，让其等于126列出关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值．‎ ‎【解答】解：由a1=2，q=2，得到Sn===126，‎ 化简得：2n=64，解得：n=6．‎ 故选D ‎【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的前n项和公式化简求值，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎7．若a＞1，则的最小值是（　　）‎ A．2 B．a C．3 D．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】将变形，然后利用基本不等式求出函数的最值，检验等号能否取得．‎ ‎【解答】解：因为a＞1，‎ 所以a﹣1＞0，‎ 所以=‎ 当且仅当即a=2时取“=”‎ 故选C ‎【点评】利用基本不等式求函数的最值，一定注意使用的条件：一正、二定、三相等．‎ ‎　‎ ‎8．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2﹣c2+b2=ab，则角C等于（　　）‎ A． B．或 C． D．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】先将a2﹣c2+b2=ab变形为，再结合余弦定理的公式可求出cosC的值，进而可求出C的值．‎ ‎【解答】解：∵a2﹣c2+b2=ab∴‎ ‎∴C=‎ 故选A．‎ ‎【点评】本土主要考查余弦定理的应用．属基础题．‎ ‎　‎ ‎9．设x，y满足，则z=x+y（　　）‎ A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值 C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值 ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】本题考查的知识点简单线性规划问题，我们先在坐标系中画出满足约束条件 对应的平面区域，根据目标函数z=x+y及直线2x+y=4的斜率的关系，即可得到结论．‎ ‎【解答】解析：如图作出不等式组表示的可行域，如下图所示：‎ 由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率，‎ 因此当z=x+y过点（2，0）时，z有最小值，‎ 但z没有最大值．‎ 故选B ‎【点评】目判断标函数的有元最优解，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式②分析Z与截距的关系，是符号相同，还是相反③根据分析结果，结合图形做出结论④根据目标函数斜率与边界线斜率之间的关系分析，即可得到答案．‎ ‎　‎ ‎10．设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（　　）‎ A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 ‎【考点】数列与三角函数的综合；三角形的形状判断．‎ ‎【分析】先由△ABC的三内角A、B、C成等差数列，求得∠B=60°，∠A+∠C=120°①；再由sinA、sinB、sinC成等比数列，得sin2B=sinA•sinC，②，①②结合即可判断这个三角形的形状．‎ ‎【解答】解：∵△ABC的三内角A、B、C成等差数列，‎ ‎∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①；‎ 又sinA、sinB、sinC成等比数列，‎ ‎∴sin2B=sinA•sinC=，②‎ 由①②得：sinA•sin（120°﹣A）‎ ‎=sinA•（sin120°cosA﹣cos120°sinA）‎ ‎=sin2A+•‎ ‎=sin2A﹣cos2A+‎ ‎=sin（2A﹣30°）+‎ ‎=，‎ ‎∴sin（2A﹣30°）=1，又0°＜∠A＜120°‎ ‎∴∠A=60°．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得∠B=60°，∠A+∠C=120°，再利用三角公式转化，着重考查分析与转化的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：‎ ‎（1）对任意a∈R，a*0=a；‎ ‎（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．‎ 则函数f（x）=（ex）*的最小值为（　　）‎ A．2 B．3 C．6 D．8‎ ‎【考点】进行简单的合情推理．‎ ‎【分析】根据性质，f（x）=（ex）*=1+ex+，利用基本不等式，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：根据性质，f（x）=（ex）*=1+ex+≥1+2=3，‎ 当且仅当ex=时，f（x）=（ex）*的最小值为3．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查新定义，考查基本不等式的运用，正确理解新定义是关键．‎ ‎　‎ ‎12．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（　　）‎ A．90° B．120° C．135° D．150°‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】设长为7的边所对的角为θ，根据余弦定理可得cosθ的值，进而可得θ的大小，则由三角形内角和定理可得最大角与最小角的和是180°﹣θ，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，‎ 设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°﹣θ，‎ 有余弦定理可得，cosθ==，‎ 易得θ=60°，‎ 则最大角与最小角的和是180°﹣θ=120°，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查余弦定理的运用，解本题时注意与三角形内角和定理结合分析题意．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13．在△ABC中，已知c=2，∠A=120°，a=2，则∠B=　30°　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】先根据正弦定理利用题设条件求得sinC，进而求得C，最后利用三角形内角和求得B．‎ ‎【解答】解：由正弦定理可知=‎ ‎∴sinC=c•=2×=‎ ‎∴C=30°‎ ‎∴∠B=180°﹣120°﹣30°=30°‎ 故答案为：30°‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．作为解三角形的重要重要公式，应熟练掌握．‎ ‎　‎ ‎14．某人玩投石子游戏，第一次走1米放2颗石子，第二次走2米放4颗石子，…，第n次走n米放2n颗石子，当此人一共走了36米时，他投放石子的总数是　510　．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】易得此人一共走了8次，由等比数列的前n项和公式可得．‎ ‎【解答】解：∵1+2+3+4+5+6+7+8=36，‎ ‎∴此人一共走了8次 ‎∵第n次走n米放2n颗石子 ‎∴他投放石子的总数是2+22+23+…+28‎ ‎==2×255=510‎ 故答案为：510‎ ‎【点评】本题考查等比数列的求和公式，得出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题．‎ ‎　‎ ‎15．函数f（x）=log2（x2﹣x+a）在[2，+∞）上恒为正，则a的取值范围是 　a＞﹣1　．‎ ‎【考点】其他不等式的解法；函数恒成立问题．‎ ‎【分析】根据函数f（x）=log2（x2﹣x+a）在[2，+∞）上恒为正，我们易根据对数函数的单调性，判断出其真数部分大于1恒成立，构造真数部分的函数，易判断其在[2，+∞）的单调性，进而得到一个关于a的不等式，解不等式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=log2（x2﹣x+a）在[2，+∞）上恒为正 ‎∴g（x）=x2﹣x+a＞1在[2，+∞）上恒成立 又∵g（x）=x2﹣x+a在[2，+∞）单调递增 ‎∴g（2）=2+a＞1恒成立 即a＞﹣1‎ 故答案为：a＞﹣1‎ ‎【点评】本题考查的知识点是对数不等式的解法，函数恒成立问题，其中根据对数函数的性质，将总是转化为一个二次函数恒成立问题是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎16．已知x＞0，y＞0，x+y=1，则+的最小值为　9　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】利用基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+y=1，‎ ‎∴+=（x+y）=5+=9，当且仅当x=2y=时取等号．‎ 故+的最小值为9．‎ 故答案为：9．‎ ‎【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）（2015春•武威校级期末）（1）Sn为等差数列{an}的前n项和，S2=S6，a4=1，求a5．‎ ‎（2）在等比数列{an}中，若a4﹣a2=24，a2+a3=6，求首项a1和公比q．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式；等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由已知可得，解之即可；（2）由已知可得，解之可得．‎ ‎【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，‎ 由已知可得，‎ 解之可得，故a5=1+（﹣2）=﹣1；‎ ‎（2）由已知可得，‎ 解之可得 ‎【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，属基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2010秋•万盛区校级期末）解关于x的不等式：（x﹣1）（x+a）＞0．‎ ‎【考点】一元二次不等式的应用；一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】先由不等式：（x﹣1）（x+a）＞0，得出其对应方程（x﹣1）（x+a）=0的根的情况，再对参数a的取值范围进行讨论，分类解不等式 ‎【解答】解：由（x﹣1）（x+a）=0得，x=1或x=﹣a，…‎ 当a＜﹣1时，不等式的解集为{x|x＞﹣a或x＜1}；‎ 当a=﹣1时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；‎ 当a＞﹣1时，不等式的解集为{x|x＜﹣a或x＞1}．…（10分）‎ 综上，当a＜﹣1时，不等式的解集为{x|x＞﹣a或x＜1}；‎ 当a=﹣1时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；‎ 当a＞﹣1时，不等式的解集为{x|x＜﹣a或x＞1}．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查一元二次不等式的解法，解题的关键是对参数的范围进行分类讨论，分类解不等式，此题是一元二次不等式解法中的难题，易因为分类不清与分类有遗漏导致解题失败，解答此类题时要严谨，避免考虑不完善出错．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2014春•连江县校级期末）在△ABC中，cosA=﹣，cosB=，‎ ‎（1）求sinA，sinB，sinC的值 ‎ ‎（2）设BC=5，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】正弦定理；正弦定理的应用．‎ ‎【分析】（1）根据cosB，cosA的值可分别求得sinA，sinB的值，继而根据sinC=sin（A+B）利用两角和公式求得sinC的值．‎ ‎（2）先根据正弦定理求得AC的值，最后根据三角形面积公式求得答案．‎ ‎【解答】解：（1）sinA==，sinB==，‎ sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×﹣×=．‎ ‎（2）由正弦定理知=，‎ ‎∴AC=•sinB=×=，‎ ‎∴S△ABC=BC•AC•sinC=×5××=．‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，两角和公式的化简求值．注重了对学生综合素质的考查．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2014•宁波模拟）已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a10=15，且a3、a4、a7成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，（d≠0），依题意，解方程组可求得，从而可得数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）由于bn==，于是Tn=+++…+，利用错位相减法即可求得数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，（d≠0），‎ 由已知得：，即，解之得：，‎ ‎∴an=2n﹣5，（n∈N*）．‎ ‎（Ⅱ）∵bn==，n≥1．‎ Tn=+++…+，①‎ Tn=+++…++，②‎ ‎①﹣②得： Tn=+2（++…+）﹣=﹣+，‎ ‎∴Tn=﹣1﹣（n∈N*）．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式与错位相减法求和，考查方程思想与等价转化思想的综合运用，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2014春•黄岛区校级期末）某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．‎ ‎（Ⅰ）求底面积并用含x的表达式表示池壁面积；‎ ‎（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）分析题意，本小题是一个建立函数模型的问题，可设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，由题中所给的关系，将此两者用池底长方形长x表示出来．‎ ‎（Ⅱ）此小题是一个花费最小的问题，依题意，建立起总造价的函数解析式，由解析式的结构发现，此函数的最小值可用基本不等式求最值，从而由等号成立的条件求出池底边长度，得出最佳设计方案 ‎【解答】解：（Ⅰ）设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，‎ 则有（平方米），‎ 可知，池底长方形宽为米，则 ‎（Ⅱ）设总造价为y，则 当且仅当，即x=40时取等号，‎ 所以x=40时，总造价最低为297600元．‎ 答：x=40时，总造价最低为297600元．（12分）‎ ‎【点评】本题考查函数模型的选择与应用，解题的关键是建立起符合条件的函数模型，故分析清楚问题的逻辑联系是解决问题的重点，此类问题的求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题 ‎　‎ ‎22．（12分）（2010•广东）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C．另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【分析】利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．‎ ‎【解答】解：设为该儿童分别预订x个单位的午餐和y个单位的晚餐，‎ 设费用为F，则F=2.5x+4y，‎ 由题意知约束条件为：‎ 画出可行域如图：‎ 变换目标函数：‎ 当目标函数过点A，即直线6x+6y=42与6x+10y=54的交点（4，3）时，F取得最小值．‎ 即要满足营养要求，并且花费最少，应当为儿童分别预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐．‎ ‎【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．‎ ‎　‎