2019年高考数学复习大二轮精准提分课件第二篇 第17练 39页

第二篇　重点专题分层练 ， 中高档题得高分 第 17 练　概率、随机变量及其分布列 [ 小题提速练 ] 明晰 考 情 1. 命题角度：古典概型、几何概型的考查；独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件及简单的随机变量的分布列 . 2 . 题目难度：中低档难度 . 核心考点突破练 栏目索引 易错易混专项练 高考押题冲刺练 考点一　古典概型和几何概型 方法技巧 　求解古典 ( 几何 ) 概型的概率的两种常用方法 (1) 直接法：将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率 . (2) 间接法： 若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件，需要分类太多，而其对立面的分类较少时，可考虑利用对立事件的概率公式进行求解，即 “ 正难则反 ”. 它常用来求 “ 至少 ” 或 “ 至多 ” 型事件的概率 . 核心考点突破练 1.(2016· 北京 ) 从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为 √ 解析　 从甲、乙等 5 名学生中随机选 2 人共有 10 种情况 ， 甲 被选中有 4 种情况， 答案 解析 2. 住在狗熊岭的 7 只动物，它们分别是熊大，熊二，吉吉，毛毛，蹦蹦，萝卜头，图图 . 为了更好的保护森林，它们要选出 2 只动物作为组长，则熊大，熊二至少一只被选为组长的概率为 √ 解析　 从住在狗熊岭的 7 只动物中选出 2 只动物作为组长， 熊 大 ， 熊二至少一只被选为组长的对立事件是熊大 ， 熊二都没有被选为组长 ， 答案 解析 3. 在区间 [ － π ， π] 内随机取两个数分别记为 a ， b ，则使得函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ 2 ax － b 2 ＋ π 有零点的概率为 √ 解析　 ∵ a ， b 使得函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ 2 ax － b 2 ＋ π 有零点， ∴ Δ ≥ 0 ， a 2 ＋ b 2 ≥ π. 试验发生时包含的所有事件是 Ω ＝ {( a ， b )| － π ≤ a ≤ π ，－ π ≤ b ≤ π} ， ∴ S ＝ (2π) 2 ＝ 4π 2 ， 而满足条件的事件是 {( a ， b )| a 2 ＋ b 2 ≥ π} ， ∴ S 1 ＝ 4π 2 － π 2 ＝ 3π 2 ， 答案 解析 解析　 设事件 “ 在区间 [ － 4 ， 5] 上随机取一个数 x ，则 x ∈ D ” 为事件 A ， 由 6 ＋ x － x 2 ≥ 0 ，解得－ 2 ≤ x ≤ 3 ， ∴ D ＝ [ － 2 ， 3]. 如图，区间 [ － 4 ， 5] 的长度为 9 ，定义域 D 的长度为 5 ， 答案 解析 考点二　互斥事件、相互独立事件的概率 要点重组 　 (1) 条件概率 (2) 相互独立事件同时发生的概率 P ( AB ) ＝ P ( A ) P ( B ). 方法技巧 　 (1) 求复杂事件的概率：将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解 . (2) ① 注意辨别独立重复试验的基本特征：  在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；  在每次试验中，事件发生的概率相同 . 5. 把一枚骰子连续抛掷两次，记 “ 第一次抛出的是素数点 ” 为事件 A ， “ 第二次抛出的是合数点 ” 为事件 B ，则 P ( B | A ) 等于 √ 答案 解析 6. 盒中装有 6 件产品，其中 4 件一等品， 2 件二等品，从中不放回地取两次，每次取 1 件，已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率为 √ 解析　 设 “ 第二次取得一等品 ” 为事件 A ， “ 第一次取得二等品 ” 为事件 B ， 答案 解析 √ 即 P ( A )[1 － P ( B )] ＝ P ( B )[1 － P ( A )] ， ∴ P ( A ) ＝ P ( B ). 答案 解析 解析　 考察一位乘客是否在第 20 层下电梯为一次试验， 答案 解析 考点三　离散型随机变量的期望和方差 方法技巧 　离散型随机变量期望与方差的解题思路 (1) 理解随机变量 X 的意义，写出 X 的所有可能取值，确定分布列的类型 . (2) 求 X 取每个值的概率 . (3) 写出 X 的分布列 . (4) 求出 E ( X ) ， D ( X ). 9. 某种子每粒发芽的概率都为 0.9 ，现播种了 1 000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种 2 粒，补种的种子数记为 X ，则 X 的期望为 A.100 　　　 B.200 　 　　 C.300 　　　 D.400 解析　 E ( X ) ＝ 1 000 × 0.9 × 0 ＋ 1 000 × 0.1 × 2 ＝ 200. √ 答案 解析 10. 袋中装有大小相同，标号分别为 1 ， 2 ， 3 ， … ， 9 的 9 个球 . 现从袋中随机取出 3 个球 . 设 ξ 为这 3 个球的标号相邻的组数 ( 例如：若取出球的标号为 3 ， 4 ， 5 ，则有两组相邻的标号 3 ， 4 和 4 ， 5 ，此时 ξ 的值是 2) ，则随机变量 ξ 的期望 E ( ξ ) 为 解析　 依题意得， ξ 的所有可能取值是 0 ， 1 ， 2 ， √ 答案 解析 11.(2018· 全国 Ⅲ ) 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p ，各成员的支付方式相互独立 . 设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数， D ( X ) ＝ 2.4 ， P ( X ＝ 4) ＜ P ( X ＝ 6) ，则 p 等于 A.0.7 　　　 B.0.6 　　　 C.0.4 　　　 D.0.3 解析　 由题意可知， 10 位成员中使用移动支付的人数 X 服从二项分布 ， 即 X ～ B (10 ， p ) ， 所以 D ( X ) ＝ 10 p (1 － p ) ＝ 2.4 ，所以 p ＝ 0.4 或 0.6. 又因为 P ( X ＝ 4) ＜ P ( X ＝ 6) ， √ 所以 p ＝ 0.6. 答案 解析 12.(2017· 全国 Ⅱ ) 一批产品的二等品率为 0.02 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次， X 表示抽到的二等品件数，则 D ( X ) ＝ _____. 1.96 解析　 由题意得 X ～ B (100 ， 0.02) ， ∴ D ( X ) ＝ 100 × 0.02 × (1 － 0.02) ＝ 1.96. 答案 解析 1. 甲袋中装有 3 个白球和 5 个黑球，乙袋中装有 4 个白球和 6 个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为 易错易混专项练 √ 答案 解析 2. 体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球 3 次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到 3 次为止 . 设学生一次发球成功的概率为 p ( p ≠ 0) ，发球次数为 X ，若 X 的期望 E ( X ) ＞ 1.75 ，则 p 的取值范围是 √ 解析　 发球次数 X 的分布列如下表： X 1 2 3 P p (1 － p ) p (1 － p ) 2 答案 解析 4 ∴ n ≥ 4 ， ∴ n 的最小值为 4. 答案 解析 解题秘籍 　 (1) 解决一些复杂事件的概率问题，关键在于将事件拆分成若干个互斥事件的和或者相互独立事件的积，再利用概率的加法公式或事件的相互独立性求概率 . (2) 求离散型随机变量的分布列，首先要判断事件的类型和随机变量的分布，一定要保证随机变量各个取值对应的概率之和为 1. 高考押题冲刺练 1. 为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 √ 方法二　将 4 种颜色的花任选 2 种种在一个花坛中，余下 2 种种在另一个花坛中，有 (( 红黄 ) 、 ( 白紫 )) ， (( 白紫 ) 、 ( 红黄 )) ， (( 红白 ) 、 ( 黄紫 )) ， (( 黄紫 ) 、 ( 红白 )) ， (( 红紫 ) 、 ( 黄白 )) ， (( 黄白 ) 、 ( 红紫 )) ，共 6 种种法， 其中红色和紫色不在一个花坛中的种法有 (( 红黄 ) 、 ( 白紫 )) ， (( 白紫 ) 、 ( 红黄 )) ， (( 红白 ) 、 ( 黄紫 )) ， (( 黄紫 ) ， ( 红白 )) ，共 4 种， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 每年 3 月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者男生 3 人，女生 2 人，现需选出 2 名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的 2 名志愿者性别相同的概率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 √ 方法二　 设男生为 A ， B ， C ，女生为 a ， b ，从 5 名中选出 2 名志愿者有 ( A ， B ) ， ( A ， C ) ， ( A ， a ) ， ( A ， b ) ， ( B ， C ) ， ( B ， a ) ， ( B ， b ) ， ( C ， a ) ， ( C ， b ) ， ( a ， b ) ， 共 10 种不同情况， 其中选出的 2 名志愿者性别相同的有 ( A ， B ) ， ( A ， C ) ， ( B ， C ) ， ( a ， b ) ，共 4 种不同情况， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 一盒中有白、黑、红三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取 5 次时停止取球的概率为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 4. 设由 “ 0 ”“ 1 ” 组成的三位数组中，若用 A 表示 “ 第二位数字为 ‘ 0 ’ 的事件 ” ，用 B 表示 “ 第一位数字为 ‘ 0 ’ 的事件 ” ，则 P ( A | B ) 等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 5.(2018· 浙江 ) 设 0 ＜ p ＜ 1 ，随机变量 ξ 的分布列是 则当 p 在 (0 ， 1) 内增大时， A. D ( ξ ) 减小 B. D ( ξ ) 增大 C. D ( ξ ) 先减小后增大 D. D ( ξ ) 先增大后减小 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 即当 p 在 (0 ， 1) 内增大时， D ( ξ ) 先增大后减小 . 故选 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 7. 在 “ 石头、剪刀、布 ” 的游戏中，规定： “ 石头赢剪刀 ”“ 剪刀赢布 ” “ 布赢石头 ”. 现有甲、乙两人玩这个游戏，共玩 3 局， 每一局中每人都等可能地独立选择一种手势 . 设甲赢乙的局数为 ξ ，则随机变量 ξ 的期望是 √ 解析　 每一局中每人有 3 种选择，故共有 9 种情况， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 8. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125 个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为 X ，则 X 的期望 E ( X ) 等于 √ 解析　 由题意可知，涂漆面数 X 的可能取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 9. 在等差数列 { a n } 中， a 4 ＝ 2 ， a 7 ＝－ 4 ，现从 { a n } 的前 10 项中随机取数，每次取出一个数 ， 取后放回 ， 连续抽取 3 次 ， 假定每次取数互不影响 ， 那 么 在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为 ____. 解析　 由已知可求得通项公式为 a n ＝ 10 － 2 n ( n ＝ 1 ， 2 ， 3 ， … ) ， 其中 a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 为正数， a 5 ＝ 0 ， a 6 ， a 7 ， a 8 ， a 9 ， a 10 为负数， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 10. 签盒中有编号为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 的六支签，从中任意取 3 支，设 X 为这 3 支签的号码之中最大的一个，则 X 的期望为 ______. 解析　 由题意可知， X 可以取 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.25 答案 解析 由期望的定义可求得 E ( X ) ＝ 5.25. 11. 某央企申请在雄安新区建立分公司 . 若规定每家央企只能在雄县、容城、安新 3 个片区中的一个片区建立分公司，且申请其中在任一个片区建立是等可能的，每家央企选择哪个片区相互之间互不影响且必须在其中一个片区建立分公司 ， 若向雄安新区申请建立分公司的有 4 家央企 ， 则 恰 有 2 家央企申请在 “ 雄县 ” 片区建立分公司的概率为 ____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.(2018· 茂名模拟 ) 不透明袋子中装有大小、材质完全相同的 2 个红球和 5 个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则 摸 取 次数 X 的数学期望是 ____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 当 X ＝ k 时，第 k 次取出的必然是红球， 而前 k － 1 次中，有且只有 1 次取出的是红球，其余次数取出的皆为黑球， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12