2017-2018学年河北省石家庄市第一中学高二上学期期中考数学（理）试题 解析版 16页

石家庄市第一中学 ‎2017—2018学年度第一学期期中考试高二年级理科数学试题 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 已知集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：，，‎ ‎，故答案为C.‎ 考点：1、一元二次不等式的解法；2、集合的基本运算.‎ ‎2. 命题:“”的否定是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】全称命题的否定为存在命题，命题:“”的否定是.‎ ‎3. 在等比数列中，已知，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设等比数列的公比为，，则，.‎ 若；‎ 若 ，选A.‎ ‎4. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且其渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎5. 设是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是 A. 若则 B. 若则 C. 若，则 D. 若则 ‎【答案】D ‎【解析】若则或，A错误；若则与平面可能平行可能相交，也可能在平面内，B错误；若，则 或，C错误；若则，D正确，选D.‎ ‎6. 若下面框图所给的程序运行结果为,那么判断框中应填入的关于的条件是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：当时进入循环可得，此时进入循环可得到.依题意此时要退出循环，故选（D）.‎ 考点：1.程序框图.2.递推的思想.‎ ‎7. 已知菱形的边长为，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由题意得，设，根据向量的平行四边形法则和三角形法则，可知，故选D.‎ 考点：向量的数量积的运算.‎ ‎8. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：因为△是边长为的正三角形，所以△外接圆的半径，所以点到面的距离为，又因为为球的直径，所以点到面的距离为，所以棱锥的体积为，故选A.‎ 考点：1、外接球的性质及圆内接三角形的性质；2、棱锥的体积公式. ‎ ‎【方法点晴】本题主要考查外接球的性质及圆内接三角形的性质、棱锥的体积公式，属于难题.圆内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；②注意运用性质.‎ ‎9. 一只蚂蚁从正方体 的顶点出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：最短距离是正方体侧面展开图，即矩形的对角线（经过）、或矩形的对角线（经过），故视图为②④.‎ 考点：最短距离.‎ ‎10. 设满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最小值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，‎ 当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）‎ 过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时，‎ 目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，‎ 即4a+6b=12，即2a+3b=6，而 2 /a +3 /b ="(2" /a +3 /b )="2a+3b" /6 ="13" /6 +(b/ a +a/ b )≥13/ 6 +2="25" /6 ，‎ 故2/ a +3/ b 的最小值为：25 /6 ．‎ ‎11. 已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有个零点，则的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：,构造函数，在同一坐标系内作出函数与函数的图象，由图象可知，当时，与的图象有三个公共点，故选C．‎ 考点：1．函数与方程；2．数形结合思想；3．新定义函数问题．‎ ‎12. 已知椭圆，为其左、右焦点，为椭圆上除长轴端点外的任一点，的重心为，内心为，且有（其中为 实数），则椭圆的离心率 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】在中，设，由三角形重心坐标公式可得重心，由， 故内心的纵坐标为，在焦点中， ，则，.选B.‎ ‎【点睛】这种求离心率问题椭圆和双曲线都有，都涉及到焦点三角形的重心和内切圆的圆心，都需要用到内切圆的半径的使用，使用方法就是借助焦点三角形面积相等解题，通过面积相等得出关于的等式，求出离心率.‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13. 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待时间不多于分钟的概率为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】该人等待时间可能性有60分钟，则他等待整点时间不多于10分钟时间的可能性有10分钟，则他等待时间不多于分钟的概率为.‎ ‎14. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．‎ 根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程为．‎ ‎ ‎ 现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设数据模糊看不清为数据 ‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查线性回归方程及其性质，涉及函数与方程思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于中等题型.‎ 首先根据定义求得，代入回归方程求得,利用平均数求得.‎ ‎15. 点，实数是常数，是圆上两个不同点，是圆上的动点，若关于直线对称，则面积的最大值是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】圆的圆心为，在直线上，，圆的圆心为，半径为1，，直线AB的方程为，即，圆心到直线AB的距离为，面积的最大值是.‎ ‎【点睛】首先要明确一个基本常识，圆上有两个点关于一条直线对称说明这条直线必过圆心，根据这个结论可求出圆的方程中的参数k，进而求出元新坐标和圆的半径长，根据A、B的坐标求出AB的长，然后求出圆上一点到直线的距离的最大值，若何求圆上一点到直线的距离的最大值，只需求出圆心到直线的距离，这个距离加上半径就是圆上一点到直线的距离的最大值，这个距离减去半径就是圆上一点到直线的距离的最小值.‎ ‎16. 在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为_____________．‎ ‎①若，则与的夹角为锐角；‎ ‎②对，若，则；‎ ‎③若实数满足，则的最大值为；‎ ‎④函数的图像关于点对称．‎ ‎【答案】② ③ ④‎ ‎【解析】试题分析：当共线且同向，即与的夹角为锐角为时，所以①错误；②的逆否命题为“若且，则”为真命题，所以原命题为真命题，故②正确；的几何意义为圆上任意一点与定点连线的斜率，由数形结合可得斜率的最大值为，故③正确；由得，即函数的对称中心为，当时对称中心为，故④正确．‎ 考点：1．逻辑联结词与命题；2．向量的数量积；3．三角函数的图象和性质．‎ ‎【易错点睛】对于①易忽略两向量共线且同向而导致错误；对于②不知道从命题的逆否命题入手去解决问题，导致判断不清；对于不知道代数式的几何意义，无从下手，不能判断命题的真假．属中档题．‎ 三、解答题：本题共6小题，共70分．‎ ‎17. 函数的部分图象如图所示．‎ ‎（Ⅰ）写出的最小正周期及图中的值；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）（2）最大值0，最小值-3‎ ‎【解析】试题分析：函数的最小正周期公式，利用解出值，第二个正数解为，并求出，根据的范围，求出的范围，在这个范围内考查函数的值的变化，给出最大值和最小值及取得最大值和最小值时的自变量x的值.‎ 试题解析：‎ 解：（Ⅰ）f(x)的最小正周期为T＝＝π，x0＝，y0＝3.‎ ‎（Ⅱ）因为x∈ ，所以2x＋∈，‎ 于是当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；‎ 当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.‎ ‎【点睛】有关函数性质问题，首先是周期，利用所学的正弦函数的有关性质来研究函数性质，可以看成与两个函数复合函数去解决；当有确定的范围时，注意范围优先讨论，在范围内借助正弦函数图象研究解决问题.‎ ‎18. ‎ 某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，后得到如右图的频率分布直方图．‎ ‎（Ⅰ）求图中实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；‎ ‎（Ⅲ）若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．‎ ‎【答案】（1）0.03（2）544（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据图中所有小矩形的面积之和等于1建立关于a的等式，解之即可求出所求； （2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求； （3）成绩在[40，50）分数段内的人数，以及成绩在[90，100]分数段内的人数，列出所有的基本事件，以及两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的基本事件，最后利用古典概型的概率公式解之即可．‎ 试题解析：‎ ‎(1)由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1.‎ 解得a=0.03‎ ‎ (2)根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为1−10×(0.005+0.01)=0.85由于该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544人 ‎ ‎(3)成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05=2人,分别记为A,B，成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1=4人,分别记为C,D,E,F.‎ 若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生,则所有的基本事件有：(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共15种.…(9分)‎ 如果两名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内,另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.‎ 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M,则事件M包含的基本事件有：(A,B),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共7种.所以所求概率为P(M)=.‎ 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 ‎(1)列举法.‎ ‎(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.‎ ‎(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎ ‎(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.‎ ‎19. 如图1，在直角梯形中， ，，点为线段的中点，将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：解析：（1）在图1中， 可得， 从而，‎ 故.‎ 取中点连结， 则， 又面 面，‎ 面 面 ，面， 从而平面.‎ ‎∴，又，.‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）建立空间直角坐标系如图所示，‎ 则，，，，‎ ‎.‎ 设为面的法向量，则即， 解得. 令， 可得.‎ 又为面的一个法向量，∴.‎ ‎∴二面角的余弦值为.‎ ‎（法二）如图，取的中点，的中点，连结.‎ 易知，又，，又，.‎ 又为的中位线，因，，，且都在面 内，故，故即为二面角的平面角.‎ 在中，易知；‎ 在中，易知，.‎ 在中.‎ 故.‎ ‎∴二面角的余弦值为.‎ 考点：棱锥中的垂直以及二面角的平面角 点评：主要是考查了运用向量法来空间中的角以及垂直的证明，属于基础题。‎ ‎20. 数列的前项和为，且是和的等差中项，等差数列满足，．‎ ‎（Ⅰ）求数列、的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，数列的前项和为，证明：.‎ ‎【答案】（1），（2）见解析 ‎【解析】试题分析：本题主要考查等差数列与等比数列的概念、通项公式、前项和公式、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力.第一问，先利用是和的等差中项，得到，由求，注意的情况，不要漏掉，会得到为等比数列，利用等比数列的通项公式，求和公式直接写出和，再利用已知求出，写出等差数列的通项公式；第二问，先化简表达式，利用裂项相消法求和求，利用放缩法比较与的大小，作差法判断数列的单调性，因为数列为递增数列，所以最小值为，即，所以.‎ 试题解析：（1）∵是和的等差中项，∴‎ 当时，，∴‎ 当时，，‎ ‎∴，即3分 ‎∴数列是以为首项，为公比的等比数列，‎ ‎∴，5分 设的公差为，，，∴‎ ‎∴6分 ‎（2）7分 ‎∴9分 ‎∵,∴10分 ‎∴数列是一个递增数列 ∴.‎ 综上所述，. 12分 考点：1.等差中项；2.由求；3.等比、等差数列的通项公式与求和公式；4.裂项相消法求和.‎ ‎21. 已知向量，且A,B,C分别为△的三边a,b,c所对的角． ‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若sinA,sinC,sinB成等差数列，且，求c边的长．‎ ‎【答案】（1）（2）6‎ ‎【解析】试题分析：（1）先利用数量积公式得：，化简得：，再有二倍角公式化简即可；（2）由（1）可得，由得：，得：，利用余弦定理可得的值．‎ 试题解析：（1）‎ 对于，‎ 又，‎ ‎（2）由成等差数列，得，‎ 由正弦定理得，‎ 即由余弦弦定理，‎ ‎，‎ 考点：1、数量积公式；2、等差中项；3、正弦定理；4、两角和正弦公式、二倍角正弦公式；5、余弦定理．‎ ‎22. 已知椭圆与y轴的正半轴相交于点M，且椭圆E上相异两点A、B满足直线MA,MB的斜率之积为．‎ ‎（Ⅰ）证明直线AB恒过定点，并求定点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）求三角形ABM的面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）直线恒过定点．（2）‎ ‎【解析】试题分析：利用设而不求思想设出点的坐标，首先考虑 直线斜率不存在的情况，然后研究直线斜率存在的一般情况，设出直线斜截式方程与椭圆方程联立方程组，代入整理后写出根与系数关系，根据MA、MB的斜率之积为，代入，解出，得出直线过定点，第二步联立方程组后利用判别式大于零，求出k的范围，表示三角形的面积，利用基本不等式求出最值 .‎ 试题解析：‎ 解：（Ⅰ）由椭圆的方程得，上顶点,记 由题意知，，若直线的斜率不存在，则直线的方程为，故，且，因此，与已知不符，因此直线的斜率存在，设直线：，代入椭圆的方程得： ………①‎ 因为直线与曲线有公共点，所以方程①有两个非零不等实根，‎ 所以，‎ 又， ，‎ 由 ，得 ‎ 即 ‎ 所以 ‎ 化简得：，故或，‎ 结合知，‎ 即直线恒过定点．‎ ‎（Ⅱ）由且得：或，‎ 又 ‎ ‎ ‎ ‎，当且仅当，即 时，的面积最大，最大值为 ．‎ ‎【点睛】设而不求思想是解决解析几何问题的重要思想，设出点的坐标，首先考虑直线斜率不存在的情况，然后研究直线斜率存在的一般情况，要掌握解析几何四个常见问题的结法，涉及最值和范围问题，存在性问题，定点定值问题，直线和圆锥曲线的位置关系问题以及离心率问题；求三角形面积的最值，就要表示三角形的面积，然后利用基本不等式或利用导数求出最值 .‎ ‎ ‎ ‎ ‎