高中数学选修2-2单元质量评估(一) 16页

温馨提示：‎ ‎ 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。‎ 单元质量评估 (一)‎ 第一章 ‎（120分钟 150分）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.(2014·天津高二检测)若函数y=f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则的值为(　　)‎ A.f′(x0)　　　　　　　　　B‎.2f′(x0)‎ C.‎-2f′(x0) D.0‎ ‎【解析】选B.‎ ‎=2‎ ‎=2=‎2f′(x0)‎ ‎2.(2013·江西高考改编)若曲线y=xα+1(α∈R)在(1，2)处的切线经过原点，则α=(　　)‎ A.1　　　　B‎.2　‎　　　C.3　　　　D.4‎ ‎【解析】选B.因为y′=αxα-1，所以令x=1得切线的斜率为α，故切线方程为y-2=α(x-1)，代入(0，0)得α=2.‎ ‎3.甲、乙两人从同一起点出发按同一方向行走，已知甲、乙行走的速度与行走的时间分别v甲=，v乙=t2(如图)，当甲乙行走的速度相同(不为零)时刻(　　)‎ A.甲乙两人再次相遇 B.甲乙两人加速度相同 C.甲在乙前方 D.乙在甲前方 ‎【解析】选C.由v甲=v乙，得=t2，解得t=0(舍)，或t=1.‎ 由dt==.‎ t2dt=t3=.‎ 所以当甲乙行走的速度相同(不为零)时刻甲在乙前方.‎ 故选C.‎ ‎4.下面为函数y=xsinx+cosx的递增区间的是(　　)‎ A. B.(π，2π)‎ C. D.(2π，3π)‎ ‎【解析】选C.y′=(xsinx+cosx)′=sinx+xcosx-sinx=xcosx，当x∈时，恒有xcosx>0.故选C.‎ ‎5.(2014·泰安高二检测)函数f(x)=x3+3x2+3x-a的极值点的个数是(　　)‎ A.2　　　　B‎.1　‎　　　C.0　　　　D.由a确定 ‎【解析】选C.f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0恒成立，‎ 所以f(x)在R上单调递增，故f(x)无极值点，选C.‎ ‎6.已知实数a，b满足-1≤a≤1，-1≤b≤1，则函数y=x3-ax2+bx+5有极值的概率为(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解题指南】根据函数有极值的充要条件，转化为定积分求面积之比，运用几何概型计算概率.‎ ‎【解析】选C.因为函数y=x3-ax2+bx+5有极值，‎ 所以y′=x2-2ax+b=0有两个不等实数根，‎ 得‎4a2-4b>0，即b0，即b>a或b<-a(舍)，‎ 又Ω={(a，b)|a，b∈[0，]}，A={(a，b)|b>a}，‎ 如图，在平面直角坐标系aOb中，‎ P(A)==.‎ ‎7.下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是(　　)‎ A.①② B.③④ C.①③ D.①④‎ ‎【解析】选B.③不正确，导函数过原点，但三次函数在x=0处不存在极值；④‎ 不正确，三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负.故应选B.‎ ‎8.已知y=f(x)是定义在R上的函数，且f(1)=1，f′(x)>1，则f(x)>x的解集是(　　)‎ A.(0，1) B.(-1，0)∪(0，1)‎ C.(1，+∞) D.(-∞，-1)∪(1，+∞)‎ ‎【解析】选C.设g(x)=f(x)-x，‎ 则g′(x)=f′(x)-1，因为f′(x)>1，‎ 所以g′(x)>0，即g(x)在R上是增函数，‎ 又g(1)=f(1)-1=1-1=0，‎ 所以当x>1时，g(x)>g(1)=0，‎ 即当x>1时，f(x)>x.‎ 所以f(x)>x的解集为(1，+∞).‎ ‎9.在函数y=x3-8x的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是(　　)‎ A.3 B‎.2 ‎ C.1 D.0‎ ‎【解析】选D.由于y′=(x3-8x)′=3x2-8，由题意，得0<3x2-8<1，0或a<-4‎ ‎【解析】选C.因为f′(x)=2x+2+，f(x)在(0，1)上单调，所以f′(x)≥0或 f′(x)≤0在(0，1)上恒成立，‎ 即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0在(0，1)上恒成立，‎ 所以a≥-(2x2+2x)或a≤-(2x2+2x)在(0，1)上恒成立.‎ 记g(x)=-(2x2+2x)，0f(b)g(b)‎ B.f(x)g(a)>f(a)g(x)‎ C.f(x)g(b)>f(b)g(x)‎ D.f(x)g(x)>f(a)g(x)‎ ‎【解析】选C.令F(x)=，‎ 则F′(x)=<0，‎ 因为f(x)，g(x)是定义域为R的恒大于零的函数，‎ 所以F(x)在R上为递减函数，‎ 当x∈(a，b)时，>，‎ 所以f(x)g(b)>f(b)g(x).故应选C.‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13.(2014·江西高考)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是　　　　.‎ ‎【解题指南】切线问题运用导数的几何意义求解.‎ ‎【解析】设点P(x0,y0),因为y′=-e-x,‎ 所以曲线在点P处的切线的斜率为k=-,‎ 又因为切线平行于直线2x+y+1=0,‎ 所以-=-2,‎ 解得x0=-ln2,代入y=e-x得y0=2,‎ 所以点P(-ln2,2).‎ 答案:(-ln2,2)‎ ‎14.设a>0，若曲线y=与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a2，则a=________.‎ ‎【解析】由已知得S=dx===a2，‎ 所以=，所以a=.‎ 答案：‎ ‎15.(2014·南京高二检测)直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有三个相异的公共点，则a的取值范围是________.‎ ‎【解析】令f′(x)=3x2-3=0，得x=±1，可求得f(x)的极大值为f(-1)=2，极小值为f(1)=-2，‎ 如图所示，-20，若∀x∈R，恒有f(x)≥0，则的最小值是__________.‎ ‎【解析】二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的导数为f′(x)=2ax+b，由f′(0)>0，得b>0，‎ 又对∀x∈R，恒有f(x)≥0，则a>0，‎ 且Δ=b2‎-4ac≤0，故c>0，‎ 所以==++1≥2+1≥2+1=2，‎ 所以的最小值为2.‎ 答案：2‎ ‎【变式训练】设f(x)=x3-x2-2x+5，当x∈[-1，2]时，f(x)0⇒x<-或x>1；‎ f′(x)<0⇒-7为所求.‎ 答案：(7，+∞)‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(10分)(2013·广州高二检测)已知曲线y = x3+x-2在点P0处的切线l1平行于直线4x-y-1=0，且点P0在第三象限，‎ ‎(1)求P0的坐标.‎ ‎(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程.‎ ‎【解析】(1)由y=x3+x-2，得y′=3x2+1，‎ 由已知得3x2+1=4，解得x=±1.当x=1时，y=0；当x=-1时，y=-4.‎ 又因为点P0在第三象限，‎ 所以切点P0的坐标为(-1，-4).‎ ‎(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，‎ 所以直线l的斜率为-，‎ 因为l过切点P0，点P0的坐标为(-1，-4)，‎ 所以直线l的方程为y+4=-(x+1)，‎ 即x+4y+17=0.‎ ‎18.(12分)(2013·大纲版全国卷)已知函数f=x3+3ax2+3x+1.‎ ‎(1)求a=-时，讨论f的单调性.‎ ‎(2)若x∈时，f≥0，求a的取值范围.‎ ‎【解析】(1)当a=-时，f(x)=x3-3x2+3x+1，‎ f′(x)=3x2-6x+3.‎ 令f′(x)=0，得x1=-1，x2=+1.‎ 当x∈(-∞，-1)时，f′(x)>0，‎ f(x)在(-∞，-1)是增函数；‎ 当x∈(-1，+1)时，‎ f′(x)<0，f(x)在(-1，+1)是减函数；‎ 当x∈(+1，+∞)时，f′(x)>0，f(x)在(+1，+∞)是增函数.‎ ‎(2)由f(2)≥0得a≥-.‎ 当a≥-，x∈(2，+∞)时，f′(x)=3(x2+2ax+1)≥3= 3(x-2)>0，‎ 所以f(x)在(2，+∞)是增函数，于是当x∈[2，+∞)时，f(x)≥f(2)≥0.‎ 综上，a的取值范围是.‎ ‎19.(12分)(2013·福建高考)已知函数f(x)=x-1+(a∈R，e为自然对数的底数).‎ ‎(1)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值.‎ ‎(2)求函数f(x)的极值.‎ ‎(3)当a=1时，若直线l：y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点，求k的最大值.‎ ‎【解题指南】对函数求导，根据导数即切线斜率，知切线斜率为0.欲求极值，先求单调性，要注意对参数a进行讨论.‎ ‎【解析】(1)由f=x-1+，得f′=1-.‎ 又因为曲线y=f在点处的切线平行于x轴，得f′=0，即1-=0，解得a=e.‎ ‎(2)f′=1-，‎ ‎①当a≤0时，f′>0，f为R上的增函数，所以函数f无极值.‎ ‎②当a>0时，令f′=0，得ex=a，x=lna.‎ x∈，f′<0；x∈，‎ f′>0.‎ 所以f在上单调递减，在上单调递增，‎ 故f在x=lna处取得极小值，且极小值为f=lna，无极大值.‎ 综上，当a≤0时，函数f无极值；‎ 当a>0时，f在x=lna处取得极小值lna，无极大值.‎ ‎(3)当a=1时，f=x-1+，‎ 令g=f-=x+，‎ 则直线l：y=kx-1与曲线y=f没有公共点，‎ 等价于方程g=0在R上没有实数解.‎ 假设k>1，此时g=1>0，‎ g=-1+<0，‎ 又函数g的图象连续不断，由零点存在定理，可知 g(x)=0在R上至少有一解，与“方程g=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1.‎ 又k=1时，g=>0，知方程g=0在R上没有实数解.‎ 所以k的最大值为1.‎ ‎【一题多解】(1)(2)同方法一.‎ ‎(3)当a=1时，f=x-1+.‎ 直线l：y=kx-1与曲线y=f没有公共点，‎ 等价于关于x的方程kx-1=x-1+在R上没有实数解，即关于x的方程：x=　(*)‎ 在R上没有实数解.‎ ‎①当k=1时，方程(*)可化为=0，在R上没有实数解.‎ ‎②当k≠1时，方程(*)化为=xex.‎ 令h=xex，则有h′=ex.‎ 令h′=0，得x=-1，‎ 当x变化时，h′的变化情况如表：‎ x ‎-1‎ h′‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ h ‎↘‎ ‎-‎ ‎↗‎ 当x=-1时，h=-，同时当x趋于+∞时，‎ h趋于+∞，‎ 从而h的取值范围为.‎ 所以当∈时，方程(*)无实数解，解得k的取值范围是.‎ 综上，得k的最大值为1.‎ ‎20.(12分)若电灯B可在桌面上一点O的垂线上移动，桌面上有与点O距离为a的另一点A，∠OAB=φ，AB=r，点A处照度与sinφ成正比，与r2成反比，问电灯与点O的距离多大时，可使点A处有最大的照度?‎ ‎【解析】由条件与光学知识，照度y与sinφ成正比，与r2成反比，设y=C·(C是与灯光强度有关的常数)要想点A处有最大的照度，只需求y的极值即可.‎ 在直角三角形中，得r=，于是y=C·‎ ‎=C·=·sinφcos2φ，‎ ‎=(sinφ-sin3φ)，φ∈，‎ y′=cosφ(1-3sin2φ).‎ 当y′=0时，即方程1-3sin2φ=0的解为sinφ=与sinφ=(舍)，‎ 在φ∈内，所以函数y=f(φ)在sinφ=取极大值，也是最大值.‎ 由sinφ=，得cosφ=，‎ 得tanφ==，‎ 所以x=，即当电灯与O点距离为时，点A的照度y为最大.‎ ‎【一题多解】设OB=x，则sinφ=，r=，‎ 于是y=C·=C·=C·(x≥0)，‎ y′=C·.‎ 当y′=0时，‎ 即方程a2-2x2=0的根为x1=与x2=-(舍)，‎ 在[0，+∞)内，所以函数y=f(x)在x=取极大值，也是最大值.‎ 即当电灯与O点距离为时，点A的照度y为最大.‎ ‎21.(12分)(2014·长沙高二检测)抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切.此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S.求使S达到最大值的a，b值，并求S的最大值.‎ ‎【解析】由题设可知抛物线为凸形，它与x轴交点的横坐标分别为x1=0，x2=-，‎ 所以S=(ax2+bx)dx=b3①‎ 又直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切，即它们有唯一的公共点，‎ 由方程组得 ax2+(b+1)x-4=0，其判别式Δ=0，‎ 即(b+1)2+‎16a=0.‎ 于是a=-(b+1)2，代入①式得：‎ S(b)=(b>0)，S′(b)=；‎ 令S′(b)=0，得b=3，且当00；‎ 当b>3时，S′(b)<0.‎ 故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，‎ 即a=-1，b=3时，S取得最大值，且Smax=.‎ ‎22.(12分)(2013·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y=4x+2.‎ ‎(1)求a，b，c，d的值.‎ ‎(2)若x≥-2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围.‎ ‎【解题指南】‎ ‎(1)根据曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，2)，可将P(0，2)分别代入到y=f(x)和y=g(x)中，再利用在点P处有相同的切线y=4x+2，对曲线y=f(x)和曲线y=g(x)进行求导，列出关于a，b，c，d的方程组求解.‎ ‎(2)构造函数F(x)=kg(x)-f(x)，然后求导，判断函数F(x)=kg(x)-f(x)的单调性，通过分类讨论，确定k的取值范围.‎ ‎【解析】(1)由已知得f(0)=2，g(0)=2，f′(0)=4，‎ g′(0)=4.‎ 而f′(x)=2x+a，g′(x)=ex(cx+d+c).‎ 故b=2，d=2，a=4，d+c=4.‎ 从而a=4，b=2，c=2，d=2.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1).‎ 设F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2，‎ 则F′(x)=2kex(x+2)-2x-4‎ ‎=2(x+2)(kex-1).‎ 由题设可得F(0)≥0，即k≥1.‎ 令F′(x)=0，即2(x+2)(kex-1)=0，‎ 得x1=-lnk，x2=-2.‎ ‎①若1≤k0，‎ 即F(x)在x∈(-2，x1)上单调递减，在x∈(x1，+∞)上单调递增，故F(x)在[-2，+∞)上有最小值为F(x1).‎ F(x1)=2x1+2--4x1-2=-x1(x1+2)≥0.‎ 故当x≥-2时，F(x)≥0恒成立，即f(x)≤kg(x).‎ ‎②若当k=e2，则F′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2)，‎ 当x>-2时，F′(x)>0，即F(x)在(-2，+∞‎ ‎)上单调递增，而F(-2)=0，故当且仅当x≥-2时，F(x)≥0恒成立，即f(x)≤kg(x).‎ ‎③若k>e2，则F(-2)=-2ke-2+2‎ ‎=-2e-2(k-e2)<0.‎ 从而当x≥-2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立.‎ 综上，k的取值范围为[1，e2].‎ 关闭Word文档返回原板块